第四节 曲面及其方程

曲面方程的概念柱面

二次曲面第四节曲面及其方程旋转曲面定义

如果曲面

S

与方程

F(x,y,z)=0有下述关系:(1)曲面

S上任意点的坐标都满足此方程,称曲面S为方程F(x,y,z)=0的图形.(2)不在曲面S上的点的坐标都不满足上页下页返回结束一、曲面方程的概念例如到定点的距离等于定长的动点的轨迹.曲面看作点的几何轨迹.球面:在空间直角坐标系中,曲面上点的坐标x,y,z应满足某个约束条件方程方程;则称F(x,y,z)=0为曲面S的方程,球心半径研究空间曲面有两个基本问题：(2)已知一个三元方程，研究曲面形状．(1)已知曲面形状（点的轨迹），求曲面方程．上页下页返回结束例1连接两点和的线段的垂直平分面的方程。解根据题意,即化简得即所求垂直平分面的方程故所求方程为例2

求球心为特别地,当球心为坐标原点时,球面方程为解

设球面上动点为即依题意半径为

R

的球面方程.表示上(下)球面.上页下页返回结束例3研究方程解

配方得此方程表示:的曲面.表示怎样半径为的球面.球心为上页下页返回结束注球面方程的特点(1)没有xy、yz、xz交叉项(2)平方项系数相同例4考虑z－3=0表示的曲面解

z－3=0表示过点且平行于xoy面的平面定义.一平面曲线二、旋转曲面

绕该平面上一条定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面.该定直线称为旋转轴.例如:上页下页返回结束曲线C2.旋转曲面方程的建立绕o

z轴上页下页返回结束旋转一周y

zoCx得旋转曲面SSM(x,y,z)SMN从而得旋转曲面S方程：N点在曲线C上,满足曲线方程M,N两点竖坐标相同M,N两点到oz轴距离相等坐标面yoz面上的曲线C即：绕oz轴旋转所得旋转曲面S的方程为：上页下页返回结束绕oy轴旋转所得旋转曲面S的方程为：本质：绕哪条轴旋转，哪个变量保持不变，另外一变量变成与第三变量平方和的正负根号。坐标面zox面上的曲线C绕oz轴旋转所得旋转曲面S的方程为：上页下页返回结束绕ox轴旋转所得旋转曲面S的方程为：坐标面xoy面上的曲线C绕ox轴旋转所得旋转曲面S的方程为：上页下页返回结束绕oy轴旋转所得旋转曲面S的方程为：xOzy上页下页返回结束绕x轴一周.例5.将下列各曲线绕指定轴旋转一周,求生成的旋转曲面的方程．1.双曲线得双叶旋转双曲面axyoz上页下页返回结束2.上述双曲线绕y轴旋转一周.得单叶旋转双曲面z

yox上页下页返回结束3.两条相交直线绕z轴旋转一周.得圆锥面当a=b=1时,圆锥面为y.oxz旋转抛物面上页下页返回结束4.抛物线绕z轴旋转一周,得a=1时,为yxo绕y轴旋转所成曲面.上页下页返回结束5.z环面得上页下页返回结束注当一个方程含有两个变量的平方和的时候，代表的是一个旋转曲面。例6考虑下面方程所表示的曲面是如何形成的？解可看成是yoz面的抛物线绕z轴旋转而成的旋转曲面。(2)~(4)略或三、柱面例7方程表示什么?解曲线C平行于z轴的动直线所形成的曲面,故在空间,表示圆柱面.上页下页返回结束平面解析几何:表示xOy坐标面上的圆.空间解析几何:所以该曲面可看成沿称为圆柱面.定义平行于定直线并沿定曲线C移动的动直线l的轨迹C叫做准线,l

叫做(直)母线.叫做柱面.过且平行于z轴的直线l都在此曲面上，xzy0母线F(x,y)=0z

=0准线(不含z)M(x,y,z)N(x,y,0)S曲面上每一点都满足方程曲面外每一点都不满足方程表示母线平行于z轴的柱面点N满足方程，故点M满足方程

一般地,F(x,y)=0上页下页返回结束母线准线(不含x)F(y,z)=0x=0xzy0F(y,z)=0表示母线平行于x轴的柱面上页下页返回结束(不含y)F(x,z)=0表示母线平行于y轴的柱面表示母线平行于z轴;面上的抛物线.平行于z轴的平行于z轴的平面表示母线该平面上).表示母线上页下页返回结束准线为xOy(z轴在抛物柱面,椭圆柱面.注柱面方程特点：缺少一个变量例8考虑下面方程表示的曲面zxy=0yo上页下页返回结束双曲柱面注准线是××线，所成柱面就叫做××柱面斜率为1的直线平面解析几何中空间解析几何中方程平行于y轴的直线平行于yOz面的平面圆心在(0,0)半径为3的圆以z轴为中心轴的圆柱面平行于z轴的平面例9指出下列方程的图形:上页下页返回结束四、二次曲面三元二次方程研究二次曲面特性的基本方法:截痕法、伸缩法

其基本类型有:锥面、椭球面、双曲面、抛物面、柱面表示的曲面称为二次曲面.

(二次项系数不全为0)上页下页返回结束z

yox上页下页返回结束1.椭圆锥面截痕法：z＝0时，x＝y＝0过原点z＝t时，椭圆伸缩变形法：圆锥面椭圆锥面即(2)截痕截曲面:abcyx

zo2椭球面标准方程(1)范围：椭圆用上页下页返回结束(3)当a＝b时为旋转椭球面;当a＝b＝c时为球面.用y=截曲面用x=截曲面xzy0截痕:用z=a截曲面用y=b截曲面用x=c截曲面3抛物面(1)椭圆抛物面标准方程上页下页返回结束椭圆抛物线抛物线xzy0截痕:用z=a截曲面用y=b截曲面用x=c截曲面3抛物面(1)椭圆抛物面上页下页返回结束椭圆抛物线抛物线当p=q时为绕z轴旋转的旋转抛物面.用z=a截曲面用y=b截曲面用x=c截曲面xzy0截痕:（马鞍面）(2)双曲抛物面

双曲线抛物线抛物线上页下页返回结束xzy0上页下页返回结束用z=a截曲面用y=b截曲面用x=c截曲面截痕:（马鞍面）(2)双曲抛物面

双曲线抛物线抛物线xzy0上页下页返回结束用z=a截曲面用y=b截曲面用x=c截曲面截痕:（马鞍面）(2)双曲抛物面

双曲线抛物线抛物线4双曲面(1)单叶双曲面上页下页返回结束Oxzy双曲抛物面(马鞍面)(2)双叶双曲面5柱面(1)椭圆柱面上页下页返回结束(2)双曲柱面(3)抛物柱面内容小结1.空间曲面三元方程球面旋转曲面如,曲线绕z轴的旋转曲面:

柱面如,曲面表示母线平行z轴的柱面.常用:椭圆柱面,双曲柱面,抛物柱面等.上页下页返回结束2.二次曲面三元二次方程椭球面抛物面:椭圆抛物面双曲抛物面双曲面:单叶双曲面双叶双曲面椭圆锥面:上页下页返回结束柱面:作业P589－11P591－32.P319(课本),10答案上页下页返回结束在xOy面上练习平行截割法用z=h截曲面用y=m截曲面用x=n截曲面abcyx

zo椭球面xzy0平行截割法用z=a截曲面用y=b截曲面用x=c截曲面椭圆抛物面用z=a截曲面用y=0截曲面用x=b截曲面xzy0平行截割法

（马鞍面）双曲抛物面

平行截割法.双曲抛物面