第四章 频率分析法

本章主要内容与重点频率特性典型环节的频率特性控制系统开环频率特性作图频率稳定性判据闭环频率特性系统时域指标估算第四章线性系统频率分析法本章主要内容本章介绍了控制系统频率分析法的相关概念和原理。包括频率特性的基本概念和定义、开环频率特性的极坐标图表示法、波特图表示法、控制系统稳定性的频率特性分析法及其应用、控制系统闭环频率特性、闭环频率特性与时域性能的关系等。本章重点通过本章学习，应重点掌握频率特性的概念与性质、典型环节及系统开环频率特性的极坐标图和波特图的绘制和分析方法、控制系统稳定性的频域分析法、系统稳定裕度的概念和求法、闭环频率特性的求法、闭环系统性能指标的频域分析法等。频率分析法是应用频率特性研究线性控制系统的一种经典方法，它有以下特点：(1)应用奈奎斯特稳定判据，可以根据系统的开环频率特性研究闭环系统的稳定性，而不必解出特征根。(2)对于二阶系统，频率特性与过渡过程性能指标之间有确定的对应关系，对于高阶系统，两者也存在近似关系；因为频率特性与系统的参数和结构密切相关，故可以用研究频率特性的方法，把系统参数和结构的变化与过渡过程性能指标联系起来。(3)频率特性有明确的物理意义，很多元部件的这一特性都可以用实验方法确定。这对于难以从分析其物理规律着手来列写微分方程的元部件和系统，有很大的实际意义。(4)频率特性不仅适用于线性定常系统的分析研究，还可以推广应用于某些非线性控制系统。(5)当系统在某些频率范围内存在严重的噪声时，应用频率分析法可以设计出能满意地抑制这些噪声的系统。4-1频率特性4-1-1基本概念由例2-1(P13)可知，该电路满足的微分方程为其中，T=RC。对应的传递函数为引例4-1(P153)RC网络如图所示若网络的输入为单位正弦信号，即则网络的输出为经拉氏反变换，可得其中，第一项为输出信号的动态分量，第二项为稳态分量。当时间t→∞时，第一项趋于零。于是由上式可知，网络的稳态输出仍然是正弦信号，其频率和输入信号的频率相同，幅值是输入的倍，相位比输入滞后arctanT。显然，和-arctanT皆为输入信号频率的函数，前者称为RC网络的幅频特性，后者称为RC网络的相频特性。下表列出了这两个特性的计算数据根据上表数据可以绘制出如图所示幅频和相频曲线。由曲线可见，当输入信号频率较低时，输出和输入的幅值几乎相等，相位滞后不大，当增大，输出的幅值减小，相位滞后增大，当→∞时，输出幅值为零，相位滞后90。以上结论和分析网络中电容的阻抗随频率变化而得出的结论是一致的(参见电路分析教程)。网络稳态输出表达式中幅值和幅角在复平面上构成一个完整的向量，有故函数完整地描述了网络在正弦输入信号作用下，稳态输出时信号幅值和幅角随正弦输入信号频率变化的规律。就称为网络的频率特性。将频率特性和网络的传递函数表达式可知，只要将传递函数中的s以j置换，就得到频率特性，即以上的分析结果和电路理论的正弦稳态分析结果相同。事实上，用复数符号法写出RC网络的稳态正弦输出为于是，其输出的稳态正弦信号与输入正弦信号之比为上式写成幅值和幅角表达式为则RC网络的幅频特性为相频特性为可以证明，从RC网络得到的这一重要结论，对于任何稳定的线性定常系统都是正确的。设系统的传递函数为则是自变量为频率的复变函数，因此将其称为系统的频率特性。由于G(j)的实部和虚部都是的函数，故可以表为其中，P()=Re[G(j)]----G(j)的实部；Q()=Im[G(j)]----G(j)的虚部。P()称为G(j)的实频特性；Q()称为G(j)的虚频特性。其中，A()=|G(j)|----G(j)的幅值(即幅频特性)；∠()=arg[G(j)]----G(jω)的幅角(即相频特性)。另外，也可以用G(j)的模(幅值)和幅角来表示为在上式中，幅值A()是频率的函数，随的变化而变化，因此称为G(j)的幅频特性；幅角()也是频率的函数，随的不同有不同的相位，因此称为G(j)的相频特性。这样，以复变函数G(j)表示的频率特性又常常以A()和()来表示。当线性系统输入一个正弦信号sint时，它的稳态输出响应也是一个同频率的正弦信号，如下图所示。与引例4-1类似，A()和()的物理意义在于：稳态输出的幅值是输入的A()倍，而与输入的相位差为()，即此时系统的稳态输出为需要指出的是，对于物理上可实现的系统，其传递函数的分母多项式阶次n总是大于或等于分子多项式的阶次m，即nm。因此，不可能出现当→∞时系统输出的幅值也趋于无穷大的情况。G(j)的幅频、相频特性和实频、虚频特性之间具有下列关系：4-1-2频率特性的定义从直观上看，可以把频率特性定义为系统的稳态正弦输出信号的复数符号与输入正弦信号的复数符号之比，即但是，为了研究频率特性更为广泛的内容，必须从信号与系统的关系出发，研究其更为深刻的实质含义。因此，可以用时间信号在变换域中的表示来确定频率特性定义。根据高等数学教程的有关内容，任何一个时间函数f(t)，只要其满足狄里赫莱条件，即则其付氏变换为存在。对应的付氏反变换为由于积分运算是无穷小求和运算，因此付氏变换的物理意义在于：时域信号f(t)可以分解为频谱分量无穷多，分量幅值无穷小的频谱分量的线性组合。将付氏变换和拉氏变换(参见P21(2-41)式)对比可知，如果t<0时，f(t)=0,用j代替s，则拉氏变换就转变成付氏变换。因此，付氏变换是拉氏变换的一种特殊情况。然而，付氏变换的要求却比拉氏变换的要求严格多。例如，阶跃函数的付氏变换就不存在。现在来定义线性定常系统的频率特性。已知线性定常系统的传递函数G(s)，输入信号r(t)，其付氏变换存在为R(j)系统的输出信号为c(t)，其付氏变换为C(j)。由于只考虑输入信号频谱的稳态正弦响应，令s=j，则系统的传递函数G(s)成为G(j)。定义线性定常系统的频率特性为输出信号的付氏变换C(j)与输入信号的付氏变换R(j)之比，即将线性定常系统的频率特性表达式与传递函数表达式对比可知，二者之间存在以下紧密关系由此可以得出以下重要结论：频率特性和传递函数以及微分方程一样，也表征了系统的运动规律，这就是频率分析法能够从频率特性出发研究系统的理论根据。上述三种系统描述法的关系可用右图说明。4-1-3频率特性的数学表示及作图1、极坐标图通常也称为幅相图、奈奎斯特(Nyquist)图。根据G(j)的定义，用实频特性和虚频特性表示有也可用矢量式的幅值与相位表示，有当频率 从∞变到+∞时，G(j)在由实轴与虚轴构成的复平面上越过的轨迹就称为G(j)的极坐标图，如图所示。由于实频特性P()是频率的偶函数，即P()=P()虚频特性Q()是频率的奇函数，即Q()=Q()因此，当频率从∞→0及从0→+∞时，G(j)正负频率的曲线是关于实轴对称的。通常只画出正频率曲线即可。如上页图中的实线所示。同理，幅频特性A()是的偶函数，而相频特性()则是的奇函数。G(j)的极坐标图绘制时需要取的增量逐点作出，因此不便于手工作图。一般情况下，根据作图原理，可以粗略地绘制出极坐标图的草图。G(j)的极坐标图通常用于频域稳定性分析中。

2、对数坐标图通常也称为波德(Bode)图、对数频率特性图。它具有方便实用的特点，因而被广泛地应用于控制系统的分析和设计中。波德图是根据频率特性的矢量表达式绘制的。它用两幅图分别表示G(j)的幅值和相位的变化规律。通常，A()与()的作图不方便，因此分别将它们变换如下。

对数幅频特性L()

将幅频特性的函数坐标轴A()轴与自变量坐标轴轴分别取对数作为新的坐标轴，如图所示。图中的纵坐标为刻度单位为Bell(贝尔)，如图所示纵坐标右边的读数是贝尔等分刻度。由于贝尔的单位值较大，通常令1贝尔=20分贝尔(decBell,缩写成dB，简称分贝)，则上式成为这时，如图所示纵坐标左边的读数是20dB等分刻度。(dB)图中的横坐标经对数变换后成为lg，为等分刻度。如图横坐标上边所示是以lg作等分标度的。为了使用方便，如图横坐标下边所示，在标度时仍然标以原来的频率值。因此，刻度值就成为每十倍频等分的了，这样十倍频刻度之内为对数值刻度。经过对数变换之后的幅频特性L()称为对数幅频特性。如果把图上P1定为=1，则=10对应的P2与P1的距离为一个单位长度，与=100对应的P3与P2的距离也是一个单位长度…故每变化十倍(称为一个十倍频程)，横坐标的间隔距离为一个单位长度。可见，横坐标对而言是不均匀的，但对lg来讲却是均匀的。每个十倍频程中，与lg的对应关系如表所示。由表可知，频率每变化一倍(称为一个倍频程)，间隔距离为0.301单位长度。一个十倍频程的距离为3.32个倍频程的的距离。

对数相频特性()

原相频特性()纵坐标不作任何变换，以角度等分值来标度。

为了与对数幅频特性L()的横坐标相一致，将横坐标作对数变换为lg，其刻度说明同前。经过这样处理后的相频特性()称为对数相频特性，如图所示。对数幅频特性L()和对数相频特性()两条曲线统称为对数频率特性(即波德图)。引例4-1的对数频率特性如图所示。

对数频率特性的优点(1)可以双重展宽频带由于横坐标轴作了对数变换，一方面，将高频分段各十倍频程拉近，展宽了可视频带宽度。另一方面，又将低频分段的各十倍频程分得很细，展宽了表示频带宽度，便于细致观察幅值、幅角随频率变化的程度。(2)可以采用简便方法(即渐近线)绘制近似的对数幅频曲线。引例4-1的L()曲线是由两条渐近线构成，仅在两条渐近线的交点处产生较小误差。(3)可以将幅值乘除化为加减，便于叠加作图控制系统的频率特性一般为因子相乘，如其对数幅频特性为其对数相频特性为由于L()和()分别均为各因子特性的叠加，因而作图方便。4-2典型环节的频率特性4-2-1比例环节频率特性为

极坐标图幅频特性为相频特性为极坐标图如图所示。

波德图

在波德图上的两条曲线分别为水平线，如图所示。对数幅频特性为对数相频特性为4-2-2积分环节

频率特性为

极坐标图

当ω从0+→+∞，其幅角恒为90，幅值的大小与成反比。因此，曲线在负虚轴上，如图所示。幅频特性为相频特性为

波德图从而对数幅频特性曲线为每十倍频程衰减20dB的一条斜线。积分环节的对数频率特性如图所示。对数幅频特性为对数相频特性为4-2-3微分环节频率特性为极坐标图当ω从0+→+∞，其幅角恒为+90，幅值的大小与ω成正比。因此，曲线在正虚轴上，与积分环节的极坐标图对称，如图所示。幅频特性为

相频特性为从而对数幅频特性曲线为每十倍频程增加20dB的一条斜线。波德图

微分环节的对数频率特性如图所示。

对数幅频特性为对数相频特性为4-2-4惯性环节频率特性为

极坐标图惯性环节的极坐标图如图所示。可见，惯性环节的极坐标图为下半圆。幅频特性为相频特性为波德图对数幅频特性下页如图所示。如果徒手近似作图，可以采用渐近线。由于所以，当趋于零时，是一条水平渐近线。由于所以，当趋于无穷时，是一条每十倍频程衰减20dB的斜渐近线(即斜率为-20dB/dec)。对数幅频特性为两条渐近线的交点处的频率称为转折频率，其坐标为对数相频特性为它有三个特征角如下：(1)→0时，()→0(2)=1/T时，()→45(3)→∞时，()→90由于对于所有的频率有故相频特性()是单调减的，而且以转折频率为中心，两边的角度是反对称的。对数相频特性曲线如图所示。从L()的曲线上可以看出，用渐近线作图是存在近似误差的，最大误差发生在转折频率处。将=1/T代入L()的表达式，可算出最大误差为因为最大误差两端的误差是对称的，故可以作出误差修正曲线如图所示，来修正渐近线作图的误差。从图中可以看出，在转折频率处，最大误差为3.01dB，两端十倍频程处的误差降到0.04dB。所以，两端十倍频程之外的误差可以忽略不计。4-2-5一阶微分环节频率特性为

极坐标图当由0→+∞时，实部始终为单位1，而虚部则随着线性增长。其极坐标图如图所示。幅频特性为相频特性为从上面的表达式可以看出，由于一阶微分环节与一阶惯性环节的对数频率特性是上下对称的，可以利用一阶惯性环节的波德图作上下翻转画出，其对数频率特性曲线如下页图所示。波特图对数相频特性为对数幅频特性为4-2-6二阶振荡环节二阶振荡环节的传递函数为令T=1/n为二阶系统的时间常数，代入上式有于是，二阶振荡环节的频率特性为

极坐标图其极坐标图如图所示。从图中可以看出，当=0+时当=1/T时幅频特性为相频特性为频率特性与负实轴相交。并且值越小，虚轴上的交点离原点越远。当→+∞时所以，曲线的模以幅角1800趋于零。另外，从图上还可以看出，当系统阻尼比较小时，幅频特性(即曲线的模)超出了单位圆，有极大值(称之为谐振峰值Mr)，对应的频率r称为谐振频率(或者峰值频率)。在产生谐振峰值处，必有从而可以解出谐振频率为显然,r与值有关。当时，r=0；当时，r为虚数,说明幅频特性不存在谐振峰值；当时，将其代入幅频表达式，求得谐振峰值为波德图根据上式可以作出两条渐近线。当→0时，有这是一条水平渐近线(斜率为0dB/dec)；当→∞时，有对数幅频特性为显然，上式为两个积分环节的叠加。所以，第二条渐近线是一条斜率为40dB/dec的斜线。两条渐近线的折线近似下页如图虚线所示。在图上作出两条渐近线，得到它们的交点坐标为 由于阻尼比取值不同时，对数幅频特性L()有无谐振峰值()，临界谐振峰值(=0.707)和有谐振峰值(<0.707)三种情况，L()的准确曲线如上页图实线所示。如前所述，对数相频特性也有三个特征角度。(1)→0+时，()→0(2)=1/T时，()→90(3)→+∞时，()→180对数相频特性并且当取值不同时，()在频率=1/T邻域的角度变化率也不同，越小，变化越大。>0.707、=0.707和<0.707时三条对数相频特性如图所示。4-2-7二阶微分环节频率特性为极坐标图如图所示由于二阶微分环节与二阶振荡环节互为倒数，因此，其波德图可以参照二阶振荡环节的波德图翻转画出，如下页图所示。4-2-8延迟环节频率特性为延迟环节的极坐标图如图所示。其波德图如下页图所示。由于()随的增长而线性滞后，将严重影响系统的稳定性。幅频特性为相频特性为4-3控制系统开环频率特性作图4-3-1开环对数频率特性作图控制系统的结构如图所示。其开环传递函数为因此，开环频率特性为将Go(s)用零、极点因子的环节增益归一表示式为上式包括了增益因子、一阶因子和二阶共轭复数因子，都是基本环节，故Go(j)的一般表达式可以写为基本因子的乘积，即采用幅值和幅角表达式，为开环对数幅频特性为开环对数相频特性为上两式表明，Lo()和o()分别都是各典型环节的叠加。于是，可以分别绘制出各典型环节的对数幅频特性Li()和对数相频特性i()。然后，再分别叠加后得到Lo()和o()。从而，绘制出了Go(j)的波德图。实际绘制波德图时，可以不必绘制出各环节的Li()。而依照转折频率采用渐近线作出Lo()。这就是转折渐近作图。由于在很多情况下，可以省略o()的作图。因此，这种方法又快又方便。转折渐近作图由开环传递函数其中，n=+n1+2n2----分母多项式次数;m=m1+2m2----分子多项式次数。则作图步骤如下：(1)确定Ko值，值和各个转折频率：并将各转折频率从小到大标注在频率轴上。(2)绘制对数幅频特性的低频渐近线。其斜率为-20dB/dec，位置由下式确定：从而在低频段作出Lo低。(3)以低频渐近线作为分段直线的第一段，从低频端开始沿频率增大的方向前进，每遇到一个转折频率就改变一次分段直线的斜率：当遇到k时，斜率的变化量为+20dB/dec;当遇到i时，斜率的变化量为20dB/dec;当遇到l时，斜率的变化量为+40dB/dec;当遇到j时，斜率的变化量为40dB/dec;依次得到的分段直线即为近似的对数幅频特性。(4)分段直线的最后一段是对数幅频特性的高频渐近线,其斜率为20(n-m)dB/dec.从而可以在高频段作出Lo高。(5)利用典型环节修正的方法对中频段的分段直线进行修正，从而得到准确的对数幅频特性曲线Lo()。修正时应考虑相邻各环节的相互影响。对数相频特性o()也可以直接利用相频特性表达式进行计算。事实上，当开环系统传递函数Go(s)以零、极点因子的环节增益归一表达式表示时，其相频特性为以及例4-3(P171)已知单位反馈系统的开环传递函数为作对数开环频率特性。解：低频段特性为在图上作斜率为20dB/dec，过ω=1.58的斜线如图所示。各转折特性为将各环节的转折频率从小到大填入转折渐进表如下表所示，并填入相应的转折斜率。图中的各段斜率分别简略标注为0----0dB/dec,1----20dB/dec,2----40dB/dec,另外，由于二阶振荡因子的阻尼比为=0.2。所以，在谐振频率处，谐振峰值为对数峰值为在图上作谐振峰值修正曲线如下页图所示。对数相频特性作图方法同前，徒手绘制开环对数相频特性时，首先确定低频段的相位角。例题系统的无差度为于是，低频相位角为o低()=190=90其次确定高频段的相位角，因为所以，高频相位角为o高()=290=180之后从低频段相位角出发，在每一个转折频率处，对于每一个一阶因子45在图上作出特征点，对于每一个二阶因子90在图上作出特征点。将上述特征点连线即得到例题系统的开环相频特性的草图如图所示。如果需要精确一些，可以选插值点作一些修正计算即可。4-3-2开环极坐标作图我们定性地讨论控制系统开环频率特性Go(j)的一些特点，以帮助手工绘制其极坐标图。设开环传递函数为其中，n+n1+2n2

mm1+2m2

极坐标图的起点极坐标图的起点是→0时，Go(j0+)在复平面上的位置。当前向通路中积分环节的个数大于零，→0时，有幅值的大小为幅角的大小为因此，极坐标图的起点位置与前向通路中积分环节的个数有关。为不同值时，极坐标图的起点位置如图所示。

极坐标图的终点极坐标图的终点是→+∞时，Go(+j∞)在复平面上的位置。当→+∞时，有幅值的大小为幅角的大小为所以，极坐标图终点的入射角是不同的，入射角度的大小由分母多项式次数与分子多项式次数之差nm来决定。各种趋近情况如图所示。

坐标轴穿越点与单位圆穿越点坐标轴穿越点与单位圆穿越点如图所示。这两类穿越除了要确定穿越位置之外，还需要作如下考虑。在坐标轴穿越点邻域需要确定的是在坐标轴穿越频率=x时，Go(jx)是以幅角增加方式还是以幅角减少的方式穿越坐标轴。在单位圆穿越点邻域需要确定的是在单位圆穿越频率=y时，Go(jy)是以幅值增加方式还是以幅值减少方式穿越单位圆。例4-4(P174)已知单位反馈开环传递函数为试作其极坐标草图。解：由于=1，有所以起点位于负虚轴无穷远处。由于nm=2,有所以曲线以相位角180趋于原点。幅角为当增加时，()是单调减的。由以上定性分析，可以作出极坐标草图如下页图(a)所示。极坐标准确图如图(b)所示。例4-5(P175)已知单位反馈开环传递函数为试作出极坐标草图。解：由于=2,有所以起点位于负实轴无穷远处。由于nm=3,有所以曲线以相位角270趋于原点。当增加时，()从180先增后减。当→+∞时，()减至270。幅角为所以可以算出曲线从第三象限穿越负实轴到第二象限。由以上分析，作出极坐标草图如下页图所示。图中，增益K不同时，曲线穿越负实轴的位置不同。但是，穿越频率x是相同的，曲线的形状是相似的。开环幅相曲线绘制开环幅相曲线绘制方法：（1）由开环零点-极点分布图，用图解计算法绘制；（2）由开环幅频特性和相频特性表达式，用计算法绘制。（3）由开环频率特性的实部和虚部表达式，用计算法绘制。概略地绘制幅相曲线的方法例设RC超前网络，其传递函数试绘制其幅相特性。例某零型反馈控制系统，系统开环传递函数试概略绘制系统的开环幅相曲线。与虚轴的交点：由于含有两个惯性环节，当由此可见，若包含n个惯性环节，则有由此可见，若包含n个惯性环节，m个一阶微分环节，则有当开环传递函数包含有微分环节时，幅相曲线会出现凹凸，幅值和相位不再是单调变化的。例如开环传递函数含有积分环节时的开环幅相曲线例设某单位反馈系统的开环传递函数为假设，试概略绘制开环幅相曲线，并进行分析。起点与终点：幅相曲线的渐近线是横坐标为，平行与虚轴的直线令2型系统包含两个积分环节，例如起点与终点：当包含一阶微分环节，这时的幅相曲线也可能出现凹凸，例如起点与终点：若T1大于其它时间常数，幅相曲线如图所示，与实轴、虚轴的交点可以用对应的实部、虚部表达式求出。基本规律：设（1）（2）（3）幅相曲线与实轴、虚轴的交点求取。（4）不包含一阶微分环节，包含一阶微分环节的幅相曲线。0型3型2型1型3、开环对数频率特性曲线的绘制设传递函数由n个典型环节串联组成，n个典型积分环节分别以表示，则有对数幅频曲线和对数相频曲线是由n个典型环节对应曲线的叠加后得到的。例设单位反馈系统，其开环传递函数试绘制近似对数幅频曲线和对数相频曲线，并修正近似对数幅频曲线。解：典型环节分别为绘制典型环节Bode图的数据：转折频率对数幅频特性曲线分析：（1）低频段斜率为-20db/dec，斜率由积分个数所决定。（2），曲线的分贝值为20logK,左端直线与零分贝线的交点频率为K值。（3）在惯性环节交接频率11.5(rad/sec)处，斜率从-20db/dec变为-40db/dec。16.9dB一般近似对数幅频特性的特点：（1）最左端直线斜率为（2）的分贝值，最左端直线及其延长线的分贝值为20logK。（4）最左端直线（或其延长线）与零分贝线的交点频率（3）在交接频率处，曲线斜率发生改变，改变的多少取决于典型环节的类型。例试绘制以下传递函数的对数幅频曲线解：（1）（2）绘制最左端的直线：斜率-20dB/dec直线，在过17.5(dB)这一点的直线。或绘制过零分贝线的这一点的斜率为-20dB/dec的直线。（3）根据各环节的交接频率绘制近似对数幅频特性。（4）修正近似的对数幅频特性。4-3-3最小相位系统最小相位系统是一类最普遍的系统。引例5-6(P176)已知两个系统G1(j)和G2(j)如下：对于G1(j)，有对于G2(jω)，有所以，两个系统的对数幅频特性是相同的。但是G1(j)的相频特性为G2(j)的相频特性为所以两系统的相频特性是不同的，且G1(j)比G2(j)有更小的相位角。两系统的波德图如上页图所示。因此，定义开环零点与开环极点全部位于左半s平面的系统为最小相位系统，否则称为非最小相位系统。最小相位系统的重要特征在于：幅频特性与相频特性有确定的关系。因此，在利用对数频率特性对最小相位系统进行分析或综合时，常常只需画出和利用对数幅频特性曲线，而可以以省略相频特性作图。最小相位系统和非最小相位系统最小相位系统：系统稳定，而且在右半s平面没有零点。否则就是非最小相位系统。举例：对于最小相位系统：幅频特性与相频特性具有一一对应关系；而非最小相位系统就没有这样的关系。如已知最小相位系统的幅频特性就可以直接写出系统的传递函数。例已知最小相位系统的开环对数幅频特性如图所示，试确定系统开环传递函数。系统开环传递函数：不稳定环节（1）不稳定惯性环节（2）不稳定振荡环节不稳定惯性环节的频率特性num1=1;den1=[0.51];bode(num1,den1)num2=1;den2=[0.5-1];bode(num2,den2)不稳定振荡环节和振荡环节的幅相曲线和对数频率特性不稳定一阶微分环节和一阶微分环节的幅相曲线和对数频率特性num=1;den=[1/4-1/21];bode(num,den)不稳定的二阶微分环节和二阶微分环节的幅相曲线、对数频率特性曲线num=[1/4-1/21];den=1;bode(num,den)延迟环节幅相曲线：复平面上单位圆，圆心在原点，半径为1。对数频率特性：延迟环节是非最小相位系统。例绘制以下具有延迟环节的开环传递函数的频率特性幅相特性和对数频率特性4-4频率稳定性判据

频域稳定性判据又称为奈奎斯特(Nyquist)稳定判据，简称奈氏判据。奈氏判据依据控制系统的开环频率特性，不仅可以确定系统的绝对稳定性，并且还可以提供相对稳定性的信息。因此，奈氏判据不仅用于系统的稳定性分析，而且还可以更方便地用于控制系统的设计与综合。4-4-1开环极点与闭环极点的关系控制系统的开环传递函数为其中，M(s)为m次分子多项式，N(s)为n次分母多项式，且nm。满足方程M(s)=0的s值，称为系统的开环零点。满足方程N(s)=0的s值，称为系统的开环极点。控制系统的闭环传递函数为其中，满足方程M(s)+N(s)=0的s值，称为系统的闭环极点。作辅助函数F(s)，即系统的闭环特征多项式为满足方程N(s)+M(s)=0的s值，是辅助多项式F(s)的零点，同时又是系统的闭环极点。满足N(s)=0的s值，既是辅助多项式F(s)的极点，又是系统的开环极点。辅助多项式F(s)把系统的开环极点和闭环极点包含在同一个表达式中。这样的关系如下所示←F(s)的零点,同时又是闭环极点←F(s)的极点,同时又是开环极点且由于nm，故系统的闭环极点数等于开环极点数。将s=j代入F(s)，得到辅助函数F(s)的频率特性4-4-2频域稳定性判据

1、米哈依洛夫定理奈氏判据的理论基础是米哈依洛夫定理，可以叙述如下。设D(s)是s的n次多项式，即D(s)=0的n个根中有p个在右半平面，其余的(np)个均在左半平面，如图所示。令s=j，则其中，----偶函数----奇函数当由0变化到∞时，向量D(j)的幅角的增量为：以上就是米哈依洛夫定理的内容。现证明如下：将D(s)进行因式分解，有其中，P1，P2,…，Pn是D(s)=0的根。令s=j，则现在研究上式中的某一个因子Di(j)首先考虑Pi在左半s平面的情况，即在图上画出向量Di(j)，j和Pi。其中，若Pk在右半s平面，如图所示，则由∞变到+∞时，向量Dk(j)的幅角增量是从图上可以看出，当由∞变到+∞时，向量Di(j)的幅角增量(逆时针为正)是根据上两式和向量相乘的规则，向量D(j)当由∞变到+∞时，幅角增量是由于D（j）是关于实轴对称的，因此只需研究由0变到+∞时向量D（j）的幅角变化量。因为图形的对称性，显然有由此，米哈依洛夫定理得到了证明。2、奈氏判据已知系统的开环频率特性Go(j)，则根据辅助函数F(j)的定义，当由0变到∞，F(j)的幅角的增量为由于N(s)=0是系统的开环特征方程，而N(s)+M(s)=0是系统的闭环特征方程，因此由米哈依洛夫定理和上式就可以得到奈氏判据。假设N(s)=0的根(即系统的开环极点)全部在s平面的左、右半部，在虚轴上和坐标原点没有根。由闭环系统稳定的条件：N(s)+M(s)=0的根全部在左半s平面，则根据米哈依洛夫定理，应有若开环系统不稳定，并设N(s)=0有p个根在右半s平面，则根据米哈依洛夫定理，应有于是，有由上式可知，若系统的开环传递函数有p个开环极点在右半s平面，则闭环系统稳定的条件是：当由0变到∞时，F(j)的幅角的增量为p,即F(j)的轨线随着的增加逆时针包围复平面F(j)的原点p/2圈。通常总是希望用系统的开环频率特性来分析闭环系统的稳定性。要做到这一点很容易。由包围F(j)平面的原点就相等于包围G(j)平面的(-1,j0)点，两平面的关系为平移关系，如图所示。开环频率特性Go(j)的极坐标图是画在G(j)平面上的。所以，可以利用系统的极坐标图来判别闭环系统的稳定性。频域稳定性判据(奈氏判据)

若系统有p个开环极点在右半s平面，则闭环系统稳定的充分必要条件是：Go(j)的幅角的增量为即开环频率特性的极坐标轨线Go(j)逆时针包围G(j)平面的(-1,j0)点p/2圈。奈奎斯特稳定判据频域稳定判据：奈奎斯特稳定判据和对数稳定判据频域稳定判据的特点：开环频率特性曲线判断闭环系统稳定性研究系统参数和结构改变对稳定性的影响研究包含延迟环节系统的稳定性奈氏判据可推广到某些非线性系统的稳定性1、奈奎斯特稳定判据设系统的前向通道传递函数G(s)、反馈通道的传递函数H(s)分别为若G(s)和H(s)没有零点与极点相消，则有设辅助函数注意：*（1）辅助函数的零点是闭环传递函数的极点辅助函数的极点是开环传递函数的极点（2）辅助函数的零、极点个数相同（3）F(s)与G(s)H(s)在复平面上的几何关系幅角原理

从s平面上任一点s，通过F(s)的影射关系，在F(s)平面上的找到相应的象。设：在s平面上选择一个A点开始，作一条顺时针包围某个零点的围线，其不包围也不通过其它极点和零点。在F(s)平面上，F(s)是对应于从B点出发又回到B的围线。设分别是向量沿着围线顺时针绕行一周的相角变化量。考察s沿着围线F(s)的相位变化量为结论：这表明：F(s)曲线从B开始，绕原点顺时针方向转了一圈。若在s平面的顺时针围线内，包围的是某个极点，在F(s)平面上，F(s)曲线绕原点逆时针方向转了一圈。即幅角原理：如果在围线内有Z个零点、P个极点，则s沿着顺时针转一圈时，在F(s)平面上，F(s)曲线绕原点逆时针转过的圈数为R=P-Z当R为负，表明是顺时针包围的圈数。奈奎斯特稳定判据在s平面上的围线扩展到整个右半s平面（包括虚轴），这时R=P-ZP：辅助函数F(s)在右半s平面的极点数Z：辅助函数F(s)在右半s平面的零点数，即闭环的极点数注意到辅助函数与开环传递函数之间的关系：F(s)=1+G(s)H(s)G(s)H(s)=F(s)-1F(s)围绕（0，j0)的圈数G(s)H(s)围绕（-1，j0）的圈数。又由辅助函数的定义：F(s)的分子多项式就是闭环系统的特征方程。结论：闭环系统稳定的充要条件是Z=0，则有R=P即：G(s)H(s)逆时针包围（-1，j0）点的次数=右半s平面开环极点数。当特征方程有纯虚根，闭环系统临界稳定，G(s)H(s)曲线（奈奎斯特曲线）过（-1，j0）点，此时圈数R是不定的。奈奎斯特判据：反馈控制系统稳定的充分必要条件是：奈奎斯特曲线反时针包围（-1，j0）点的圈数R等于开环传递函数在右半s平面的极点数P，即R=P。（1）若P=0，系统开环稳定，闭环系统稳定的充要条件：奈氏曲线不包围（-1，j0)点。（2）若，则系统闭环不稳定，在右半s平面上闭环特征根的个数Z=P-R。例设单位反馈系统的试用奈氏判据判定闭环系统的稳定性。解：（1）绘制的曲线。系统是闭环稳定的。（2）用奈氏判据判定闭环系统的稳定性例具有单位反馈的非最小相位系统试分析闭环系统的稳定性。解：（1）绘制奈氏曲线（2）若R=P=1，则系统闭环稳定。这就要求K>1；当K=1系统是临界稳定。2、开环系统（传递函数）临界稳定时，奈氏围线的修改开环传递函数G(s)H(s)在虚轴上有极点（开环极点），则就是辅助函数F(s)=1+G(s)H(s)的奇点，而奈氏围线不允许通过奇点，为此需对奈氏围线进行修改，如图所示。例已知系统开环传递函数修改后奈氏围线的映射有一个开环极点s=0，作无穷小半径的围线。

在围线上S在无穷小半圆上逆时针转过半圈，映射到G(s）平面上则为一条顺时针绕行半圈的圆弧曲线，半径为无穷大对于型系统，在G(s)平面上，半径为无穷大，顺时针方向绕行个半圈的圆弧曲线。3、判断稳定性的实用方法绘制的奈氏曲线，按奈氏曲线包围临界点圈数N和开环传递函数在右半s平面的极点数P，确定闭环特征方程正实部根的个数。若Z=0，则系统闭环稳定，否则闭环不稳定。对于型系统的奈氏曲线：补画一条半径为无穷大，逆时针方向绕行的圆弧，这样可得完整的部分奈氏曲线。例设单位反馈系统，其开环传递函数试用奈氏判据判断系统稳定性。解：开环幅相大致曲线如图所示曲线顺时针包围（-1，j0）点一圈，N=-1。P=0，Z=P-2N=2。闭环系统不稳定。用在区间，奈氏曲线的正、负穿越的次数来确定N

4-4-3频域稳定性分析

1、最小相位系统最小相位系统的开环零、极点全部在左半s平面上，因而满足奈氏判据的p=0的情况，闭环系统稳定的充要条件为即开环频率特性的极坐标轨线Go(j)不包围G(j)平面的(-1,j0)点。例4-7(P181)系统的开环传递函数为讨论开环增益K的大小对系统稳定性的影响。解：这是一个三阶系统，没有开环零点，且开环极点全部位于左半s平面，因此是最小相位系统。作极坐标草图，先计算极限值：=0时，有

→∞时，有且增加时有依此作极坐标草图如图所示。判别当K小时，极坐标轨线围绕（-1,j0)点的角度增量为不包围(-1,j0)点，所以系统是稳定的。当K大时，围绕(-1,j0)点的角度增量为由于围绕(-1,j0)点转了-1圈，不等于零，所以系统不稳定。

2、原点处有开环极点的情况当原点处存在开环极点时，其表达式为由于开环极点因子G(s)=1/s既不在左半s平面上，也不在右半s平面上，当由0变到∞时，原点处开环极点的幅角增量值是不定的，因而不能应用幅角增量公式来计算。对于这种情况，可以认为原点处的开环极点属于左半s平面。在数学作如下处理：在s平面的s=0的邻域作一半径为无穷小的半圆绕过原点，如下页图所示。这样，当由0增加到0+时，原点处就已经获得了+/2的增量。相应地，作为复变函数G(s)=1/s，由复变函数的保角定理可得，在G(j)平面上的无穷大半圆处也就获得-/2的幅角增量。因此，可以在G(j)平面上的无穷大半圆处作增补线，如上页图所示。得到相应的增补角为-/2。如果原点处的开环极点有个，则在G(j)平面上的无穷大半圆处作所增补线就满足的增补角为.(-/2)。这样，当系统在原点处有开环极点时，计算幅角增量需要计入相应的增补角，以保证计算的正确性。例4-8(P182)已知系统的开环传递函数为试用奈氏判据判别系统的稳定性。解：(1)作极坐标图=0时，有可以确定系统极坐标图的起点为0-j∞→∞时，有可以确定系统极坐标图的终点为0+j0,即原点且增加时有依此作极坐标草图如图所示。（2）稳定性判别系统为最小相位系统，所以稳定条件为由于原点处有一个开环极点，=1，作增补角如上页图所示。当K小时，极坐标轨线围绕(-1，j0)点的角度增量为(增补角)（原角度）不包围(-1,j0)点，所以系统是稳定的。当K大时，围绕(-1,j0)点的角度增量为(增补角)（原角度）由于围饶(-1,j0)点转了1圈，不等于零，所以系统不稳定。3、非最小相位系统对于非最小相位系统，首先要判别的是在右半s平面上有没有开环极点。如果有，则闭环系统稳定的条件为如果非最小相位系统是由右半s平面的开环零点确定，则闭环系统稳定的条件为例4-9(P183)已知系统的开环传递函数为试用奈氏判据判别系统的稳定性。解：该系统在右半s平面有一个开环极点，p=1，系统稳定的条件为另外，原点处有一个开环极点，=1，需要作增补线，使得增补角为-/2。因此，按照下面步骤作极坐标图：

=0时，有

→∞时，有幅值A()单调减，幅角()单调增，并且在=x时，轨线穿过负实轴。按照上述曲线变化趋势作极坐标图如图所示。由于=1，作增补线如图。因为p=1，满足稳定条件，所以系统是稳定的。因为p=1，不满足稳定判据的条件，所以系统是不稳定的。当K小时，极坐标轨线围绕(-1，j0)点的角度增量为(增补角)（原角度）当K大时，极坐标轨线围绕(-1，j0)点的角度增量为(增补角)（原角度）4-4-4波德图上的稳定性判据

1、极坐标图与波德图的对应奈氏判据除了可以表示在极坐标图上，还可以表示在波德图上。对于工程中最经常出现的最小相位系统，采用波德图表示，不仅应用起来更为方便和直观，而且还能得到有关系统校正设计方面的信息。引例4-10(P184)前述例题4-7，其开环传递函数为开环增益K的大小对系统稳定性的影响如下页图所示。从图中可以看出，当K小时，奈氏轨线(即极坐标轨线)不包围(-1，j0)点，闭环系统是稳定的；当K临时，奈氏轨线穿过(-1，j0)点，闭环系统是临界稳定的；当K大时，奈氏轨线包围(-1，j0)点，闭环系统不稳定。从图中还可以看出，当轨线穿过单位圆时(即当模为1时)，有：稳定系统，相角大于-；临界稳定系统，相角等于-；不稳定系统，相角小于-。这样就得到了在波德图上的奈氏判据。

当对数幅频特性穿过0dB线时，相角大于-，即时则闭环系统是稳定的。

或者当对数相频特性为-时，对数幅频特性小于0dB，即时则闭环系统是稳定的。上述波德图上的奈氏判据，只适用于最小相位系统，对于非最小相位系统，虽然也可以推导出在波德图上的等价判据，但由于有多种情况存在，没有多少应用价值。利用波德图，不仅可以确定系统的绝对稳定性，还可以确定系统的相对稳定性，即：如果是稳定系统，那么相位角还差多少度，或增益再增大多少倍，系统就不稳定了。如果系统不稳定，那么相位角还需要改善多少度或者增益值需要减小到多大，不稳定系统就成为稳定系统了。

对数频率稳定判据对数频率稳定判据的依据是和奈氏稳定判据的依据是一样的，关键是在对数频率特性图（对数幅频图和对数相频图）上如何确定N。考察以下开环幅相曲线与Bode图的对应情况：当开环传递函数包括积分环节时，在对数相频特性上要补画这一段频率变化范围的相角变化曲线。

例如系统闭环不稳定。

对数频率稳定判据：已知开环系统在右半s平面的极点数P，开环对数幅频特性为正值的所有频率范围内，对数相频曲线对-180o线的正、负穿越之差，然后确定条件稳定系统考察图示系统的奈氏曲线P=0（1）开环增益K增加到足够大，系统闭环不稳定。（2）开环增益足够小，系统闭环不稳定。

2、稳定裕度基于波德图上的奈氏判据，可以在波德图上定义两个开环频域的性能指标，称为开环系统的稳定裕度，其中的一个为幅值裕度Lg，另一个为相位裕度c,它们的几何表示如图所示。

幅值裕度Lg令对数相频特性()穿过-180线时的频率为g(通常称之为开环穿越频率)，此时的幅值为A(g),增大Kg倍后为单位1(穿过单位圆)，即于是从而定义幅值裕度Lg为由Lg的定义可知：若系统稳定，则Lg>0dB(Kg>1);若系统临界稳定，则Lg=0dB(Kg=1);若系统不稳定，则Lg<0dB(Kg<1)。Lg作为定量值指出了，如果系统是稳定的，则系统的开环增益Ko再扩大多少倍系统就不稳定了，或者在波德图上开环对数幅频特性Lo(ω)再向上移动多少分贝系统就不稳定了。如果是不稳定系统，与上述描述相反。

相位裕度c令对数幅频特性L()穿过0dB线时的频率为c(通常称之为开环截止频率)，则定义相位裕度c为显然，若系统稳定，则c>0；若系统临界稳定，则c=0；若系统不稳定，则c<0。

c作为定量值指出了，如果系统不稳定，则系统的开环相频特性o()还需要改善多少度就成为稳定的了。如果是稳定系统，与上述描述相反。Lg和c可以用来作为控制系统的开环频域性能指标来定量描述系统的性能。在实际中，Lg和c通常是成对应用的。虽然在分析系统稳定性时经常仅使用一个裕度指标，但当c较大而Lg较小时，对系统的动态性能的影响很大。必须强调指出的是，这里定义的稳定裕度仅适用于最小相位系统。例4-11(P187)已知单位反馈的最小相位系统，其开环对数幅频特性如图所示，(1)试求开环传递函数