概率论频率概率古典概型

频率、概率、古典概型1一.频率２．频率的性质：(非负性)(规范性)1．频率的定义：频率与概率在n次试验中,事件A发生的次数m称为事件A的频数,而比值m/n称为事件A发生的频率，记作：23．频率的稳定性在不变的条件下,重复进行n次试验,事件A发生的频率m/n稳定地在某一常数p附近摆动,并且n越大,摆动幅度越小．则称常数p为事件A在该条件下发生的概率．(简称:频率的稳定值为该事件的概率)记作：P(A)=p概率统计定义（可列可加性）3我们首先引入的计算概率的数学模型，是在概率论的发展过程中最早出现的研究对象，通常称为古典概型4古典概型一．古典概型（等可能概型)一般,如果随机试验E具有：(1)有限性：它的样本空间只有有限个样本点则称随机试验E为古典概型,也称等可能概型(2)等可能性：在每次试验中,每个基本事件发生的可能性相同523479108615

例如，一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球.将球编号为1－10.把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球.6因为抽取时这些球是完全平等的，我们没有理由认为10个球中的某一个会比另一个更容易取得.也就是说，10个球中的任一个被取出的机会是相等的，均为1/10.1324567891010个球中的任一个被取出的机会都是1/10234791086157我们用i表示取到i号球，i=1,2,…,10.称这样一类随机试验为古典概型.34791086152且每个样本点(或者说基本事件)出现的可能性相同.S={1,2,…,10},则该试验的样本空间如i=28记A={摸到2号球}

P(A)=?

P(A)=1/10记B={摸到红球}

P(B)=?

P(B)=6/10223479108615132456二．古典概型中事件概率的计算公式9这里实际上是从“比例”

转化为“概率”记B={摸到红球}

P(B)=6/10静态动态当我们要求“摸到红球”的概率时，只要找出它在静态时相应的比例.2347910861510

这样就把求概率问题转化为计数问题.定义

设试验E是古典概型,其样本空间S由n个样本点组成,事件A由k个样本点组成.则定义事件A的概率为：称此概率为古典概率.这种确定概率的方法称为古典方法

.

A包含的样本点数

P(A)＝k/n＝

S中的样本点总数11下面我们就来介绍如何计算古典概率.排列组合是计算古典概率的重要工具.12基本计数原理这里我们先简要复习一下计算古典概率所要用到的1.加法原理设完成一件事有m种方式，第一种方式有n1种方法，第二种方式有n2种方法,…；

第m种方式有nm种方法,无论通过哪种方法都可以完成这件事，则完成这件事总共有n1+n2+…+nm

种方法.13例如，某人要从甲地到乙地去,甲地乙地可以乘火车,也可以乘轮船.火车有两班轮船有三班乘坐不同班次的火车和轮船，共有几种方法?3

+2

种方法回答是14基本计数原理则完成这件事共有种不同的方法.2.乘法原理设完成一件事有m个步骤，第一个步骤有n1种方法，第二个步骤有n2种方法,…；第m个步骤有nm种方法,必须通过每一步骤,才算完成这件事，15例如，若一个男人有三顶帽子和两件背心，问他可以有多少种打扮？可以有种打扮16

加法原理和乘法原理是两个很重要计数原理，它们不但可以直接解决不少具体问题，同时也是推导下面常用排列组合公式的基础.17排列、组合的几个简单公式排列和组合的区别：顺序不同是不同的排列3把不同的钥匙的6种排列而组合不管顺序18从3个元素取出2个的排列总数有6种从3个元素取出2个的组合总数有3种191、排列:

从n个不同元素取k个（1kn)的不同排列总数为：k=n时称全排列排列、组合的几个简单公式20ABDC例如：n=4,k=3第1次选取第2次选取第3次选取BDCBCDBDC……21从n个不同元素取k个（允许重复）（1kn)的不同排列总数为：例如：从装有4张卡片的盒中有放回地摸取3张3241n=4,k=3123第1张4123第2张4123第3张4共有4.4.4=43种可能取法222、组合:从n个不同元素取k个（1kn)的不同组合总数为：常记作，称为组合系数。你能证明吗？23组合系数又常称为二项式系数，因为它出现在下面的二项式展开的公式中：3、组合系数与二项式展开的关系24令

a=-1,b=1利用该公式，可得到许多有用的组合公式：令

a=b=1,得25由有比较两边

xk

的系数，可得

运用二项式展开264、n个不同元素分为k组，各组元素数目分别为r1,r2,…,rk的分法总数为r1个元素r2个元素rk个元素…n个元素因为27请回答：对排列组合，我们介绍了几个计算公式？排列：选排列，全排列，分组分配.组合；允许重复的排列;28三、古典概率计算举例例1

把C、C、E、E、I、N、S七个字母分别写在七张同样的卡片上，并且将卡片放入同一盒中，现从盒中任意一张一张地将卡片取出，并将其按取到的顺序排成一列，假设排列结果恰好拼成一个英文单词：CISNCEE问:在多大程度上认为这样的结果是奇怪的，甚至怀疑是一种魔术？29拼成英文单词SCIENCE

的情况数为故该结果出现的概率为：

这个概率很小，这里算出的概率有如下的实际意义：如果多次重复这一抽卡试验，则我们所关心的事件在1260次试验中大约出现1次.解：七个字母的排列总数为7！30这样小概率的事件在一次抽卡的试验中就发生了，人们有比较大的把握怀疑这是魔术.具体地说，可以99.9%的把握怀疑这是魔术.31解：=0.3024允许重复的排列问：错在何处？例2

某城市的电话号码由5个数字组成，每个数字可能是从0-9这十个数字中的任一个，求电话号码由五个不同数字组成的概率.计算样本空间样本点总数和所求事件所含样本点数计数方法不同.从10个不同数字中取5个的排列32例3

设有N件产品,其中有M件次品,现从这N件中任取n件,求其中恰有k件次品的概率.这是一种无放回抽样.解：令B={恰有k件次品}P(B)=？次品正品……M件次品N-M件正品33解：把2n只鞋分成n堆,每堆2只的分法总数为而出现事件A的分法数为n!,故例4

n双相异的鞋共2n只，随机地分成n堆，每堆2只.问:“各堆都自成一双鞋”(事件A)的概率是多少？34“等可能性”是一种假设，在实际应用中，我们需要根据实际情况去判断是否可以认为各基本事件或样本点是等可能的.在实际应用中，往往只能“近似地”出现等可能，“完全地”等可能是很难见到的。1、在应用古典概型时必须注意“等可能性”的条件.需要注意的是：35在许多场合，由对称性和均衡性，我们就可以认为基本事件是等可能的并在此基础上计算事件的概率.36Ex1:掷两颗均匀骰子，求出现点数之和是8的概率。答案：P=5/36掷一颗骰子，有6个等可能的结果，掷两颗骰子，有6·6=36个等可能结果，设X为第一颗骰子掷出的点数，Y为第二颗骰子掷出的点数。A={X+Y=8},只有（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2）。372、在用排列组合公式计算古典概率时，必须注意不要重复计数，也不要遗漏.例如：从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中“至少有两只配成一双”（事件A）的概率是多少？下面的算法错在哪里？错在同样的“4只配成两双”算了两次.97321456810从5双中取1双，从剩下的8只中取2只38例如：从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中“至少有两只配成一双”（事件A）的概率是多少？正确的答案是：请思考：还有其它解法吗？2、在用排列组合公式计算古典概率时，必须注意不要重复计数，也不要遗漏.39“分球入箱”问题设有n个球，每个都以相同的概率1/N(Nn)落入N个箱子中的每一个中。根据以下条件，分别求事件A={某预先指定的n个箱子中各有一球}的概率p.条件：1.球编号，每个箱子容纳的球数不限。2.球编号，每个箱子只容纳一个球。3.球不编号，每个箱子只容纳一个球。4.球不编号，每个箱子容纳的球数不限以n=3,N=4为例计算。40“分球入箱”问题1.球编号，每个箱子容纳的球数不限。因为每个箱子容纳的球数不限，所以这是一个可重复的排列问题。41“分球入箱”问题2.球编号，每个箱子只容纳一个球。这是一个选排列问题。42“分球入箱”问题3.球不编号，每个箱子只容纳一个球。这是一个组合问题。43“分球入箱”问题4.球不编号，每个箱子容纳的球数不限总情况数为：按占位法作，共有位置4+1+3-2=6（两端不算）个，三个球在4个箱子中的一种分布就对应于三个球在这6个位置上的一种占位法，共有443、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型：有n个人，每个人都以相同的概率1/N(N≥n)被分在

N间房的每一间中，求指定的n间房中各有一人的概率.人房453、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型：有n个人，设每个人的生日是任一天的概率为1/365.求这n(n≤365)个人的生日互不相同的概率.人任一天463、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型：有n个旅客，乘火车途经N个车站，