确定性与随机性混沌

本文旨在:从实例出发，对非线性耗散系统中的混沌及其控制与同步研究中遇到的有关基本概念与问题作一些哲理性解释。包括：一、确定性混沌的基本概念二、随机混沌的约定含义三、对混沌控制与同步的几点看法混沌是什么？混沌代表一类特定形式的确定性稳态运动,它有别于经典的周期运动和概周期运动，也不涉及其它非稳态运动。混沌是一群样本运动的集合，由于两个相邻样本轨道之间存在互斥性，故从不同的初始条件出发的稳态轨道都不相同。但又共享一个相空间Poincare截面上的混沌吸引子。各个稳态样本运动的映射点都不超越、又遍历该混沌吸引子。这就是混沌运动的遍历性。

混沌的发现清楚地告诉人们,即使确定的非线性系统在确定的激励和确定的初始条件下，也可能产生不完全确定的结果。这是一种观念上的突破。说明确定性系统还含有内在的随机性。混沌运动对初始条件极为敏感的依赖性、混沌吸引子及其吸引域的分形特征等等，都意味着随机性。事实上，混沌反映了确定性非线性系统内在的随机性。IntrinsicStoshasticityin

ForcedDuffingSystem

稳态幅频曲线大/小A吸引域大/小A吸引域大/小A吸引域大/小A吸引域大A发生概率吸引域边界混沌运动的主要特性1有界性：相空间的混沌吸引子2集合性、随机性：从不同的初始条件得到不同的‘表观无序’样本、组成集合3遍历性：每个样本都遍历一个共同的吸引子4对初始条件的敏感性：内在随机性的一个突出表现,导致正的Lyapunov指数5分形性：具有无限层次的‘自相似’结构

6有序性：一种无周期的有序态，短、中期样本轨道的可预测性,历史与未来演化中的有序规律，包括通向混沌的道路与激变7普适性：如存在不依赖于具体模型及其参数的一些特征量Feigenbaum常数8依存性：对模型及其外部环境的依赖性，包括相空间格局及其演化9可控性：它和特征6和8有联系，如相空间格局的可变性、混沌样本的可跟踪性低维混沌系统的相空间格局

混沌系统指的是处于混沌运动状态下的非线性动力系统。相空间格局(overallconstitutioninphasespace)是指:系统参数冻结情形下,各个吸引子及其吸引域、鞍及其稳定与不稳定流形、分形边界(或隔离带)等在相平面上的布局。

值得注意,混沌相空间格局中提到的那些鞍型不稳定吸引子等等都是在系统经历无数次分岔、或混沌激变时遗留下来的,他们在混沌的形成或转化过程中都起过重要作用，正是这些不稳定因素协同促成了混沌的产生或激变。反过来说，它们又构成对混沌的一种潜在威胁。只要其中任何一种不稳定吸引子在内部参数的摄动或外部激励或控制的影响下，一旦改变了稳定性，就可能导致相关混沌吸引子的崩溃。FractalChaoticAttractorsSymmetryBreakingBifurcation,

TopLyapunovexponentofDuffingsystem

Theperiodicphasetrajectoryforω=0.935

Theperiodicphasetrajectoriesforω=0.945

FlowpatternofPoincarémappingpointsaroundthesaddleandnodes

ZoomofthatmiddlepartwithreducednumberofinitialconditionsFlowlineswithfewnumberofinitialconditionpoints

Periodicsaddlepointandits

stableandunstablemanifolds

BifurcationandCrisisin

ParametricallyDrivenDuffingSystem

TopLyapunovExponentChaoticAttractors随机混沌的约定含义

顾名思义，随机混沌理应兼具随机性与混沌性，它属于随机运动与混沌运动的交集。实质上,随机混沌是非线性系统的、同时反映了外在随机性与内在随机性影响的一种响应。这里只给出它的一个约定性定义。在确定性混沌研究中，通常限于考察系统在简谐激励下的响应演变，并着眼于考察系统响应从外观有序到外观无序的突变。现约定从探索确定性系统各种外在随机因素如何影响原系统内在随机因素的发挥这一角度来考察随机混沌。这时，确定性因素仍占主导作用，而随机因素只处于次要地位。也就是说，相对于确定的简谐激励，随机激励或参数随机摄动将约定为小量。两类随机混沌问题有两类随机因素需要重点考虑，即系统物理参数的随机摄动以及外部激励的随机变化。由此构成两类随机混沌问题。随机参数非线性系统在简谐激励下的随机混沌响应问题确定性非线性系统在简谐和随机共同激励下的随机混沌响应问题ForcedStochasticDuffingSystemTopLE随机混沌吸引子Triple-wellpotentialDuffingsystemunder

harmonicandboundednoiseexcitationsTopLEStochasticChaosAttractors混沌控制所谓混沌控制,实质上就是要改造其面对的相空间格局;从非混沌的改变为混沌的;或从混沌的改变为非混沌的、或改变到更加混沌的。至于怎样才能改造成所期望的新格局呢？还得作具体分析，要看老格局有哪些薄弱环节，关于促成新格局又有哪些有利条件。采取的策略和办法则可以多种多样。相空间格局是在‘冻结’参数条件下形成的定局。它依赖于各个分岔参数的取值,有时还很敏感。因此,适当调节某个敏感参数就可能激活沉睡的不稳定周期吸引子,从而颠覆相关的混沌吸引子。Ott,Grebogi,与Yorke

提出的混沌控制微调参数法[12]

即基于此原理。实际上存在多种多样的混沌控制方法，除此以外，还可以增加外激或参激(不论简谐的还是随机的),也可以增加状态反馈(不论实时的、还是延时的、甚至经过滤波的)。

Fradkov与Evans在其关于混沌控制的综述[14]中着重介绍了三类混沌控制方法:OGY方法、Pyragas基于延时反馈的控制方法[15]、以及非反馈控制方法。OGY方法与Pyragas方法在思想上是一致的，都是通过镇定某个潜在的不稳定周期解UPO来颠覆混沌解，也就是实施一次‘策反’。设选定的UPO周期为T，它在混沌运动频谱上留下的烙印,对应于f=1/T的周期运动主频分量、及附属的一些倍频分量。再设y(t)代表系统的混沌运动，这时，Pyragas方法中的延时负反馈u(t）可表示如下:其中K代表可调反馈系数，τ代表可调延时。这样，当取τ=T时，

每次反馈后y（t）中对应目标小谱峰的周期分量(包括主频与其附属的倍频分量)信息始终不变，而y（t）中其它各种分量的信息不断减弱，最终，只留下一个周期为T的稳定周期运动。Pyragas的控制目标也可借频域滤波法近似实现。就是将混沌信号通过NotchFilter（一种有“V”形缺口通带的带通滤波器）反复滤波，只需将滤波器通带底部对准f

就可以了。这样，对应于f

的信号分量每次滤波都‘毫发无损’,通带外的信号分量则迅速滤除，而通带内f

两侧的信号分量需要许多次反复滤波才能滤除。最后只留下周期为T(=1/f）的稳定简谐运动信号。NotchFilterFeedback随机混沌控制延迟反馈抑制混沌

(η=+1)

延迟反馈诱发混沌

(η=–1)混沌同步混沌同步也是一种混沌控制。Boccaletti[27]2002年在PhysicsReports上发表了长达百页的报告,对此前的混沌同步研究进展作了全面的报道。着重介绍了Pecora和Caroll[28]原创的驱动-响应模式下的PC方法,以及在此基础上经扩展的主动-被动模式下的APD方法[29]，内容几乎涉及混沌同步现象的各个方面，如完全同步（CS）、广义同步GS）、滞后同步（LS）、相位同步（PS）等等。

随机混沌样本同步PhasetrajectoryofmeanresponseTopLEMeanresponseswithoutcontrolunderdifferent

initialconditions,A:fordriving;B:forrespondingMeanresponseswithcontrolunderdifferent

initialconditions,A:fordriving;B:forrespondingMeanresponseerrorWithoutcontrolWithcontrol,k’=0.98,k”=0.2Chaoticattractorfordrivingsystem混沌同步的特点1混沌同步实质上是对混沌样本的跟踪。

由驱动系统提供参考模板；

由响应系统实施反馈跟踪。

2驱动系统样本运动的TopLE是正的；响应系统跟踪运动的TopLE是负的。噪声诱导同步

上述‘混沌同步现象’多少带有人为的强制作用。另一热门话题是”噪声诱导同步”，Boccaletti将此归类于混沌同步问题，其提法是：研究两个非直接耦合的混沌系统在同一噪声样本作用下诱生的同步现象。所谓噪声样本不过是代表白噪声(或有界噪声)的一个确定性伪随机函数。由于混沌样本也具有类似的表观无序特点，与上述问题并提的还有‘混沌诱导同步’问题，提法中只需把噪声样本改成混沌样本。

事实上，在所列举的诱导同步数值实例中,即使对于两个相同、独立的非线性系统，也只有在噪声激励下的响应均不依赖于初始条件的情况下，也就是相应的最大条件Lyapunov指数(LCLE)均为负时，才能实现所谓‘诱导同步’。至于该同步信号究竟是不是混沌?谁也没有提到。凭肉眼看，只能说它们都是表观无序的。若说它们是混沌，那么为什么相应的LCLE又是负的？Boccaletti引用他人的辩解是“Lyapunov指数对一类特殊的混沌系统可能已失去意义”。我的理解恰巧相反。我认为：LCLE为负,意味着所选定的噪声（或混沌）样本激励已经抑制了系统的内在随机性,从而此时不可能产生混沌响应。因此,这时的表观无序响应不过是系统对应于无序确定性样本激励的无序非稳态响应而已。

Notallthatlooksirregularischaos!LargestConditionalLyapunovExponent(LCLE)Noiseinducedsynchronization数值仿真在混沌研究中的作用

在求微分方程数值解时，舍入误差相当于初始条件的摄动。难怪有人提出质疑，“既然混沌运动敏感地依赖于初始条件，那末用数值仿真来研究混沌运动是否合理？”诚然，在求解上述问题时，舍入误差，可能导致最终解不再对应于当初给定的初始条件。这对传统的稳态解都不成问题。因为同一吸引域内不同初始条件都对应于同一传统稳态解。

但在求解混沌问题时，从相邻的两个初始条件出发，最