第04讲平面一般力系

3.平面一般力系

定义：作用在物体上的各力的作用线都在同一平面内，既不相交于一点又不完全平行，这样的力系称为平面一般力系。如图起重机横梁。

GQFAyFAxFT平面一般力系的简化

1.力的平移定理FAOF′

F″

AOF′

M=因此：作用于刚体上的力，可平移到刚体上的任意一点，但必须附加一力偶，其附加力偶矩等于原力对平移点的力矩。

dd2.平面一般力系向平面内任意一点的简化

作用于简化中心O点的平面汇交力系可合成为一个力，称为该力系的主矢，其作用线过简化中心点O。各附加力偶组成的平面力偶系的合力偶矩，称为该力系的主矩。主矩等于各分力对简化中心的力矩的代数和，作用在力系所在的平面上,如图示。主矢的大小和方向为：3.简化结果及分析结果：平面一般力系向平面内一点简化，得到一个主矢和一个主矩，主矢的大小和方向与简化中心的选择无关。主矩的值一般与简化中心的选择有关。

分析：（1）若，则原力系简化为一个力和一个力偶。在这种情况下，根据力的平移定理，这个力和力偶还可以继续合成为一个合力FR，其作用线离O点的距离为，利用主矩的转向来确定合力FR的作用线在简化中心的哪一侧。OFR′

MoOFR

dOMoFR′

OFR

d(2)若，则原力系简化为一个力。在这种情况下，附加力偶系平衡，主矢即为原力系的合力FR，作用于简化中心。(3)若，则原力系简化为一个力偶，其矩等于原力系对简化中心的主矩。在这种情况下，简化结果与简化中心的选择无关。即无论力系向哪一点简化都是一个力偶，且力偶矩等于主矩。(4)若，则原力系是平衡力系。同理，如果力系是平衡力系，该力系的主矢、主矩必然为零。因此，就是平面一般力系平衡的必要与充分条件。由此可得平面一般力系的平衡方程为

：例1：求图示梁支座的约束反力。已知

：aaaFFAB解:取梁为研究对象。受力图如图示。建立坐标系，列平衡方程：FyFxFByxFx-FBsin30º=0Fy+FBcos30º-2F=0-Fa-2Fa+3aFBcos30º=0即：求得：FB=2.3KNFx=1.15KNFy=2KN4.平面平行力系定义：平面力系中各力的作用线互相平行，则称为平行力系，如图所示。F1F2F3F4F5yxo4.平面平行力系平面平行力系的平衡方程：如取坐标系中Oy轴与各力平行，各力在x轴上的投影恒等于零，即因此，平面平行力系的平衡方程为：或式中A、B两点连线不能与各力的作用线平行。例2：如图示为铁路起重机，起重机重力G1=500kN，重心C在两铁轨的对称面内，最大起重力F=200kN。为保证起重机在空载和满载时都不致翻倒，求平衡重力G及其距离x。尺寸如图所示。

AB

空载时，以A点为矩心，列平衡方程：

GX-0.75G1=0(1)

解：设左边铁轨对起重机的支撑力为FA，左边铁轨对起重机的支撑力为FB。则：空载时，此时FB=0；满载时，FA=0。

满载时，以B点为矩心，列平衡方程：

G(X+1.5)+0.75G1-6F=0(2)

由（1）、（2）可得：

G=300KNX=1.25m例4-3起重机的自重（平衡重除外）G=400kN，平衡重W=250kN。当起重机由于超载即将向右翻倒时，左轮的反力等与零。因此，为了保证安全工作，必须使一侧轮（A或B）的向上反力不得小于50kN。求最大起吊量P为多少？解：画支座反力FNA与FNB。令FNA=50kN。列平衡方程：

P=200kN

如为空载，仍应处于平衡状态，故

例题4.2平面力系的平衡5.物体系统的平衡条件由多个构件通过一定的约束组成的系统称为物体系统（物系）。系统外部物体对系统的作用力称为物系外力；系统内部各构件之间的相互作用力称为物系内力。二者没有严格的区别。

在求解物系的平衡问题时，不仅要考虑系统外力，同时还要考虑系统内力。若整个物系处于平衡时，那么组成这一物系的所有构件也处于平衡。既可以以整个系统为研究对象，也可以取单个构件为研究对象。例3:如图所示一三铰拱桥。左右两半拱通过铰链C联接起来，通过铰链A、B与桥基联接。已知G=40kN，P=10kN。试求铰链A、B、C三处的约束反力。3m解:取整体为研究对象画出受力图，并建立如图所示坐标系。列平衡方程

解之得：取左半拱为研究对象画出受力图，并建立如图所示坐标系。列解平衡方程：解之得：所以：物体系统：由若干个物体通过适当的约束相互连接而成的系统。静定问题：单个物体或物体系未知量的数目正好等于它的独立的平衡方程的数目。超静定或静不定：未知量的数目多于独立的平衡方程的数目.

4.3物体系统的平衡独立的平衡方程数：3未知力数：3独立的平衡方程数=未知力数独立的平衡方程数：3未知力数：4未知力数>独立的平衡方程数静定问题超静定问题4.3物体系统的平衡独立的平衡方程数：6未知力数：6独立的平衡方程数=未知力数独立的平衡方程数：6未知力数：7未知力数>独立的平衡方程数静定问题超静定问题4.3物体系统的平衡求解过程中应注意以下几点

首先判断物体系统是否属于静定问题

恰当地选择研究对象在一般情况下，首先以系统的整体为研究对象，这样则不出现未知的内力，易于解出未知量。当不能求出未知量时应立即选取单个物体或部分物体的组合为研究对象，一般应先选受力简单而作用有已知力的物体为研究对象，求出部分未知量后，再研究其它物体。4.3物体系统的平衡受力分析①首先从二力构件入手，可使受力图比较简单，有利于解题。②解除约束时，要严格地按照约束的性质，画出相应的约束力，切忌凭主观想象画力。对于一个销钉连接三个或三个以上物体时，要明确所选对象中是否包括该销钉？解除了哪些约束？然后正确画出相应的约束反力。③画受力图时，关键在于正确画出铰链约束力，除二力构件外，通常用二分力表示铰链反力。④不画研究对象的内力。⑤两物体间的相互作用力应该符合作用与反作用定律。4.3物体系统的平衡列平衡方程，求未知量①列出恰当的平衡方程，尽量避免在方程中出现不需要求的未知量。为此可恰当地运用力矩方程，适当选择两个未知力的交点为矩心，所选的坐标轴应与较多的未知力垂直。②判断清楚每个研究对象所受的力系及其独立方程的个数及物体系独立平衡方程的总数，避免列出不独立的平衡方程。③解题时应从未知力最少的方程入手，避免联立解。④校核。求出全部所需的未知量后，可再列一个不重复的平衡方程，将计算结果代入，若满足方程，则计算无误。4.3物体系统的平衡例题例4-4图中AD＝DB＝2m，CD＝DE＝1.5m，Q＝120kN，不计杆和滑轮的重量。试求支座A和B的约束力和BC杆的内力。解：解除约束，画整体受力图列平衡方程4.3物体系统的平衡可用，验算FAy如下：例题4.3物体系统的平衡为求BC杆内力F，取CDE杆连滑轮为研究对象，画受力图。列方程：F=–150kN，说明BC杆受压力。例题4.3物体系统的平衡求BC杆的内力，也可以取ADB杆为研究对象，画受力图。例题4.3物体系统的平衡4.4.1平面静定桁架的构成问题的提出：工程应用背景桁架：由一些直杆彼此在两端用铰链连接而成的几何形状不变的结构。平面桁架：所有杆件的轴线都在同一平面内的桁架；空间桁架：杆件轴线不在同一平面内的桁架。4.4平面静定桁架节点：桁架中杆件与杆件相连接的铰链节点构造有榫接（图a）焊接（图b）铆接（图c）整浇（图d）均可抽象简化为光滑铰链4.4.1平面静定桁架的构成4.4平面静定桁架各直杆两端均以光滑铰链连接；所有载荷在桁架平面内，作用于节点上；杆自重不计。如果杆自重需考虑时，也将其等效加于两端节点上。计算桁架各杆受力时的几点假设满足以上假设条件的桁架称为理想桁架。理想桁架中的各杆件都是二力杆。4.4.2桁架杆件的内力计算4.4平面静定桁架简单桁架：桁架由三根杆与三个节点组成一个基本三角形，然后用两根不平行的杆件连接出一个新的节点，依次类推而构成。简单桁架组合桁架简单桁架与组合桁架都是静定桁架其杆件数m及节点数n满足：2n＝m+3组合桁架：由几个简单桁架，按照几何形状不变的条件组成的桁架。4.4.2桁架杆件的内力计算4.4平面静定桁架桁架杆件内力计算的节点法节点法适用于求解全部杆件内力的情况以各个节点为研究对象的求解方法

求解要点逐个考虑各节点的平衡、画出它们的受力图应用平面汇交力系的平衡方程，根据已知力求出各杆的未知内力。在受力图中，一般均假设杆的内力为拉力，如果所得结果为负值，即表示该杆受压4.4.2桁架杆件的内力计算4.4平面静定桁架桁架杆件内力计算的截面法适用于求桁架中某些指定杆件的内力求解要点被截开杆件的内力成为该研究对象外力，可应用平面一般力系的平衡条件求出这些被截开杆件的内力。由于平面一般力系只有3个独立平衡方程，所以一般说来，被截杆件应不超出3个。假想用一截面截取出桁架的某一部分作为研究对象求解方法

4.4.2桁架杆件的内力计算4.4平面静定桁架零杆：桁架某些不受力的杆件零杆对保证桁架几何形状是不可缺的。在计算中，先判断零杆。最常见的零杆发生在图示的节点处4.4.2桁架杆件的内力计算4.4平面静定桁架例4-9一屋架的尺寸及载荷如图所示，求每根杆件的内力。解：首先求支座A、H的反力，由整体受力图(a)，列平衡方程

FAy＝FNH＝20(kN)例题4.4平面静定桁架F6=30kN(拉)，F3=0(零杆)

选取A节点画受力图，列平衡方程F1=–33.5kN(压)，F2=30kN(拉)选取B节点画受力图，列平衡方程例题4.4平面静定桁架

F4=–22.4kN(拉)，F5=–11.2kN(压)F8=–22.4kN(压)，F7=10kN(拉)选取D节点画受力图，列平衡方程选取C节点画受力图，列平衡方程例题4.4平面静定桁架由于结构和载荷都对称，所以左右两边对称位置的杆件内力相同，故计算半个屋架即可。现将各杆的内力标在各杆的旁边，如图（f）所示。图中正号表示拉力，负号表示压力，力的单位为kN。可取H节点进行校核。例题4.4平面静定桁架例4-10

求图所示桁架中CD杆的内力。

解：按常规解法的思路是先求出支座B的反力，然后以节点法由节点B、F、C依