第八篇第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系

第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系【2014年高考会这样考】1．考查空间线面平行、垂直关系的判断．2．考查空间线面平行、垂直关系与命题或充要条件相结合．考点梳理(1)公理1：如果一条直线上的_____在一个平面内，那么这条直线在此平面内．(2)公理2：过_______________的三点，有且只有一个平面．(3)公理3：如果两个不重合的平面有_____公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．(4)公理2的三个推论：推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；推论2：经过两条_____直线有且只有一个平面；推论3：经过两条_____直线有且只有一个平面．1．平面的基本性质两点不在一条直线上一个相交平行2．空间中两直线的位置关系平行相交任何锐角(或直角)(3)平行公理和等角定理①平行公理：平行于___________的两条直线互相平行．②等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角___________．(1)直线与平面的位置关系有_____、_____、________三种情况．(2)平面与平面的位置关系有_____、_____两种情况．3．空间直线与平面、平面与平面的位置关系同一条直线相等或互补相交平行在平面内平行相交一个理解异面直线概念的理解(1)“不同在任何一个平面内”，指这两条直线不能确定任何一个平面，因此，异面直线既不相交，也不平行．(2)不能把异面直线误解为：分别在不同平面内的两条直线为异面直线．两种判定方法异面直线的判定方法(1)判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线．(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两直线异面．【助学·微博】A．空间中不同三点确定一个平面B．空间中两两相交的三条直线确定一个平面C．一条直线和一个点能确定一个平面D．梯形一定是平面图形解析空间中不共线的三点确定一个平面，A错；空间中两两相交不交于一点的三条直线确定一个平面，B错；经过直线和直线外一点确定一个平面，C错；故D正确．答案

D考点自测1．下列命题是真命题的是

(

)．A．异面

B．相交C．平行

D．异面或相交答案

DA．0 B．1 C．0或1 D．1或3答案

DA．60° B．120° C．30° D．60°或120°解析由等角定理可知β＝60°或120°.答案

D2．和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是 (

)．3．三条两两平行的直线可以确定平面的个数为 (

)．4．空间两个角α，β的两边分别对应平行，且α＝60°，则β为

(

)．5．如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线________对．答案

24【例1】►如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点．求证： (1)E、C、D1、F四点共面； (2)CE、D1F、DA三线共点．

考向一平面的基本性质及其应用 [审题视点](1)由EF∥CD1可得； (2)先证CE与D1F相交于P，再证P∈AD.证明

(1)如图，连接EF，CD1，A1B.∵E、F分别是AB、AA1的中点，∴EF∥A1B.又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E、C、D1、F四点共面．(2)∵EF∥CD1，EF＜CD1，∴CE与D1F必相交，设交点为P，则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直线DA，∴CE、D1F、DA三线共点．

(1)证明点或线共面问题，一般有两种途径：①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．(2)证明点共线问题，一般有两种途径：①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定直线上．(3)证明线共点问题，常用的方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．【训练1】下列如图所示是正方体和正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是________．解析可证①中的四边形PQRS为梯形；②中，如图所示，取A1A和BC的中点为M、N可证明PMQNRS为平面图形，且PMQNRS为正六边形；③中，可证四边形PQRS为平行四边形；④中，可证Q点所在棱与面PRS平行，因此，P、Q、R、S四点不共面．答案①②③①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．[审题视点]还原成正四面体来判断．考向二空间中两直线的位置关系【例2】►如图是正四面体的平面展开图，G、H、M、N分别为DE、BE、EF、EC的中点，在这个正四面体中，解析如图所示，GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DE⊥MN.答案②③④

空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定，对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、平行公理及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决．【训练2】在图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)．解析图①中，直线GH∥MN；图②中，G、H、N三点共面，但M∉面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN因此GH与MN共面；图④中，G、M、N共面，但H∉面GMN，因此GH与MN异面．所以图②、④中GH与MN异面．答案②④【例3】►如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中， (1)求A1C1与B1C所成角的大小； (2)若E、F分别为AB、AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．考向三异面直线所成角[审题视点](1)把A1C1平移到底面，再连AB1可求；(2)把A1C1平移到底面，连BD可求．解

(1)如图，连接AC、AB1，由ABCD－A1B1C1D1是正方体，知AA1C1C为平行四边形，所以AC∥A1C1，从而B1C与AC所成的角就是A1C1与B1C所成的角．由AB1＝AC＝B1C可知∠B1CA＝60°，即A1C1与B1C所成角为60°.(2)如图，连接BD，由(1)知AC∥A1C1.∴AC与EF所成的角就是A1C1与EF所成的角．∵EF是△ABD的中位线，∴EF∥BD.又∵AC⊥BD，∴AC⊥EF，即所求角为90°.

找异面直线所成的角的方法一般有三种找法：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．【训练3】如图，A是△BCD平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点． (1)求证：直线EF与BD是异面直线； (2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．

(1)证明假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A、B、C、D在同一平面内，这与A是△BCD平面外的一点相矛盾．故直线EF与BD是异面直线．【命题研究】通过近三年的高考试题分析，主要结合线线、线面和面面平行与垂直的判定和性质考查点、线、面的位置关系，题目多为中、低档题，主要以选择题或填空题的形式出现．热点突破18——准确判断空间点、线、面的位置关系【真题探究】►(2012·浙江)设l是直线，α，β是两个不同的平面 (

)． A．若l∥α，l∥β，则α∥β

B．若l∥α，l⊥β，则α⊥β C．若α⊥β，l⊥α，则l⊥β

D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β [教你审题]根据空间线面、面面、平行判定性质、垂直判定性质逐个进行判断．注意空间位置关系的各种可能情况．[解法]若l∥α，l∥β，则α，β可能相交，故A错；若l∥α，则平面α内必存在一直线m与l平行，又l⊥β，则m⊥β，又m⊂α，故α⊥β，故B对；若α⊥β，l⊥α，则l∥β或l⊂β，故C错；若α⊥β，l∥α，则l与β关系不确定，故D错．[答案]B[反思]对于空间点、线、面的位置关系的判定与应用问题，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，特别是对于选择题，显得更为有效．①若m⊂β，α⊥β，则m⊥α；②若α∥β，m⊂α，则m∥β；③若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β；④若α⊥γ，β⊥γ，m⊥α，则m⊥β.其中正确命题的