函数与导数分类整理

函数与导数专题一、研究函数的单调性例1讨论下列函数的单调性(2)f(x)=x2—2x+a(ex-1(2)f(x)=x2—2x+a(ex-1+e1-x)(a>0)例2讨论下列函数的单调性(1)f(x)=aex(x+1)—x2—4xf(x)=(x(1)f(x)=aex(x+1)—x2—4x例3设函数f(x)=x3+3ax2+3bx有两个极值点x1、x2，满足-1Wx1<0,1<x2<2.(1)求/(1)的取值范围1(2)证明：一10Wf(x2)<-亍二、对参数讨论例4讨论下列函数的单调性，并求f(x)在［0,1］上的值域f(x)=kx-ln(x+1) (2)f(x)=2x—mx三、预处理构造函数例5证明以下不等式：ne 一厂-1nx111nx(1)(1+—)<e(ncN*)(2)当x>0且xA1时， +一>一n x+1xx一1x—2例6(I)讨论函数f(x)=——ex的单调性，并证明当x>0时，(x一2)ex+x+2>0；x+2(II)证明：当ac［0,1)时，函数g(x)=3ax—a(x>0)有最小值.设g(x)的最小值为x2h(a)，求函数h(a)的值域..四、不等式恒成立例7设f(x)=x2+4x+2,g(x)=2ex(x+1),若x>-2时，f(x)<kg(x)，求k的取值范围.例8设函数f(x)=aInx+―^xx2-x(a，1),若存在x21,使得f(x)< ，求a的取值2 0 0a—1范围；a+1 一例9设f(x)=aex+ —2(a+1),其中a>0,若对任意的实数x>0都有f(x)>0恒成立，求a的%取值范围.一 alnxb例10已知函数f(%)= +-,曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为%+1 %x+2y—3=0.(I)求a、b的值；ln%k,(II)如果当%>。，且%丰1时，f(%)> +一，求k的取值范围.%一1%例11设函数f(x)=ax2—a—lnx，其中aGR.(1)讨论f(x)的单调性；1(2)确定a的所有可能取值，使得f(%)>-—e1-%在区间(1,+8)内恒成立%例12已知函数f(%)=e%—e—%—a%，当%>0时，f(%)>0(1)求a的的最大值；(2)当a取得最大值时，若总存在%0>0使得f(2%0)<4bf(%0),求b的取值范围五、证明不等式例13设f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x3(1)讨论f(x)的单调性 (2)当a<0时，证明：f(x)<—1—2^a例14设f(%)=e2%—aln%(1)a=e时，求f%)单调区间；(2)设f%)有最小值g(a)，求a的取值范围，并求g(a)的最大值以及此时a的值2(3)设a>0,求证：f(%)>2a+aln—a例15设f(%)=e%—ln(%+m)(1)m=1时，讨论f(x)的单调性 (2)m<2时，证明f(x)>01例16设函数f(x)=ax2—a—Inx,g(x)=x-1—e1-x,证明：当a>~,x>1时，f(x)>g(x)>0；乙例17设f(x尸lnx+4x—1,证明：3 9(x—1)(1)当x>1时，f(x)<-(x—1)； (2)当1<x<4时，f(x)<-——).2 x+5六、零点问题1 1例18设函数f(x)=3x3--以2+1,其中a>0,函数y=f(x)的图像为曲线E.(1)若过点(0,2)可做曲线E的三条不同切线，求a的取值范围.(2)曲线E上是否点P，使得曲线E在点P处的切线与曲线E有唯一的公共点？若存在，求出P点横坐标；若不存在，说明理由.3例19判断f(x)=xsinx-2在(0,n)的零点个数，并加以证明1例20设f(x)=x3+ax+—,g(x)=—lnx,h(x)=min{f(x),g(x)}(x>0),讨论h(x)零点的个数例21已知函数f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若以x)有两个零点，求a的取值范围.七、多变量问题4x2-7例22设a>0,已知f(x)=F ,g(x)=x3—3a2x—2a.若对于任意x[0,1]，总存在x[0,1],2—x 1 0使得g(x0)=f(xJ成立，求a的取值范围.1例23设f(x)=lnx——ax2+(a—1)x,(a手0)曲线y=f(x)上是否存在不同两点A(x/f(xJ)、B(x2,x+xf(x2)),使得当x0=JyS时，曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线与AB平行？证明你的结论.例24设f(x)=xlogmx.(m>0且m/1)(1)当a>b>3时，比较ab与ba的大小关系，⑵当m=2,x]、x2>0时，证明：f(x1)+f(x2)>f[x1+x2)—(x1+x2)；(3)当m=e,0<a<b时，证明：0<f(a)+f(b)—2f( )<(b—a)ln2(4)设e>m>1,x1>x2>1,比较|f(x1)—f(x2)|与|x1—x2|的大小，证明你的结论

例25设f(%)= (。>0),若f%)有两个极值点%、%，求a的取值范围，并证明:ax2+1 12.,丁一一e---<f(xP+f%2)<eaa1例26设f(%尸%—ae%(a即.已知y=f(%)有两个零点%1，%2，且%1<%2.(1)求a的取值范围；(2)证明2<%4%2<—2lna%(3)证明：随着a的减小，二立和%,十%。都增大% 121八、2011八、20112018全国卷高考真题全国一卷一、选择题【2014,11］已知函数f(%)=a%3-3%2+1,若f(%)存在唯一的零点%0,且%0>0,则a的取值范围为A. (2, +s)B.(---2) C. (1, +s)D. (-8, -1) 1

【2012,12］设点P在曲线y=-e%上，点Q在曲线y=ln(2%)上，则IPQI的最小值为()A.1-ln2 B.<2(1-ln2) C.1+ln2 D.”'2(1+ln2)【2011,9］由曲线y=<1，直线y=%-2及y轴所围成的图形的面积为()TOC\o"1-5"\h\z10 16A.— B.4 C.— D.63 3二、填空题【2017,16］如图，圆形纸片的圆心为0,半径为5cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为0.D、E、F为圆0上的点，△DBC,△ECA,△FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC,CA,AB为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB，使得D,E,F重合，得到三棱锥.当△ABC.的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为.【2013,16］若函数f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的图像关于直线x=—2对称，则f(x)的最大值为.三、解答题(2018全国1卷) 已知函数f(x)=——x+alnx.x(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)存在两个极值点x,x，证明：f(x1)—f(x2)<a-2.1 2 x-x12【2017,12］已知函数f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围.【2016,12］已知函数f(x)=(x—2)e+a(x-1)2有两个零点.(I)求a的取值范围；(II)设x/x2是f(x)的两个零点，证明：x1+x2<2.1 ，、,【2015,12］已知函数f(x)=x3+ax+,g(x)=-lnx.4(I)当a为何值时，x轴为曲线y=f(x)的切线；(II)用mn{m}n表示m,n中的最小值，设函数h(x)=min{f(x),g(x)}(x>0),讨论h(x)零点的个数.bex-1【2014,21］设函数f(x0=aexInx+——，曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线为xy=e(x-1)+2.(I)求a,b； (I)证明：f(x)>1.【2013,21］设函数f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d).若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线y=4x+2.(1)求a,b,c,d的值；(2)若x>—2时，f(x)<kg(x)，求k的取值范围.1【2012,21］已知函数f(x)满足f(x)=f(1)ex-1-f(0)x+-x2.1(1)求f(x)的解析式及单调区间；(2)若f(x)>-x2+ax+b,求(a+1)b的最大值.一alnxb【2011,21]已知函数f(x)= +，曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+1xx+2y—3=0.(I)求a、b的值；lnxk(II)如果当x>0，且x丰1时，f(x)> +—，求k的取值范围.x-1x全国2卷一、填空题(2017-11)若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1、的极值点，则f(x)的极小值为()A.-1 B.-2e-3 C.5e-3 D.1(2016-12)已知函数f(x)(xeR)满足f(-x)=2-f(x)，若函数y=山与y=f(x)图像的x交点为(交点为(x「yj,(x2,y2)，…，A.0 B.m(x,y)，则为(x.+y.)=()i=1C.2m D.4m\1+log(2-x)(x<1)TOC\o"1-5"\h\z(2065)设函数f(x)=1 % ，则f(-2)+f(log12)=( )[2x-1 (x>1) 2A.3 B.6 C.9 D.12(2015(2015・10)如图，长方形ABCD的边AB=2,BC=1,O是AB的中点，点P沿着边BC,CD与DA运动，记NBOP=x.将动点P到A,B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则f(x)的图像大致为( )A. A. B. C.D.(2015.12)设函数尸(x)是奇函数f(x)(xeR)的导函数，f(-1)=0,当x>0时，xf(x)-f(状0则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( )A.(-8,-1)U(0,1) B.(-1,0)U(1,+8)(-8,-1)U(-1,0) D.(0,1)U(1,+8)

(2014・8)设曲线尸ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a=()A.0B.1C.2D.3(2014・12)设函数f(x)八3sin空x，若存在f(x)的极值点x「满足x2+[f(x)]2<m2，则m 00 0m的取值范围是()A.(—9—6)U(6,+⑹B. (—9—4)U(4,+⑹ C. (—9—2)U(2,+⑹(f—1)U(4,+⑹)D.a>b>c(2013・8)设a=log6,b=)D.a>b>cA.c>b>aB.b>c>aC.a>c>b(2013-10)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是( )A.3xgR,f(x)=0B.函数y=f(；)的图像是中心对称图形C.若x是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(-8,x)单调递减D.若x是f(x)的极值点，则f(x)=00 0(2012-10)已知函数f(x)=——1——，则y=f(x)的图像大致为( )ln(x+1)-x1(2012-121(2012-12)设点P在曲线y=5"上，点Q在曲线y=ln(2x)上，则|PQ|的最小值为( )A.1-ln2B.<2(1-ln2)C.1+ln2 D.<2(1+ln2)(20112)下列函数中，既是偶函数又在(0,+8)单调递增的函数是()A.y=x3b.y=1xI+1c.y=-x2+1d.y=2-1x1TOC\o"1-5"\h\z(20119)由曲线y="正，直线y=x-2及y轴所围成的图形的面积为( )10 16A.— B.4 C.— D.63 3(201L12)函数y=—的图像与函数y=2sin冗x,(-2<x<4)的图像所有交点的横坐标之x-1和等于( )A.2和等于( )A.2B.4C.6D.8二、填空题(2014-15)已知偶函数f(x)在［0,+。)单调递减，f(2)=0.若f(%-1)>0,则%的取值范围是(2016・16)若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln(x+1)的切线，则b=.三、解答题(201721)已知函数f(%)=ax2-ax一%lnx,且f(x)>0.(1)求a；(2)证明：f(x)存在唯一的极大值点x0，且e-2Vf(x0)<2-2.x—2(201621)(1)讨论函数f(x)=--ex的单调性，并证明当x>0时，(x-2)ex+x+2>0；x+2(II)证明：当ae[0,1)时，函数g(x)=土二竺』(x>0)有最小值.设g(x)的最小值为h(a)，x2求函数h(a)的值域.(201521)设函数f(x)=emx+x2-mx.(I)证明：f(x)在(-孙0)单调递减，在(0,+s)单调递增；(II)若对于任意xp,x2£[-1,1],都有lf(x1)-f(x2)I<e-1,求m的取值范围.(2014-21)已知函数f(x)=ex-e-x-2x.(I)讨论f(x)的单调性；(I)设g(x)=f(2x)-4bf(x)，当x>0时，g(x)>0，求b的最大值；(111)已知1.4142<<2<1,4143，估计ln2的近似值(精确到0.001).(2013-21)已知函数f(x)=ex-ln(x+m).(I)设x=0是f(x)的极值点