第四章 连续时间傅立叶变换

第4章连续时间傅立叶变换

TheContinuoustimeFourierTransform重点：1、掌握傅立叶变换定义及其基本性质；2、牢记常用典型信号的傅立叶变换；3、掌握运用傅立叶变换分析LTI系统的方法难点：运用傅立叶变换及相关性质分析LTI系统4.0引言傅立叶在把傅立叶级数推广到傅立叶积分的研究中基于如下的方法：把非周期函数看作一个周期函数在周期趋于无穷大时的极限。本章的地位：形成连续时间信号与系统频域法的基础。从非周期函数x(t)构造出一个周期函数，使得该周期函数在一个周期内就等于x(t)，随着这个周期趋于无穷大，就会在一个愈来愈大的区间上等于x(t)，这样，的傅立叶级数表示也就趋于x(t)的傅立叶积分表示。T4.1非周期信号的表示——连续时间傅立叶变换(CFT)RepresentationofAperiodicsignals:TheContinuoustimeFourierTransform一、非周期信号傅立叶变换表示的导出对下面的连续时间周期方波：其傅立叶级数是T=4T1T=8T1T=16T1用周期延拓的方法构造出一个周期函数，即：周期函数的傅立叶级数表示：假设一个具有有限持续期的非周期函数x(t):周期T的选择：T大于x(t)的非零区间由于所以即是原函数x(t)的频谱密度函数，简称频谱函数。即由于ω0

=2π/T,则：傅立叶变换（CFT）Fouriertransform傅立叶正变换：傅立叶反变换：

x(t)和X(jω)分别为非周期函数的时域和频域表示，两者构成一个傅立叶变换对。

X(jω)告诉我们将x(t)表示为不同频率正弦信号的线性组合所需要的信息。X(jω)的物理含义是：

X(jω)反映了信号x(t)的频谱随频率而变化的分布特性，是频率ω的连续函数。一般而言，X(jω)是一个复函数，通常将它表示为|X(jω)|

：描述了x(t)的幅频特性，称之为x(t)的幅度谱,它代表信号中各频率分量的相对大小：描述了x(t)的相频特性，称之为x(t)的相位谱，它代表信号中各频率分量的相位关系。三、傅立叶变换的收敛

ConvergenceofFouriertransform

x(t)的傅立叶变换是否存在的条件应该和傅立叶级数是否收敛所要求的那一组条件一样。掌握一些典型信号的傅立叶变换，对于我们求一些其它信号的傅立叶变换，将会带来很多方便。（1）单边指数信号：四、连续时间傅立叶变换举例ExamplesofContinuoustimeFourierTransform（2）双边指数信号：（3）矩形脉冲时域实偶，频域实偶??(4)含有奇异函数的傅立叶变换(一)单位冲激函数和常数1（二）符号函数sgn(t)（三）单位阶跃信号u(t)（四）指数信号4.2周期信号的傅立叶变换

TheFourierTransformforPeriodicSignal将周期信号转换为傅里叶级数故：一个傅立叶级数系数为{ak}的周期信号的傅立叶变换，是出现在成谐波关系的频率kω0

上的一串冲激函数，冲激函数的面积是对应傅立叶系数的2π倍。example：周期为T的周期性脉冲串：-T1T0……该信号的傅立叶级数是周期脉冲串的傅立叶变换0……4.3连续时间傅立叶变换性质

PropertiesoftheContinuoustimeFourierTransformx(t)和X(jω)这对傅立叶变换对用下列符号表示：注：当t=0时对当ω=0时一、线性(Linearity)若二、时移性质(TimeShifting)若则即：信号在时间上移位，并不改变它的傅立叶变换的模，只是引入相移。例x(t)12341.51x1(t)-0.50.51-1.51.51x2(t)而利用线性和时移性质三、共轭及共轭对称性

ConjugationandConjugateSymmetry若则若x(t)为实函数而：若x(t)为实偶函数，那么X(jω)也是实偶函数。若x(t)为实奇函数，那么X(jω)是虚奇函数。例1：信号x(t)如图所示，求解：由于x(t)是实信号，则：例2：因果实信号x(t)的傅立叶变换的实部求x(t)解：由于x(t)是实信号，则：而：则：又因为：且：故：四、微分与积分

DifferentiationandIntegration若则讨论利用傅立叶变换来分析由微分方程描述的LTI系统时，特别有用！积分关系若则例：已知求：解：x(t)的导数为g(t)频域微积分：例：已知求：解：则：故：五、时间与频率的尺度变换

TimeandFrequencyScaling若则当a=-1,信号在时域中压缩（a>1）等效于在频域中扩展；反之，信号在时域中扩展（a<1）则等效于在频域中压缩。信号在时域中沿纵轴翻褶等效于在频域中频谱也沿纵轴翻褶。补充：例：已知求：x(t)与X(jω)所覆盖的面积分别等于X(jω)与x(t)在零点的数值X(0)或x(0).等效带宽信号的等效脉冲宽度与占有的等效带宽成反比，若要压缩信号的持续时间，则不得不以展宽频带作为代价。所以在无线电通信中，通信速度和占有频带宽度是一对矛盾。tx(t)x(0)ωX(ω)X(0)例：4.24(作业题）六、对偶性(Duality)若则例：求：解：因为故：例：即：频移性质基于频移性质的频谱搬移技术在通信和信号处理中得到了广泛的应用，例如，载波幅度调制、同步解调、变频和混频等技术！因为导出七、帕斯瓦尔定理

Parseval’sRelation(Energytheorem)信号的总能量既可以按每单位时间内的能量在整个时间内积分出来，也可以按每单位频率内的能量在整个频率范围内积分出来。为信号的能谱密度。例：已知x(t)的傅立叶变换如图所示，（1）求x(t)；（2）求的傅立叶变换Y(jω)（写出表达式，并画出波形）；（3）求的值。解：（1）（2）根据频移特性：则：（3）根据帕斯瓦尔关系式：4.4、卷积性质

TheConvolutionProperty在信号与系统的理论和方法中，最重要的变换性质就是卷积性质。卷积性质将两个信号的卷积映射为它们傅立叶变换的乘积。其中为频率响应，它控制着每一频率ω上输入傅立叶变换复振幅的变化。用频率响应来描述系统的级联性质：例：已知下列关系：（1）y(t)=x(t)*h(t)（2）g(t)=x(3t)*h(3t)（3）x(t)的傅立叶变换是X（jω）,h(t)的傅立叶变换是H（jω）；求：利用傅立叶变换性质证明g(t)为：g(t)=Ay(Bt)求出A和B的值。解：而：则：故：则：A=1/3,B=3例：考虑一信号，其傅立叶变换为X(jω），假设给出以下条件：1.x(t)是实的且是非负的；A与t无关。求x(t)的闭合表达式。2、解：由（2）,等式两边同时进行傅立叶变换，则：则（3）根据帕斯瓦尔关系式：带入x(t)的表达式，得|A|2=12由于x(t)是非负的实信号，故：例：已知一连续时间LTI系统，其单位冲激响应为求：（1）画出的波形；（3）求系统的响应y(t)。当输入信号为：(2)写出x(t)的傅立叶级数表示式：1、解：2、3、根据特征函数特征值的概念，而：例：研究如下所示的互联系统：已知：（2）当输入信号x(t)为如下图所示周期方波信号时，求系统的输出y(t)。（1）试求该互联系统的频率相应H(jω)；解：而：故：（2)输入信号是周期信号，则先将其转换为傅立叶级数的形式，然后根据特征函数特征值的概念进行求解：周期T=1，则基波频率为而：故：而：由于x(t)为实偶，故ak也为实偶：故：4.5相乘的性质（频域卷积性质）

TheMultiplicationProperty(Modulation)在时域中，一个信号和另一个信号相乘，可理解为用一个信号去调制另一个信号的幅度，叫做幅度调制。频域卷积性质在信号与系统的理论和方法以及在通信和信号处理中，有很多十分重要的应用。例：求的傅立叶变换解：令4.5.1可变中心频率的频率选择型滤波器利用幅度调制实现带通滤波器带通滤波器频谱右移ωc通过带宽为ω0的低通滤波器频谱左移ωc4.6傅立叶变换性质和基本傅立叶变换对列表

TablesofFourierPropertiesandofBasicFourierTransformPairs掌握表4.1和表4.2。4.7由线性常系数微分方程表征的系统

SystemCharacterizedbyLinearConstant-CoefficientDifferentialEquation连续时间LTI系统的线性常微分方程描述：利用傅立叶变换的微分性质。例：(1)求系统的单位冲激响应h(t)。(2)若系统的输入信号是e-3tu(t)，求响应y(t)解：对微分方程两边同时进行傅立叶变换：则：(2)若系统的输入信号是e-3tu(t)，则：补充：定义：称为希尔伯特变换（1）求该系统的傅立叶变换（2）当输入信号为cos3t时，输出信号为多少？解：则：由于：根据对偶法则：故：（2）当输入信号为cos3t时，例：设求证：解：代入：例：设输入信号求冲激响应分别为以下系统时，分别求系统的输出解：输入信号是周期信号，将其表示为傅立叶级数形式：则根据特征函数特征值的概念，输出y(t)为：则：故：令：则：而：则：则：故：令：则：章末小结1、定义：2、常用信号的傅立叶变换3、周期信号的傅立叶变换周期信号需先转换为傅立叶级数的形式，然后进行傅立叶变换牢记单位冲激串的傅立叶变换：4、傅立叶变换的性质：（1）线性（