第十四次文概率

29.两个离散变量的函数的分布（1）P492.24（2）30.两个离散变量的函数的分布计算9种情形，合并整理得到：若r.vX具有概率密度为常数,则称

X

服从参数为

的指数分布.指数分布λf(x)x

正态分布的定义

若r.vX的概率密度为记作

f(x)所确定的曲线叫作正态曲线.其中和都是常数，任意，>0，则称X服从参数为和的正态分布.

P92当x→∞时，f(x)→0,x=μσ故f(x)以μ为对称轴，并在x=μ处达到最大值:

决定了图形的中心位置，决定了图形中峰的陡峭程度.正态分布的图形特点

设X~,X的分布函数是标准正态分布的正态分布称为标准正态分布.P93

一个服从正态分布的随机变量X的线性函数Y=aX+b仍然服从正态分布。,则

~N(0,1)

设定理P94正态分布表表中给的是x>0的值.当x<0时P260若~N(0,1)

若

X～N(0,1),一般正态分布的计算：时，可以认为，Y的取值几乎全部集中在区间内.

这在统计学上称作“3准则”

（三倍标准差原则）.自然界许多指标都服从或近似服从正态分布

成年人的各种生理指标：身高、体重、血压、视力、智商等例一个班的某门课程的考试成绩例海浪的高度例一个地区的日耗电量例各种测量的误差例炮弹落点例一个地区的家庭年收入例正态分布的背景和应用服从正态分布的指标有什么特点一般说，若影响某一数量指标的随机因素很多，而每个因素所起的作用都不太大，则这个指标服从正态分布.为什么叫“正态”分布正态分布密度呈现“中间高，两头低”的形态，它描述了自然界大量存在的随机现象，所以正态分布是自然界的一种“正常状态

(normal)”的分布.问题？问题？Ox-8-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

12345678正态分布的密度曲线高尔顿钉板试验

例公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头机会在0.01以下来设计的.设男子身高X～N(170,62),问车门高度应如何确定?

解:设车门高度为hcm,按设计要求P(X≥h)≤0.01或

P(X<h)≥0.99，下面我们来求满足上式的最小的

h.因为X～N(170,62),故

P(X<h)=0.99查表得(2.33)=0.9901>0.99所以=2.33,即

h=170+13.98184设计车门高度为184厘米时，可使男子与车门碰头机会不超过0.01.P(X<h)0.99求满足的最小的

h.正态分布的和

服从正态分布的独立变量的线性组合仍然服从正态分布。例设并且相互独立，则：

若二维随机变量（X,Y）具有概率密度

则称（X,Y）服从参数为

的二维正态分布.其中均为常数,且记作（X,Y）～N().二元正态分布P97

二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布,并且不依赖于参数（相关系数）.

若（X，Y）服从二维正态分布，则边缘分布X与Y独立的充分必要条件是X与Y不相关。

P98，定理4.6定理4.5由边缘分布一般不能确定联合分布.

也就是说,对于给定的

不同的

对应不同的二维正态分布,但它们的边缘分布却都是一样的.此例再次表明:两个独立的正态分布的联合分布是一个二维正态分布（相关系数

）.

二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布,并且不依赖于参数（相关系数）.

若（X，Y）服从二维正态分布，则边缘分布X与Y独立的充分必要条件是X与Y不相关。

两个独立的正态分布的联合分布是一个二维正态分布（相关系数

）.二元正态分布总结：

二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布,并且不依赖于参数（相关系数）.第五章大数定理与中心极限定理

研究大量的随机现象，常常采用极限形式，由此导致对极限定理进行研究.极限定理的内容很广泛，其中最重要的有两种:

与大数定律中心极限定理大数定律切比雪夫不等式中心极限定理

切比雪夫不等式

设随机变量X有期望E(X)和方差，则对于任给>0,或

若

越小，则事件{|X-E(X)|<}的概率越大，即随机变量X集中在期望附近的可能性越大.P104

切比雪夫不等式对此作了精确的描述。当方差已知时，切比雪夫不等式给出了r.v

X与它的期望的偏差不小于

的概率的估计式.如取

可见，对任给的分布，只要期望和方差

存在，则

r.vX取值偏离E(X)超过3的概率小于0.111.正态分布：例

已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平均是7300，均方差是700.利用切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率.解：设每毫升白细胞数为X依题意，E(X)=7300,D(X)=7002所求为

P(5200

X

9400)P(5200X9400)=P(5200-7300

X-7300

9400-7300)=P(-2100X-E(X)2100)=P{|X-E(X)|

2100}由切比雪夫不等式

P{|X-E(X)|2100}即估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率不小于8/9.E(X)=7300,D(X)=7002大数定律大数定律的客观背景几个常见的大数定律大量的随机现象下平均结果具有稳定性

大数定律的客观背景大量抛掷硬币正面出现频率字母使用频率生产过程中的废品率……几个常见的大数定律贝努里大数定律辛钦大数定律切比雪夫大数定律问题:伯努利

设nA是n重贝努里试验中事件A发生的次数，p是事件A发生的概率，是事件A发生的频率.实践证明：当试验次数n增大时，fn(A)逐渐趋向一个稳定值。可将此稳定值记作P(A)，作为事件A的概率.P8如何从数学的角度描述这一极限？

已知事件的概率，事件的频率是否确实（数学的证明）可以代替事件的概率？

P107

设Sn是n重贝努里试验中事件A发生的次数，p是事件A发生的概率，频率事件A的概率记？

设Sn是n重贝努里试验中事件A发生的次数，p是事件A发生的概率，则对任给的ε>0，定理（贝努里大数定律）或P106伯努利

贝努里大数定律表明，当重复试验次数n充分大时，事件A发生的频率Sn/n与事件A的概率p有较大偏差的概率很小.

贝努里大数定律提供了通过试验来确定事件概率的方法（数学基础）.任给ε>0，

这个定理说明在试验条件不变的情况下,重复进行多次试验时,任何事件A发生的频率将趋向（依概率收敛）于概率.频率事件A的概率？

设Sn是n重贝努里试验中事件A发生的次数，p是事件A发生的概率，则对任给的ε>0，定理（贝努里大数定律）P106

设随机变量序列X1,X2,…独立同分布，具有有限的数学期望E(Xi)=μ,i=1,2,…，则对任给ε>0，定理（辛钦大数定律）辛钦注：贝努里大数定律是辛钦大数定律的特殊情况。P107

辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值提供了一条实际可行的途径.辛钦定理说明我们应当相信只要反复试验,则一个随机变量的算术平均值将趋向于常数,通常就是数学期望.

设随机变量序列X1,X2,…独立同分布，具有有限的数学期E(Xi)=μ,i=1,2,…，则对任给ε>0，

设随机变量序列X1,X2,…独立同分布，具有有限的数学期望E(Xi)=μ,i=1,2,…，则对任给ε>0，定理（辛钦大数定律）P107定理（切比雪夫大数定律）

设

X1,X2,…是相互独立的随机变量序列，它们都有有限的方差，并且方差有共同的上界，即

D(Xi)≤K，i=1,2,…，切比雪夫则对任意的ε>0，P105

证明切比雪夫大数定律主要的数学工具是切比雪夫不等式.

设随机变量X有期望E(X)和方差，则对于任给>0,

设

X1,X2,…是相互独立的随机变量序列，它们都有有限的方差，并且方差有共同的上界，即

D(Xi)≤K，i=1,2,…，则对任意的ε>0，证明:记:由切比雪夫不等式：