第三课时圆周运动的基本规律

第三课时圆周运动及其应用1．描述圆周运动的物理量及其相互关系描述圆周运动的物理量主要有线速度、角速度、周期、频率、转速、向心加速度、向心力等，现比较如下表：向心力是一种效果力，在对物体进行受力分析时不能有“向心力”．2．匀速圆周运动和非匀速圆周运动(1)匀速圆周运动①定义：在任意相等时间内通过的弧长都相等的圆周运动．②性质：向心加速度大小不变，方向时刻变化的变加速曲线运动．③质点做匀速圆周运动的条件合力大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心④两个结论a．同一转动圆盘(或物体)上的各点角速度相同．b．皮带连接的两轮不打滑时，轮缘上各点的线速度大小相等．(2)非匀速圆周运动①定义：线速度大小、方向均不断变化的圆周运动．②合力的作用a．合力沿速度方向的分量Fτ产生切向加速度，Fτ＝maτ，它只改变大小．b．合力沿半径方向的分量Fn产生向心加速度，Fn＝man，它只改变方向．3．离心运动和向心运动(1)离心运动①定义：做圆周运动的物体，在所受到的合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动．②本质：做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿着切线方向飞出去的倾向．③受力特点当F＝mω2r时，物体做匀速圆周运动；当F＝0时，物体沿切线方向飞出；当F<mω2·r时，物体逐渐远离圆心，F为实际提供的向心力．如图所示．(2)向心运动当提供向心力的合外力大于做圆周运动所需向心力时，即F>mrω2，物体逐渐向圆心靠近．如图所示．要点三、皮带传动问题在分析传动问题时，要抓住不等量和相等量的关系，其中要特别注意以下两点：（1）、同转轴上各点相同，而线速度与半径成正比。（2）、在不考虑皮带打滑的情况下，传动皮带和皮带连接的两轮边缘的各点线速度大小相等，而角速度与半径成反比。这两点往往是我们求连比的过渡桥梁。另外由之间的关系，使向心加速度有很多表达式，在应用时，应按已知条件，结合实际选择使用。【例3】如图所示为一皮带传动装置，右轮的半径为r，a是它边缘上的一点．左侧是一套轮轴，大轮的半径为4r，小轮的半径为2r.b点在小轮上，到小轮中心的距离为r.已知c点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上．若在传动过程中皮带不打滑，则以下判断正确的是(

)

A.a点与b点的线速度大小相等B.a点与b点的角速度大小相等C.a点与d点的线速度大小相等D.a点与d点的向心加速度大小相等[针对训练1]如图所示，轮O1、O3固定在同一转轴上，轮O1、O2用皮带连接且不打滑．在O1、O2、O3三个轮的边缘各取一点A、B、C，已知三个轮的半径比r1∶r2∶r3＝2∶1∶1，求：(1)A、B、C三点的线速度大小之比vA∶vB∶vC；(2)A、B、C三点的角速度之比ωA∶ωB∶ωC；(3)A、B、C三点的向心加速度大小之比aA∶aB∶aC.圆周运动中的动力学问题分析1．向心力的来源向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力．2．向心力的确定(1)确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置．(2)分析物体的受力情况，找出所有的力沿半径方向指向圆心的合力就是向心力．3．解决圆周运动问题的主要步骤(1)审清题意，确定研究对象；(2)分析物体的运动情况，即物体的线速度、角速度、周期、轨道平面、圆心、半径等；(3)分析物体的受力情况，画出受力示意图，确定向心力的来源；(4)根据牛顿运动定律及向心力公式列方程；(5)求解、讨论．【例1】

有一种叫“飞椅”的游乐项目，示意图如图所示，长为L的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r的水平转盘边缘．转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动．当转盘以角速度ω匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ.不计钢绳的重力，求转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系．读题：座椅在转盘和钢绳的作用下做匀速圆周运动，钢绳拉力和座椅的重力的合力提供向心力．其轨道半径为：r＋Lsinθ.画图：以座椅为研究对象受力分析，分析圆周运动中的动力学问题，首先要确定圆周运动的平面，找圆心位置、轨道半径，再对研究对象进行受力分析，列方程求解．变式训练．如图所示，长为L的细绳一端固定，另一端系一质量为m的小球．给小球一个合适的初速度，小球便可在水平面内做匀速圆周运动，这样就构成了一个圆锥摆，设细绳与竖直方向的夹角为θ.下列说法中正确的是(

B

)A．小球受重力、绳的拉力和向心力作用B．小球只受重力和绳的拉力作用C．θ越大，小球运动的速度越小D．θ越大，小球运动的周期越大车辆转弯问题研究1．火车转弯问题，如图所示．(1)内外轨高度相同时，转弯所需的向心力由外轨道的弹力提供．(2)外轨高度高于内轨，火车按设计速度行驶时，火车转弯所需的向心力由重力和弹力的合力提供，如图所示．火车实际行驶速度大于设计速度时，其转弯所需的向心力由重力、弹力和外轨道的弹力提供．2．汽车转弯问题(1)路面水平时，转弯所需的向心力由静摩擦力提供，若转弯半径为R，路面与车轮之间的最大静摩擦力为车重的μ倍，汽车转弯的最大速度为v＝.(2)高速公路的转弯处，公路的外沿设计的比内沿略高，若汽车以设计速度转弯时，汽车转弯的向心力由重力和弹力的合力提供．【例2】

铁路转弯处的弯道半径r是根据地形决定的，弯道处要求外轨比内轨高，其内外轨道高度差h的设计不仅与r有关，还取决于火车在弯道上的行驶速率，下表中是铁路设计人员技术手册中弯道半径r及与之对应的轨道的高度差h：(g＝10m/s2)弯道半径r/m660330220165132110内外轨道高度差h/mm50100150200250300(1)据表中数据，导出h和r关系的表达式，并求出r＝440m时h的值．(2)铁路建成后，火车通过弯道时，为保证绝对安全，要求内、外轨道均不向车轮施加侧向压力，又已知我国铁路内、外轨的间距设计值L＝1435mm，结合表中的数据，算出我国火车的转弯速度v.(以km/h为单位，结果取整数)(设轨道倾角很小时，正弦值按正切值处理)思路点拨：根据数据表分析r和h的关系，利用圆周运动的动力学知识求解．答案：(1)hr＝33m2

75mm

(2)54km/h针对训练．铁路转弯处的弯道半径r是根据地形决定的．弯道处要求外轨比内轨高，其内外轨高度差h的设计不仅与r有关，还与火车在弯道上的行驶速率v有关，下列说法正确的是(

A

)A．v一定时，r越小则要求h越大B．v一定时，r越大则要求h越大C．r一定时，v越小则要求h越大D．r一定时，v增大则h可以不变竖直平面内两种模型物体在竖直面内做的圆周运动是一种典型的变速曲线运动，该类运动常有临界问题，并伴有“最大”、“最小”、“刚好”等词语，常见模型有两种——轻绳模型和轻杆模型，分析比较如下：解决竖直平面内圆周运动关键是把握住两点．(1)分清两种模型，研究最高点的临界条件及受力情况．(2)涉及最高点与最低点的比较要灵活应用动能定理或机械能守恒．【例2】

如图所示，质量为0.5kg的小桶里盛有1kg的水，用细绳系住小桶在竖直平面内做“水流星”表演，转动半径为1m，小桶在最高点的速度为5m/s，g取10m/s2.求：（1）在最高点时，求绳的拉力。（2）在最高点时，求水对小桶底的压力。（3）为使小桶经过最高点时水不流出，在最高点时的最小速率应是多少？针对训练：长l＝0.5m、质量可以忽略的杆，其下端固定于O点，上端连接着一个质量m＝2kg的小球A，A绕O点做圆周运动，如图所示，在A通过最高点时，试讨论在下列两种情况下杆的受力：(取g＝10m/s2)(1)当A的速率v1＝1m/s时．(2)当A的速率v2＝4m/s时．针对训练：如图所示，A、B、C三个物体放在旋转圆台上，与台面间的动摩擦因数均为μ，A的质量为2m，B、C质量均为m，A、B离轴的距离为R，C离轴的距离为2R.则当圆台旋转时以下说法不正确的是(设A、B、C都没有滑动)(

)A．C物体的向心加速度最大B．B物体所受静摩擦力最小C．当圆台转速增大时，C比A先滑动D．当圆台转速增大时，B比A先滑动解析：因A、B、C角速度相同，故向心加速度a∝R，选项A正确．静摩擦力提供向心力，F＝ma∝mR，有FA＝FC＝2FB，选项B正确．三个物体所受静摩擦力的最大值分别为FAm＝2μmg，FBm＝μmg，FCm＝μmg，因此，当转速增大时，C物体将先达到最大静摩擦力，先滑动，A、B物体将同时达到最大静摩擦力，同时滑动，选项C正确，D错误．答案：D.