第11章 齿轮机构

第8章齿轮机构§11－1

齿轮机构的特点和基本类型§11－2

齿廓实现定角速比传动的条件(齿廓啮合基本定理）§11－3

渐开线及其渐开线齿廓§11－4

齿轮各部分名称及标准齿轮的基本尺寸§11－5渐开线直齿圆柱齿轮的啮合传动§11－6渐开线齿轮的切齿加工的原理§11－7渐开线齿廓的根切现象与标准直齿圆柱齿轮的最少齿数§11－8变位齿轮传动第11章

齿轮传动本章将介绍渐开线直齿圆柱齿轮传动、斜齿圆柱齿轮传动以及直齿锥齿轮传动的设计计算，内容包括齿轮啮合原理和齿轮强度两个方面。

在齿轮啮合原理部分，以渐开线直齿圆柱齿轮的传动为主线，介绍渐开线特性、啮合特性、啮合传动以及几何尺寸计算等。而对变位齿轮仅介绍传动的类型、设计计算的步骤和内容。

在齿轮强度部分将介绍有关齿轮承载能力的内容，包括受力分析、失效形式、材料的选择、设计准则等，从而得出具体的设计计算方法。此外，还涉及齿轮的结构和润滑等问题。§11.1齿轮机构的特点和基本类型作用：传递空间任意两轴（平行、相交、交错）的旋转运动，或将转动转换为移动。结构特点：圆柱体或圆锥体外（或内）均匀分布有大小一样的轮齿。优点：①适用的圆周速度和功率范围广;②效率高(η→0.99);③传动比准确、传动平稳。④使用寿命长、工作安全可靠;⑤可实现平行轴、相交轴和交错轴之间的传动。缺点：要求较高的制造和安装精度，加工成本高、不适宜远距离传动(如单车)。123456789ABC平面齿轮传动（轴线平行）外齿轮传动直齿斜齿人字齿圆柱齿轮非圆柱齿轮

空间齿轮传动（轴线不平行）按相对运动分按齿廓曲线分直齿斜齿曲线齿圆锥齿轮两轴相交两轴交错蜗轮蜗杆传动交错轴斜齿轮准双曲面齿轮渐开线齿轮(1765年)摆线齿轮(1650年)圆弧齿轮(1950年)按速度高低分:按传动比分:按封闭形式分：齿轮传动的类型应用实例：提问参观对象、SZI型统一机芯手表有18个齿轮、炮塔、内然机。高速、中速、低速齿轮传动。定传动比、变传动比齿轮传动。开式齿轮传动、闭式齿轮传动。球齿轮抛物线齿轮(近年)分类：内齿轮传动齿轮齿条2ω2作者：潘存云教授1ω1椭圆齿轮准双曲面齿轮作者：潘存云教授斜齿圆锥齿轮作者：潘存云教授曲线齿圆锥齿轮o1ω1共轭齿廓：一对能实现预定传动比(i12=ω1/ω2)规律的啮合齿廓。§11.2

齿廓实现定角速度比的条件1.齿廓啮合基本定律一对齿廓在任意点K接触时，作法线n-nnnPo2ω2K“齿廓啮合基本定理”：欲使两齿轮瞬时角速比恒定不变，必须使P点为连心线上的固定点。如果要求传动比为常数，则应使O2P/O1P为常数。由于O2

、O1为定点，故P必为一个定点。齿轮传动的特点之一是要求瞬时角速度之比，即齿轮机构的传动比必须恒定为常数。这是对齿轮机构的最基本要求。如果齿轮机构不能满足“定传动比”要求，则当主动轮等角速度回转时，从动轮的角速度为变数，从而产生惯性力。这种惯性力不仅影响齿轮的寿命，而且还引起机器的振动和噪声，影响其工作精度。齿轮机构是依靠主动轮上各轮齿依次推动从动轮上各轮齿来实现运动和动力的传递。主动轮与从动轮的角速度之比称为齿轮机构的传动比，用符号i表示，即：下面就来研究齿廓曲线与齿轮传动比之间的关系。要保持齿轮机构传动比恒定不变，则轮齿的齿廓形状必须符合什么条件呢？E2E1N1N2vK1vK2r1’r2’αK1αK2αK1αK2ω2·O2K=vK1、vK2在过瞬时啮合点K的公法线nn上的分速度必须相等：i12=ω1ω2=O2KcosαK2O1K·cosαK1O2N2O1N1=O2PO1P=ω1·O1K=vK1cosαK1=vK2cosαK2ω1·O1K·cosαK1=ω2·O2KcosαK2节圆

节圆：

两节圆相切于P点，且两轮节点处速度相同，故两节圆作纯滚动。r’1r’2a=r’1+r’2中心距：o1ω1nnPo2ω2ka设两轮齿廓E1与E2在任意一点K接触，过接触点K作两齿廓的公法线nn，交两轮连心线O1O2于P点，称点P为节点。节点：以两轮轮心O1、O2为圆心，以两轮轮心O1、O2至节点P的距离为半径作的圆称为齿轮的节圆。r’1=O1P、r’2=O2P，称为节圆半径。P节圆半径：或:欲使齿轮保持定角速比,不论齿廓在任何位置接触，过接触点所作的齿廓公法线都必须与连心线交于一定点。2.齿廓曲线的选择

理论上，满足齿廓啮合定律的曲线有无穷多，但考虑到便于制造和检测等因素，工程上只有极少数几种曲线可作为齿廓曲线，如渐开线。其中应用最广的是渐开线，其次是摆线(仅用于钟表)和变态摆线

(摆线针轮减速器)，近年来提出了圆弧和抛物线。

渐开线齿廓的提出已有近两百多年的历史，目前还没有其它曲线可以替代。主要在于它具有很好的传动性能，而且便于制造、安装、测量和互换使用等优点。本章只研究渐开线齿轮。§11.3渐开线齿廓一、渐开线的形成和特性―条直线在圆上作纯滚动时，直线上任一点的轨迹2.渐开线的特性②直线BK是渐开线上K点的法线。渐开线上任意点的法线切于基圆，与基圆相切的任意直线必定是渐开线上某点的法线。③B点为曲率中心，BK为曲率半径。渐开线起始点A处曲率半径为零。BK－发生线，①

BK=AB；发生线NK基圆OArkθk基圆－rbθk－AK段的展角，

rK－K点向径－渐开线渐开线rb

当发生线L在基圆上作纯滚动时，发生线L与基圆相切的切点B是展开渐开线时发生线与基圆的绝对速度瞬心，因此直线BK是渐开线上K点的法线，即发生线是渐开线上某点的法线。又因为KB线切基圆于B点，所以渐开线上任意点K的法线必切基圆于B点；反知，与基圆相切的任意直线必定是渐开线上某点的法线。tt

发生线与基圆相切的切点B是渐开线上K点的曲率中心，而线段KB是渐开线上K点的曲率半径，所以渐开线离基圆越远的部分，其曲率半径也就越大，曲率也就越小，渐开线也就越平直；渐开线越靠近基圆的部分，其曲率半径也就越小，曲率也就越大，渐开线也越弯曲1.渐开线的形成OABKrKθKαKαkvKrb定义：啮合时K点正压力方向与速度方向所夹锐角为渐开线上该点之压力角αk。Fcosαk=OB/OK=rb/rk压力角αK的大小随渐开线上K点的位置不同而异，即渐开线上各点压力角不等。

K点离基圆中心O点越远，即rK越大，其压力角越大。对渐开线上基圆A点处的αb，由于rA=rb，cosαb=1，即αb=0，故渐开线上基圆A点处的压力角αb等于零。11.3.3渐开线方程2．齿廓压力角3．渐开线方程在工程中，为分析渐开线齿轮传动的啮合特性，计算几何尺寸及相关的啮合参数，常常需要用到渐开线方程。根据渐开线形成的过程，需要推导出其极坐标方程。OANKrKθKαKαkvKrbF11.3.3渐开线方程3．渐开线方程

A为渐开线在基圆上的起点，K为渐开线上任意一点。若以基圆的圆心O为极点，OA为极轴，极轴与K的向径rK的夹角θK为极角，建立极坐标系。渐开线上任意一点K的位置可用向径rK和展角θK来表示，K点的极坐标为(rK，θK)。渐开线的极坐标方程为：上式表明，θK随压力角αK而改变，称θK为压力角αK的渐开线函数，记作invαK，即：

θK=invαK=tanαK－αK为了计算方便，工程上已将不同压力角的渐开线函数的值列成表格，常用的渐开线函数可查表11.2得出。rK=rbcosαKθK=∠AON－αK=ANrb－αK=KNrb－αK=tanαK－αKOABKA1B1o1θkK④渐开线形状取决于基圆⑤基圆内无渐开线。当rb→∞，变成直线。rKθKαKαkvKrbB3o3θkA2B2o2FαKBC’ACrbOEC”⑥同一基圆上任意两条渐开线的公法线处处相等。由性质①和②有：两条反向渐开线,两条同向渐开线：AB

=AN1+N1B=A1N1+N1B1

=

A1B1AB=AN2+N2B=A2N2+N2B2

=

A2B2A1B1N1A2B2N2顺口溜：弧长等于发生线，基圆切线是法线，曲线形状随基圆，基圆内无渐开线。E2E1∴A1B1=A2B2=

ABA1E1=A2E2=AE,B1E1=A1E1－A1B1B2E2=A2E2－A2B2B1E1=B2E211.3.4

渐开线齿廓的啮合特点N2N1ω2O2rb2O1ω11．渐开线齿廓满足定角速比要求i12=ω1/ω2=O2P/O1P=constE1E2KPK’渐开线齿轮齿廓是由两段对称的渐开线组成。一对渐开线齿廓齿轮能够满足齿廓啮合基本定理一对渐开线齿廓，无论在任何位置接触，过接触点K所作的齿廓公法线nn必定与两轮轮心连线O1O2交于一定点P。一对渐开线齿轮的角速度比（即齿轮机构的传动比）始终保持恒定不变的值。由此可以证明：一对渐开线齿廓无论无论在何位置接触，过接触点所作的齿廓公法线必与两轮连心线交于一定点P，即一对渐开线齿廓能够符合齿廓啮合基本定理。因此，一对渐开线齿廓能保证瞬时传动比为恒定不变的值。传动比的大小为：rb1nn－－基圆半径之反比。基圆半径是定值由上述公式可知，一对渐开线齿轮的传动比与两基圆半径成反比，而且当齿轮制造完成后，其基圆半径便已经确定。因此，尽管制造、安装误差，以及在运行过程中，齿轮轴的变形、轴承的磨损等原因，使得两轮的实际中心距与原来设计的中心距产生偏差，但其传动比仍然保持不变。这一特性称为渐开线齿轮的可分性。渐开线齿轮的中心距可分性给齿轮制造、安装带来了很大方便。但是，需要指出的，中心距增大，将使两轮齿廓之间的间隙（齿侧间隙）增大，从而转动时会发生冲击和噪声等。因此渐开线齿轮传动的中心距不可能任意增大，而有一定的公差要求。齿轮传动的中心距路有变动时，仍能保证其传动比不变的特性称为渐开线齿轮的可分性。2、渐开线齿轮中心距的可分性rb1ω2O2rb2O1ω1N2N1PC1C2K传动比的大小为：3、渐开线齿廓的啮合线为一定直线，啮合角为一定角过节点P作两节圆切线tt，把啮合线N1N2与切线tt的夹角α'称为啮合角。因此，渐开线齿廓在啮合过程中，啮合角为恒定不变的值，在数值上等于渐开线在节圆上的压力角α’。啮合角不变表示齿廓间压力方向不变，若齿轮传递的力矩恒定，则轮齿之间、轴与轴承之间压力的大小和方向均不变，这也是渐开线齿轮传动的一大优点。

一对渐开线齿廓在啮合过程中，过两齿廓任意接触点K所作的公法线nn必定与两基圆的某侧内公切线N1N2相重合。因此，该对齿廓在啮合过程中，其任意接触点K都必定在直线N1N2上。因此，一对渐开线齿轮的啮合线、过齿廓任意接触点所作的公法线以及两基圆的内公切线必定重合成一直线，而且该直线也一定是一对齿廓相互作用力的作用线。直线N1N2也称为啮合线。由于（渐开线齿廓的）啮合线N1N2为一定直线，因而，啮合角α'也为一定角，其值的大小可由图中的几何关系得出：把一对齿廓啮合点的运动轨迹称为啮合线。ω2O2rb2O1ω1E1E2KK’Pα’N2N1nntt一、外齿轮§11.4

齿轮各部分名称及标准齿轮的基本尺寸rbO11.4.1外齿轮1.名称与符号pn齿顶圆－

da、ra齿根圆－

df、rf齿厚－

sk

任意圆上的弧长齿槽宽－

ek

弧长齿距（周节）－

pk=sk+ek

同侧齿廓弧长齿顶高ha齿根高

hf齿全高

h=ha+hf齿宽－

BhahfhBpra分度圆－－人为规定的计算基准圆表示符号：

d、r、s、e，p=s+e，m法向齿距（周节）－

pnseskek=pb§11.4

齿轮各部分名称及标准齿轮的基本尺寸pbrfrpkpkZ=πdk，dk=Zpkπ=Zmkm=4z=162．基本参数②模数－m①齿数－z出现无理数,不方便,为了计算、制造和检验的方便分度圆周长：πd=zp,d=zp/π称为模数m

。m=2

z=16模数的单位：mm，它是决定齿轮尺寸的一个基本参数。齿数相同的齿轮，模数大，尺寸也大。于是有：

d=mz，r=mz/2人为规定：m=p/π只能取某些简单值，m=1

z=16

0.350.70.91.752.252.75(3.25)3.5(3.75)第二系列

4.55.5(6.5)79(11)14182228(30)3645标准模数系列表（GB1357－87）

0.10.120.150.20.250.50.40.50.60.8第一系列

11.251.522.5345681012162025324050为了便于制造、检验和互换使用，国标GB1357-87规定了标准模数系列。Orfrarbr速度方向正压力方向OωrbriBiKiN③分度圆压力角得:αi＝arccos(rb/ri)由

rb＝ricosαi定义分度圆压力角为齿轮的压力角：对于同一条渐开线：ri↓→αi

↓αb＝0α1AαiαiB1K1r1αvFαP由d=mz知：m和z一定时，分度圆是一个大小唯一确定的圆。规定标准值：α＝20°由db＝dcosα可知，基圆也是一个大小唯一确定的圆。称

m、z、α为渐开线齿轮的三个基本参数，决定了齿廓渐开线形状。对于分度圆直径相同的齿轮，如果α不同，则基圆大小将不同，因而其齿廓形状也不同。α是决定渐开线齿廓形状的一个重要参数。或rb＝rcosα，α＝arccos(rb/r)db＝dcosα由此可以给齿轮分度圆下一个完整的定义：分度圆就是指齿轮上具有规定的标准模数和标准压力角的特定圆。

设计：潘存云3．齿轮各部分尺寸的计算公式：齿顶高：ha=ha*m齿根高：hf=(ha*+c*)m全齿高：h=ha+hf齿顶圆直径：

da=d+2ha齿顶高系数:ha*齿根圆直径：

df=d-2hf顶隙系数:c*分度圆直径：

d=mz=(2ha*+c*)m=(z+2ha*)m=(z-2ha*-2c*)mrrf正常齿：

ha*＝1短齿制：

ha*＝0.8正常齿：

c*＝0.25短齿制：

c*＝0.3rahahfhhahfhBprarfrpnpbrbO基圆直径：法向齿距：标准齿轮：一个标准齿轮的基本参数和参数的值确定之后，其主要尺寸和齿廓形状就完全确定了。=mzcosα=πdb/z=πmcosα=pcosα统一用pb表示m

、α、ha*

、c*

取标准值，且e=s的齿轮。Nαdb=dcosαpn=pbseB11.4.2齿条特点：齿廓是直线，各点法线和速度方向线平行1)压力角处处相等，且等于齿形角，2)齿距处处相等:

p=πm其它参数的计算与外齿轮相同,如：

分度线:s=πm/2e=πm/2

esppnhahfz→∞的特例。齿廓曲线（渐开线）→直线ha=ha*m

hf=(ha*+c*)mpn=pcosαα为常数。ααα分度线pnhNαsehahfpBOrbrfra1)轮齿与齿槽正好与外齿轮相反。2)df>d>da11.4.3内齿轮3)为保证齿廓全部为渐开线，，da＝d-2ha,df＝d+2hf结构特点：轮齿分布在空心圆柱体内表面上。不同点：要求da>db。rrrKrbraAAKK’SKCC’SβOαθαKθKN11.4.4任意圆上的齿厚

在齿轮设计和检验时，常常需要知道某一圆上的齿厚。一个齿轮不同圆上的齿厚是不一样的，下面推导任意圆齿厚的计算公式。由图可知：

SK=β·rKβ=∠KOK’

SK=β·rK

=∠COC’－2∠COK

rb2r2O2ω2rb2r2O2ω2rb2r2O2ω2rb1r1O1ω1rb1r1O1ω1rb1r1O1ω1pb2pb2pb2pb1pb1<pb2pb1>pb2pb1=pb2pb1pb1不能正确啮合!不能正确啮合!能正确啮合!一对齿轮传动时，所有啮合点都在啮合线N1N2上。m1<m2从外观看齿1比齿2小m1>m2外观齿1比齿2大§11.5渐开线标准齿轮的啮合PN1N2B2B1B1PN1N2B2PN1N2B1B2为了使前一对轮齿和后一对轮齿的啮合在交替过程中仍能正确啮合和连续传动，那末齿轮应具备什么条件呢？由§11－2节可知，一对渐开线齿廓能满足齿廓啮合基本定律并能保证定传动比传动，但一对齿廓毕竟只能传递有限的转角，要使一对齿轮连续不断地啮合传动，绝对不能仅依靠一对轮齿来完成，必须由齿轮上各个轮齿，一对一对依次啮合来实现传动。11.5.1正确啮合的条件rb2r2O2rb1r1O1ω1ω2PN1N2B2B1要使进入啮合区内的各对齿轮都能正确地进入啮合，两齿轮的相邻两齿同侧齿廓间的法向距离应相等：11.5.1

正确啮合条件

pb1=pb2将pb=πmcosα代入得：

m1cosα1=m2cosα2因m和α都取标准值，使上式成立的条件为：m1=m2

，α1=α2结论：一对渐开线齿轮的正确啮合条件是它们模数和压力角应分别相等。pb2i12

=--ω1ω2传动比：

=--db2db1

=--d2’d1’

=--d2d1

=--Z2Z1pb1rb2r2O2r1O1ω1ω2PN1N2rb111.5.2正确安装条件一对标准齿轮，确定中心距a时，应满足两个要求：2)顶隙c为标准值：

储油用此时有：

a=ra1+c+rf2=r1+ha*m=r1+

r2为了便于润滑、制造和装配误差，以及受力受热变形膨胀所引起的挤压现象，实际上侧隙不为零，由公差保证。ra1ra1rf2rf2ace1’－s2’=0c=c*m+c*m+

r2-(ha*m+c*m)=m(z1+z2)/2a=r1+r2标准中心距标准安装对于标准齿轮来说：s1=e1=πm/2，s2=e2=πm/2，e1=s21．

齿侧间隙1)理论上齿侧间隙为零Δ=2．

标准安装

对于标准齿轮在安装时，若齿侧间隙为零，则分度圆与节圆重合，d1’=d1，d2’=d2arb2O2O1ω1ω2PN1N2rb1两轮节圆总相切：

a=r1’+r2’

=r1+

r2两轮的传动比：

i12=r2’/r1’r1’

=r1r2’=r2在标准安装时节圆与分度圆重合。=r2/r1α’=α因此有：α’=α必须指出：分度圆和压力角是单个齿轮就有的；而节圆和啮合角是两个齿轮啮合后才出现的。3．非标准安装时，两分度圆将分离r’2=r2r’1=r1a'＝r1'＋r2'，而r'＝rb/cosα'，rb＝rcosα

4．齿轮齿条的啮合

当齿轮齿条啮合时，相当于齿轮的节圆与齿条的节线作纯滚动。当采用标准安装时，齿条的节线与齿轮的分度圆相切，此时靠近齿轮时（相当于齿轮中心距改变），由于齿条的齿廓是直线，所以啮合线位置不变，啮合角不变，节点位置不变，所以不管是否为标准安装，齿轮与齿条啮合时齿轮的分度圆永远与节圆重合，啮合角恒等于压力角。但只有在标准安装时，齿条的分度线才与节线重合。α’=α。当齿条远离或N1N2O1rb1Prb2ω2ω1O21.一对轮齿的啮合过程轮齿在从动轮顶圆与N1N2

线交点B2处进入啮合，主动轮齿根推动从动轮齿顶。随着传动的进行，啮合点沿N1N2

线移动。在主动轮顶圆与N1N2

线交点处B1脱离啮合。主动轮：啮合点从齿根走向齿顶，而在从动轮，正好相反。B1B2

－实际啮合线N1N2

：因基圆内无渐开线理论上可能的最长啮合线段--N1、N2

－啮合极限点阴影线部分－齿廓的实际工作段。理论啮合线段11.5.3连续传动的条件ra2B1----终止啮合点B2

----起始啮合点N1N2ra1B2B1pb2.连续传动条件一对轮齿啮合传动的区间是有限的。要保证齿轮连续转动，则在前一对轮齿脱离啮合之前,后一对轮齿必须及时地进入啮合。为保证连续传动，要求：实际啮合线段B1B2≥pb

(齿轮的法向齿距)，定义:

ε=

B1B2/pb

为一对齿轮的重合度一对齿轮的连续传动条件是：为保证可靠工作，工程上要求：[ε]的推荐值：使用场合一般机械制造业汽车拖拉机金属切削机

[ε]1.41.1～1.21.3从理论上讲，重合度为1就能保证连续传动，但齿轮制造和安装有误差即：

B1B2/pb≥1ε≥[ε]ε≥1

采用标准齿轮，总是有：ε≥1故不必验算。O1N2N1KO2ω2ω1B1B2重合度ε示一对齿轮在啮合过程中，同时参与啮合的轮齿的对数。反映了齿轮传动的连续性。ε大，表明同时参与啮合轮齿的对数多，每对齿的载荷小，载荷变动量也小，传动平稳。因此，ε

是衡量齿轮传动质量的指标之一。ε

的计算公式为：式中，

§11.6渐开线齿轮的切齿原理齿轮加工方法仿形法盘铣刀指状铣刀铸造法热轧法冲压法模锻法粉末冶金法切制法最常用铣削拉削11.6.1仿形法铣削展成法(范成法共轭法包络法)插齿滚齿剃齿磨齿仿形法是用渐开线齿形的成形铣刀直接切出齿形。常用的刀具有

指状铣刀加工盘铣刀加工铣刀旋转，工件进给分度、断续切削。适用于加工大模数m>20

的齿轮和人字齿轮。由db=mzcosα可知，渐开线形状随齿数变化。要想获得精确的齿廓，加工一种齿数的齿轮，就需要一把刀具。这在工程上是不现实的。进给分度分度切削ω切削ω进给仿形法加工的特点：产生齿形误差和分度误差，精度较低，加工不连续，生产效率低。适于单件生产。铣刀号数所切齿轮12～1314～1617～2021～2526～3435～5455～134≥135齿数一组8把各号铣刀切制齿轮的齿数范围12345678

ωω0ωω0齿轮插刀加工i=ω0/ω=z/z011.6.2展成法1.齿轮插刀共轭齿廓互为包络线切削运动ωω0范成运动让刀运动展成法是齿轮加工中最常用的一种方法。它是利用一对齿轮(或齿轮与齿条)啮合时其共轭齿廓互为包络线的原理来切齿的。如果把其中一个齿轮(或齿条)做成刀具，就可以切出与它共轭的渐开线齿廓。用展成法切齿的常用刀具如下：由于插齿刀的齿廓是精确的渐开线，所以加工出的齿廓也是渐开线。根据齿轮的正确啮合条件，被切齿轮的模数与压力角一定要与插刀的模数和压力角相等，故用同一把插齿刀加工出的齿轮都能正确啮合。这种方法，除加工外啮合齿轮外，还可加工内啮合齿轮和双联齿轮。进给切削让刀ωv范成V＝ωr＝ωmz/22.齿条插刀插齿加工过程为断续切削，生产效率低。齿条插刀加工时齿廓包络过程滚刀进给进给ω0ωvωω0范成运动V＝ωr＝ωmz/2γ滚刀倾斜tt滚刀轴剖面相当于齿条相当于齿轮齿条啮合传动ω0切削3.齿轮滚刀被加工齿轮为什么滚刀要倾斜一个角度呢？展成法加工的特点：一种模数只需要一把刀具连续切削，生产效率高，精度高，用于批量生产。ttttγhf=(h*a+c*)m4.用标准齿条型刀具加工标准齿轮标准齿条型刀具比基准齿形高出c*m一段切出齿根过渡曲线。

非渐开线讨论切制原理时不考虑此部分。GB1356-88规定了标准齿条型刀具的基准齿形。(1)标准齿条型刀具(2)用标准齿条型刀具加工标准齿轮h*am分度线分度圆ha=h*am加工标准齿轮：刀具分度线刚好与轮坯的分度圆作纯滚动。加工结果：

s＝e＝πm/2esha=h*amhf=(h*a+c*)mh*amc*mc*m顶线α=20°πm/2πm/2分度线PααrbrraN1O1分度圆基圆11.7.1根切现象图示现象称为轮齿的根切。根切的后果：①削弱轮齿的抗弯强度；以下分析产生根切的原因:②使重合度ε下降。§11.7根切现象、最少齿数及变位齿轮23B1PB2<PN1不根切1刀具在位置1开始切削齿间；在位置2开始切削渐开线齿廓；在位置3切削完全部齿廓；当B2落在N1点的下方：PB2<PN1

B2PααrbrraN1O13PB2=PN1不根切1刀具在位置1开始切削齿间；在位置2开始切削渐开线齿廓；在位置3切削完全部齿廓；当B2落在N1点之上：PB2=PN1

2B1B2O1PααN1rbr1发生根切4M在位置2开始切削渐开线齿廓；在位置3切削完全部齿廓；已加工好的齿廓根部落在刀刃的左侧，被切掉；刀具沿水平移动的距离：

N1M

＝rφ沿法线移动的距离：

N1K

＝N1Mcosα弧长与直线长度相等：

N1K

＝N1N’1到达位置4时，K强调B2的位置强调N’1是齿廓起始点,并证明该点落在刀刃左边基圆转过的弧长为：

N1N’1＝rbφ＝rφcosα＝rφcosα2

B1B23αφN’1根切轮坯转过φO1PαN1rbr结论：刀具齿顶线与啮合线的交点B2落在极限啮合点

N1的右上方，必发生根切。根切原因为：PB2>PN1B2P11.7.2渐开线齿轮不发生根切的最少齿数当被加工齿轮的模数m确定之后，其刀具齿顶线与啮合线的交点B2就唯一确定，这时极限啮合点N1的位置随基圆大小变动。当N1、B2两点重合时，正好不根切。不根切的条件：在△PN1O1

中有：在△PB2B’

中有：代入求得：

z≥2

ha*/sin2α

取α=20°,ha*=1，得:zmin=17h*am即：

zmin＝2ha*/sin2α

PN1≥PB2

PN1=rsinαPB2=ha*m/sinαB2B’αrb3

N1rb

N1O1rb1N1

rαmzsinα

mzsinα≥ha*m/sinα§11.8变位齿轮及其齿厚的确定标准齿轮的优点：计算简单、互换性好。缺点：①当z<zmin时，产生根切。但实际生产中经常要用到

z<zmin的齿轮。②不适合a’≠a的场合。a’<a

时，不能安装。当a’>a

时，产生过大侧隙，且ε↓③小齿轮容易坏。原因：ρ小，滑动系数大，齿根薄。希望两者寿命接近。为改善上述不足，就必须对齿轮进行变位修正。N1αα11.8.1变位齿轮1．加工齿轮时刀具的移位切引入为避免根切，可径向移动刀具

xm

B2x-----为移距系数。

xmxm----移距B2靠近轮坯中心时，x<0，

负变位齿轮。规定:远离轮坯中心时，x>0，

正变位齿轮。刀具中线2．变位齿轮的特点PPB2由于刀具一样，变位齿轮的基本参数m、z、α与标准齿轮相同，故d、db与标准齿轮也相同，齿廓曲线取自同一条渐开线的不同段。正变位齿轮

x>0hahf标准齿轮

x＝0分度圆负变位齿轮

x<0变位后，齿轮的齿顶高与齿根高有变化。分度圆PN1基圆O1αrb３.齿厚与齿槽宽的确定齿厚：

s=πm/2xm·tanαabc正变位：齿厚变宽，齿槽宽减薄。xmxm刀具节线变位后与轮坯分度圆相切的不是刀具的分度线，而是刀具节线，刀具节线上的齿厚减小、齿槽宽增大，则轮坯分度圆上的齿厚将增大。齿槽宽：e=πm/2+2xm·tanα－2xm·tanα负变位：正好相反。采用变位修正法加工变位齿轮，不仅可以避免根切，而且与标准齿轮相比，齿厚等参数发生了变化，因而，可以用这种方法来提高齿轮的弯曲强度，以改善齿轮的传动质量。且加工所用刀具与标准齿轮的一样，所以变位齿轮在各类机械中获得了广泛地应用。αB2刀具分度线acbS=πm/2s’4．最小变位系数

用展成法加工齿数少于最少齿数的齿轮时，为避免根切必须采用正变位齿轮。当刀具的齿顶线正好通过N1点时，刀具的移动量为最小，此时的变位系数称为最小变位系数，用xmin表示。

由上图可知，不发生根切的条件为：B2xmxmB2Mha*mha*m－xm≤N1MN1MN1αα节线P

=N1Psinα=rsin2α

ha*m－xm

zmin＝2ha*/sin2α，

当α=20°，ha*=1时，

刀具中线11.8.2变位齿轮传动1．变位齿轮的几何尺寸变位齿轮的齿数、模数、压力角都与标准齿轮相同，所以分度圆直径、基圆直径和齿距也都相同，但变位齿轮的齿厚、齿顶圆、齿根圆等都发生了变化。

对于正变位齿轮来说，其齿顶圆和齿根圆加大了，ha＞ha*m

，齿根高hf＜(ha*＋c*)m，具体的尺寸计算公式列于P201页表11.6中。。2．变位齿轮传动的类型标准齿轮传动x1＝x2＝0等移距变位齿轮传动：x1+x2＝0不等移距变位齿轮传动零传动：x1＞0，x2＜0；

正传动

x1＋x2>0负传动

x1＋x2<0变位齿轮传动类型高度变位齿轮传动变位系数的确定：小齿轮采用正变位，x1>0，大齿轮采用负变位，x2<0优缺点：①可采用z1≤zmin的小齿轮，仍不根切,使结构更紧凑。②改善小齿轮的磨损情况。③相对提高承载能力，因大小齿轮强度趋于接近。④缺点是:没有互换性，必须成对使用，ε略有减小。x1＝-x2或角度变位齿轮传动x1≠-x2由式(4-21)和(4-22)可知，这种传动中，小轮分度圆齿厚的增量正好等于大轮分度圆齿槽宽的增量，故两轮分度圆相切(即分度圆与节圆重合)，仍可实现无侧隙啮合。因此，等移距变位齿轮传动的中心距仍为标准中心距a，其啮合角也与标准齿轮传动相同，α’=α=20°。但刀具变位后，被切齿轮的齿顶高和齿根高已不同于标准齿轮，所以等移距变位又称高变位。除标准齿轮传动(x1＝x2＝0)和等移距变位齿轮传动(x1＝－x2)之外，其余变位齿轮传动均称为不等移距变位齿轮传动。其变位系数可在不根切的条件下自由选择。这种传动中，x1≠－x2，故由式(4-21)和(4-22)可见，s1与e2必定不相等。若s1＜e2，则x1+x2＜0，则二分度圆相切时必然出现过大的齿侧间隙，只有缩小中心距(a‘＜a)，使二轮趋近，才能消除过大间隙，实现正常传动。反之，若s1＞e2，则x1+x2＞0），则二分度圆相切时将无法安装，只有拉开中心距(a'＞a)，使二轮远离，才能安装。综上所述可知，采用不同变位系数可使不等移距变位齿轮传动实现任意非标准中心距，因而常用于变速箱滑移齿轮设计等场合。

由上所述可知，不等移距变位齿轮传动的中心距不等于标准中心距。中心距增减时，二轮的分度圆相离或相交，但不相切。显然，这种传动中，分度圆不与节圆相重合，啮合角不等于分度圆压力角，α’≠α＝20°，由于啮合角发生变化，所以不等移距变位又称角变位。角变位除用于凑配中心距之外，还常用于增大啮合角，从而提高接触强度。角变位传动的几何尺寸计算较为复杂，其有关公式可参阅机械设计手册。这种传动中，两轮变位系数绝对值相等，但小轮为正变位，大轮为负变位，即；x1＞0，x2＜0，x1＝一x2。由于小轮取正变位，故可减少小轮的齿数和增大小轮根部的厚度，从而提高传动质量。为了使两轮都不产生根切，两轮齿数之和必须大于或等于最小齿数的两倍，即：z1+z2≥2zmin。正常齿等移距变位齿轮传动的几何尺寸计算参看表4-311.8.3变位齿轮传动的设计步骤设计变位齿轮时，根据不同的已知条件，可采用不同的设计步骤。1）已知z1、z2、m、α、ha*、c*时，其设计步骤为：

①选择传动类型，若：z1＋z2<2zmin。必须采用正传动，否则可考虑其他传动类型

②选择两齿轮的变位系数；

③计算两齿轮的几何尺寸；

④验算重合度、正变位齿轮的齿顶厚及轮齿强度。2）已知z1、z2、m、α、a'、ha*和c*时，其设计步骤为：

①计算啮合角α'：②选择两齿轮的变位系数：

11.8.3变位齿轮传动的设计步骤③计算两齿轮的几何尺寸；④验算重合度及正变位齿轮的齿顶厚。3）已知i、m、α、α'、ha*和c*，其设计步骤为：

①确定两齿轮的齿数；因

故得：

②其余步骤同2）。

§11－8平行轴斜齿轮传动1.斜齿轮的共轭齿廓曲面考虑齿轮宽度，则直齿轮的齿廓曲面是发生面在基圆柱上作纯滚动时，发生面内一条与轴线平行的直线KK所展成的曲面。直齿轮：啮合线→啮合面两基圆的内公切面啮合点→接触线，即啮合面与齿廓曲面的交线。啮合特点:

沿齿宽同时进入或退出啮合。突然加载或卸载，运动平稳性差，冲击、振动和噪音大。斜直线KK的轨迹－斜齿轮的齿廓曲面→螺旋线渐开面Kβb

－基圆柱上的螺旋角KK线上每一点都产生一条渐开线，其形状相同而起始点不在同一条母线上发生面

基圆柱发生面AKAAAβbKK12βb啮合面基圆柱渐开线螺旋面KK齿面接触线齿面接触线始终与K-K线平行并且位于两基圆的公切面内。啮合特点:接触线长度的变化：短→长→短加载、卸载过程是逐渐进行的→传动平稳、冲击、振动和噪音较小，适宜高速、重载传动。在端面内，斜齿轮的齿廓曲线为渐开线，相当于直齿圆柱齿轮传动，满足定传动比要求。β二、斜齿轮的基本参数1.斜齿轮的螺旋角将分度圆柱展开，得一矩形，有：tgβ=πd/l其中αt为端面压力角。πdπdb同理，将基圆柱展开，也得一矩形，有：tgβb=πdb/ll得：

tgβb/tgβ=db/d∴

tgβb=tgβcosαt=cosαtβ定义分度圆柱上的螺旋角为斜齿轮的螺旋角β

。判别方法dββb右旋β左旋βB法面内的齿形与刀具的齿形一样，取标准值。2.模数mn、mt将分度圆柱展开，得一矩形，pn=ptcosβ将pn＝πmn,pt＝πmt

代入得：βpt

β可求得端面齿距与法面齿距之间的关系：斜齿轮的齿面为螺旋渐开面，其法面齿形和端面齿形不一样，参数也不一样。切削加工时，刀具沿齿槽方向运动，故法面内的齿形与刀具的齿形一样，取标准值。计算时，按端面参数进行，故应建立两者之间的关系。端面是圆，而法面不是圆πdmn=mtcosβnn

pnb'a'c压力角：αn、αt用斜齿条说明：ββ在△a’b’c’中，有：∠a’b’c=αn

在△abc中,有：∠abc=αt由

ab=a’b’,a’c=accosβ

得：tgαn=tgαt

cosβ

3.斜齿轮传动的几何尺寸不论在法面还是端面，其齿顶高和齿根高一样：h*an－法面齿顶高系数，han*＝1c*n－法面顶隙系数,

c*n＝0.25过c点作轮齿的法剖面在法面和端面内齿高一样,tgαn=a’c/a’b’tgαt=ac/ab

ha=h*anmnhf=(h*an+c

*n)mnαnabcaa’βαt分度圆直径：

d=zmt=zmn/cosβ中心距：

a=r1+r2可通过改变β来调整a的大小。4.一对斜齿圆柱齿轮的正确啮合条件啮合处的齿向相同。外啮合:

β1＝-β2mn1=mn2

，αn1=αn1

mt1=mt2

，αt1＝αt2一对斜齿轮的正确啮合条件，除了模数和压力角应分别相等外，其螺旋角必须匹配。=mn(z1+z2)/2

cosβ

内啮合：β1＝β2bB2B25.斜齿轮传动的重合度直齿轮：斜齿轮：ε的增量：△ε＝△L/pbt分析图示直齿轮和斜齿轮在啮合面进入啮合(B2B2)和退出啮合(B1B1)的情形。△LβbβbB1B1＝btgβb/pbt

＝ε+△ε若b＝100，β＝20∘mn＝2则：

B1B1bB2B2Lε＝L/pb

εγ＝(L+△L)/pbt＝btgβ/pt△ε＝5.45啮合面啮合面cdβρ6.斜齿圆柱齿轮的当量齿数用盘铣刀加工斜齿轮时，加工沿法面进行，要求斜齿轮法面内的齿形与所选铣刀的齿形近可能接近。选择铣刀组号的依据是直齿轮的齿数，因此，有必要知道一个齿数为z的斜齿轮法面内的齿形与多少个齿的直齿轮的齿形相当，该直齿轮作为选刀号的依据。定义：与斜齿轮法面齿形相当的直齿轮，称为该斜齿轮的当量齿轮，其齿数称当量齿数。过分度圆C点作轮齿的法剖面得一椭圆，以C点曲率半径ρ作为当量齿轮的分度圆半径。rv＝ρ得：zv＝2rv/mn斜齿轮不发生根切的最少齿数：

zmin=zvmincos3β＝d/mncos2β＝zmt/

mncos2β＝z/cos3βa椭圆长半轴:a=d/2cosβ短半轴:

b=d/2

由高数知，C点的曲率半径为：b＝a2/b=d/2cos2β若β=20∘zvmin=17zmin=14齿槽βnnβFnFtββFtFn7.斜齿轮的主要优缺点

①啮合性能好、传动平稳，噪音小。

②重合度大，承载能力高。③zmin<zvmin,机构更紧凑。

④缺点是产生轴向力，且随β增大而增大，一般取β＝8°～20°。采用人字齿轮，可使β＝25°～40°。常用于高速大功率传动中(如船用齿轮箱)。FsFsββ§11－9锥齿轮机构

一、圆锥齿轮传动的概述圆锥齿轮用于相交两轴之间的传动。与圆柱齿轮不同，圆锥齿轮的轮齿是沿圆锥面分布的，其轮齿尺寸朝锥顶方向逐渐缩小。圆锥齿轮的运动关系相当于一对节圆锥作纯滚动。除节圆锥外，圆锥齿轮还有分度圆锥、齿顶圆锥、齿根圆锥、基圆锥。图4-21所示为一对标准直齿圆锥齿轮，其节圆锥与分度圆锥重合。线段OC称为锥距。1、2为节锥角，为两节圆锥几何轴线的夹角（＝1＋2），r1、r2为大端分度圆半径。因r1＝OCsin1，r2＝OCsin2，故其传动比为：

§11－9锥齿轮机构当＝1＋2＝90°时§11－9锥齿轮机构二、直齿圆锥齿轮几何尺寸计算

圆锥体有大端和小端。大端尺寸较大，计算和测量的相对误差较小，且便于确定齿轮机构的外廓尺寸，所以直齿锥齿轮的几何尺寸计算以大端为标准。齿宽b不宜太大，齿宽过大则小端的齿很小，不仅对提高强度作用不太，而且会增加加工困难。齿宽的常用范围是b＝（0.25～0.3）R。

直齿锥齿轮的正确啮合条件是：两轮大端模数必须相等，压力角必须相等。除此之外，两轮的外锥距也必须相等。§11－9锥齿轮机构直齿圆锥齿轮的齿高由大端到小端逐渐收缩，按顶隙不同，可分为不等顶隙收缩齿（图4-22a）和等顶隙收缩齿（图4-22b）两种。§11－9锥齿轮机构不等顶隙圆锥齿轮的齿顶圆锥、齿根圆锥和分度圆锥具有同一锥顶点，所以其顶隙也由大端到小端逐渐缩小。这种齿轮的缺点是小端轮齿强度较差且润滑不良。§11－9锥齿轮机构等顶隙圆锥齿轮的齿根圆锥和分度圆锥共锥顶，但齿顶圆锥（其母线与另一轮的根圆锥母线平行）并不与分度圆锥共锥顶。这种齿轮能增加小端顶隙，改善润滑状况；同时还可降低小端齿高，提高小端轮齿的弯曲强度，故GB12369-90规定采用等顶隙圆锥齿轮传动。§11－9锥齿轮机构当轴交角∑＝90°时，一对标准直齿圆锥齿轮各部分名称和尺寸计算公式见表4-4(P82)。由表可知，等顶隙齿与不等顶隙齿几何尺寸的主要区别在齿顶角θa。等顶隙齿θa＝θf；不等顶隙齿θa＝arctan(ha/Re)Σ＝90°标准直齿圆锥齿轮的几何尺寸计算

r2O2r1PO1P1rv1§11－9

圆锥齿轮机构一、圆锥齿轮概述作用：传递两相交轴之间的运动和动力。结构特点：轮齿分布在锥台表面上，轮齿大小逐渐由大变小。轴交角∑：根据需要确定为了计算和测量的方便，取大端参数(如m)为标准值。名称变化：圆柱→圆锥，如分度圆锥、齿顶圆锥等。δ1=90°相当于齿轮齿条啮合分度圆锥角δ。P21冠轮δ2∑轴交角∑

根据需要确定圆锥齿轮类型按齿形分有：直齿、斜齿、曲齿(圆弧齿、螺旋齿)∑=90°常用∑=90°直齿斜齿曲齿渐缩齿等高齿平面啮合