工程光学第二章

第二章光学系统成像原理§2.1共轴球面光学系统§2.3平面光学系统

§2.2理想光学系统※C：球面曲率中心。※OE：折射球面，也是两种介质n与n’

的分界面。※OC：球面曲率半径,r。※O：顶点。※h：光线投射高度。EOhCnn’r2.1.1单折射球面成像基本概念与术语§2.1共轴球面光学系统※子午面:

包含物点（或物体）和光轴的光路截面。※

单个折射球面的结构参数：

r,n,n’。给定了结构参数和物点A后，即可确定A点的像。AEOhCnn’r-U※

物点A在光轴上，其到顶点O的距离OA为物方截距，用L

表示。※

入射光线AE与光轴的夹角为物方倾斜角也叫物方孔径角，用U

表示。AEOhCnn’r-L折射光线EA’由以下参量确定：※像方截距：顶点O到折射光线与光轴交点，用L’表示。※像方倾斜角：折射光线EA’与光轴的夹角，也叫像方孔径角，用U’

表示。AEOhCnn’r-L-UA’L’U’像方参数与对应的物方参数所用的字母相同，并加以“

’

”相区别。只知道无符号的参数，光线可能有四种情况。要确定光线的位置，仅有参量是不够的，还必须对符号作出规定。2.1.2符号规则符号规则对于研究成像规律非常重要！（一）、光路方向从左向右为正向光路，反之为反向光路。正向光路反向光路（二）、线段1、沿轴线段：从起点（原点）到终点的方向与光线传播方向相同，为正；反之为负。即以线段的原点为起点，向右为正，向左为负。原点+原点-※原点规定：（1）曲率半径

r,以球面顶点O为原点，球心C在右为正，在左为负。EAO+rCAEC-rO

（2）物方截距L

和像方截距L’

也以顶点O为原点，到光线与光轴交点，向右为正，向左为负。AA’-L+L’EOCAEC-L’-LA’O（3）球面间隔d以前一个球面的顶点为原点，向右为正，向左为负。（在折射系统中总为正，在反射和折反系统中才有为负的情况）O1O2O1O2O1O2+d+d-d2.垂轴线段：以光轴为界，上方为正，下方为负。AB+yOEC+hA’B’-y’（三）角度※角度的度量一律以锐角来度量，由起始边顺时针转到终止边为正，逆时针为负。※起始边规定如下：（1）光线与光轴的夹角，如U,U’,以光轴为起始边。-UU’AB-LyOECrL’A’B’h-y’（2）光线与法线的夹角，如I,I’,以光线为起始边。AB-LyOE-UCrL’A’U’B’h-y’II’I-I”I’-I”-I’（3）入射点法线与光轴的夹角φ（球心角），以光轴为起始边。AB-LyOE-UCrL’A’U’B’h-y’II’φL=100mm,U=30°×××√同学们一定要记住上面的符号规则！练习：试用符号规则标出下列光组及光线的位置（1）r=-30mm,L=-100mm,U=-10°（2）r=30mm,L=-100mm,U=-10°（3）r1=100mm,r2=-200mm,d=5mm,L=-200mm,U=10°（4）r=-40mm,L’=200mm,U’=10°（5）r=-40mm,L=-100mm,U=-10°,L’=-200mm当结构参数r,n,n’

给定时，只要知道

L

和U，就可求L’

和U’AEOCnn’r-L-U一、实际光路的计算公式（追迹公式或大L公式）：2.1.3单折射球面成像的光路计算△AEC中，－L＋r=AC,并由正弦定理可得：第一步：连接CEA-LOE-UCrIφnn’第三步：由图可知则可知U’

的大小:则可求I’

的大小；第二步：由E点作出射光线。由折射定律A-LOE-UCrA’U’II’φnn’第四步：在△EA’C中，CA’

=L’-r,由正弦定理，可得A-LOE-UCrA’U’II’φnn’L’上述四个公式就是子午面内光路计算的大L计算公式，当n,n’,r

和L,U

已知时，可依次求出U’和L’。子午面内光路计算大L计算公式综上可知当物点位于光轴上无限远处时，可以认为它发出的光是平行于光轴的平行光，此时有L＝－∞，U＝0然后再按其它大L公式计算OECrIφnn’h入射角可以按计算例1：已知一折射球面其r=36.48mm，n=1，n’

=1.5163。轴上点A的截距L=-240mm，由它发出一同心光束，今取U为-1°、-2°、-3°的三条光线，分别求它们经折射球面后的光路。（即求像方截距L’和像方倾斜角U’

）AEOCnn’-240mmU=-1°:U’=1.596415°L’=150.7065mmU=-2°:U’=3.291334°L’=147.3711mmU=-3°:U’=5.204484°L’=141.6813mm可以发现：同一物点发出的物方倾斜角不同的光线过光组后并不能交于一点！轴上点以宽光束经球面成像时，存在像差（球差）。！AEOCnn’-240mm由上面推导可知：L'=f(L,U)、U'=g(L,U)，当L不变，只U变化时，L'也变。说明“球差”的存在。

球面之所以产生象差是由于其面形仅由—个参数r决定之故。当由多个折射球面合理组合(即多个透镜组合)时，象差可以减小。非球面可以使轴上物点以宽光束成完善象。抛物面镜可以使平行光束会聚于其焦点上。但是由于非球面的计算比球面复杂，尤其是加工和检验更为因难，因而它的应用范围受到很大限制。椭球面镜可使一个焦点发出的光线均会聚于另一个焦点上。

折射球面对轴上点以宽光束成像是不完善的，所成的像不是一点，而是个模糊的像斑，在光学上称其为弥散斑。

一个物体是由无数发光点组成的，如果每个点的像都是弥散斑，那么物体的像就是模糊的。

将物方倾斜角U限制在一个很小的范围内，人为选择靠近光轴的光线，只考虑近轴光成像，这时可以认为可以成完善像二、近轴光线的光路计算(小

公式)表明：在近轴区l’只是l的函数，它不随孔径u的变化而变化，轴上物点在近轴区成完善像。

近轴区、近轴光线，U很小，则I，I'和U'都很小,当无限远物点发出的平行光入射时，有继续用其余三个公式。小l公式也称为近轴光线的光路追迹公式OECriφnn’h例2：仍用上例的参数，r=36.48mm,n=1,n’=1.5163,l=-240mm,sinU=u=-0.017，求：l’,u’

与大L公式计算的结果比较：L’=150.7065mm.(1°)可得：左边是物方参量，右边是像方参量如将和中的i,i’

代入三、近轴区域的物像位置关系

对于近轴光而言，AE=-l，EA’=l’,sinu=u,sinu’=u’有：lu=l’u’=hA-lOE-uCrA’u’ii’φnn’l’h将上式代入，若消去l,l’,整理后得：也可表示为将代入，若消去u和u’,可得lu=l’u’

=h上式称为单个折射球面物像位置公式阿贝不变量

上述三个公式是一个公式的三种不同的表达形式，中间的公式表示成不变量Q的形式，称为“阿贝不变量”。※它表明：当物点位置一定时，物空间和像空间的Q值相等。给出了l

和l’

的关系

给出了u

和u’

的关系例：半径为r=20mm的一折射球面，折射率为n=1，n’=1.5163，当物体高度为10mm的垂轴物体AB位于距球面顶点l=-60mm时，求AB所成像A’B’。

l’

与u

无关，说明轴上点发出的靠近光轴的细小同心光束经球面折射后仍是同心光束，可以会聚到一点，也就是所成的像是完善的。解：应用物像位置公式得：距球心145.75mm连接B点和球心C，B点也可看做光轴上物点，其物距为：应用物像位置公式得：距球心142.71mm近轴的微小物体发出的靠近光轴的细光束经球面折射所成的像也是完善的。近轴的微小物体发出的细光束所在的空间称近轴区。※由近轴细光束成的完善像称为高斯像※光学系统在近轴区成像性质和规律的光学称为高斯光学或近轴光学。四、

近轴区域的物像放大率（一）垂轴放大率β称为垂轴放大率或横向放大率A-lOE-uCrA’u’nn’l’hy-y’BB’△ABC∽△A’B’C

有：代入可得：可见β只取决于介质折射率和物体位置。A-lOE-uCrA’u’nn’l’hy-y’BB’由阿贝不变量公式可得：根据β的定义和公式，可以确定物体的成像特性：（1）若β>0,

即y

与y’

同号，表示成正立像。反之成倒立像。对横向放大率的讨论（2）若β>0,

即l

与l’

同号，表示物象在折射球面同侧，物像虚实相反。反之l

与l’

异号，物像虚实相同。可归结为：β>0,成正立像且物像虚实相反。

β<0,成倒立像且物像虚实相同。l’l记住喽，成像的位置、大小、虚实、倒正极为重要！！！（3）若|β|>1,

则|y’|>|y|，成放大像，反之|y’

|<|y|，成缩小像

即无穷远物将在某点缩为一点。(4)（二）轴向放大率

轴向放大率表示光轴上一对共轭点沿轴向移动量之间的关系。它定义为物点沿光轴作微小移动dl

时，所引起的像点移动量dl’

与dl

之比，用α表示。对公式微分，有整理后由于所以（1）折射球面的轴向放大率恒为正，说明物点沿轴向移动时，像点沿光轴同方向移动。（2）轴向与垂直放大率不等，空间物体成像时要变形，立方体放大后不再是立方体。折射球面不可能获得与物体相似的立体像。讨论：（3）公式应用条件：dl很小。由得到以下结论：（三）角放大率在近轴区内，角放大率定义为一对共轭光线与光轴夹角u’

与u

的比值，用γ表示A-lOE-uCrA’u’nn’l’hy-y’BB’将式

lu=l’

u’=h代入上式上式两边乘以n’/n，并利用垂轴放大率公式，可得上式为角放大率与横向放大率之间的关系式。

角放大率表明了折射球面将光束变宽或变细的能力，只与共轭点的位置有关，与光线的孔径角无关将轴向放大率与角放大率公式相乘，有：上式为三种放大率的关系。即：J称为拉赫不变量或传递不变量，可以利用这一性质，在物方参数固定后，可通过改变u’

来控制y’

的大小，也就是可以通过控制像方孔径角来控制横向放大率。上式称为拉格朗日－赫姆霍兹公式，它表明实际光学系统在近轴区域成像时，在一对共轭面内，其n，u，y或n’，u’，y’的乘积为一常数J。(拉赫不变量）例3：已知一个光学系统的结构参数，r=36.48mm,n=1,n’=1.5163l=-240mm,y=20mm已求出：l’=151.838mm，现求β,y’

（横向放大率与像的大小）解：β<0：|β|<1：缩小倒立、实像、两侧上例中，若l1=-100mm，或l2=-30mm,分别求像的位置和大小。当l1=-100mm时： l1’=365.113mm

β1=-2.4079 y1’=-

48.1584mm放大倒立实像，两侧利用公式当l2=-30mm时：

l2’=-79.0548mm

β2=1.7379y2’=34.7578mm放大正立虚像同侧⑴物像位置公式

⑵放大率物沿光轴移动时，像沿反向移动五、球面反射镜成像将折射系统公式中的用代替，可得相应公式。(拉赫不变量）例题4：现有一球面反射镜，曲率半径为r，请问无穷远物体发出的光成像在什么位置处？即成像于曲率中心与折射面顶点的中间位置处。解：特别地：当物点位于球心C时，即，则即通过球心的光线将沿光路返回，重汇于球心。由两个折射面组成的透镜，均已知。现在已知

l1和

u1，要求l2’

和u2’A1’=A2A1O1O2n1n2’n1’=n2-l1-u1u2’u1’=u2l2’d1

l2l1’2.1.3共轴球面系统的成像（一）过渡公式

（1）用小l公式算出光线经第一个折射面后的像方截距l’1和孔径角u1’问题分两步解决：A1O1n1n1’-l1-u1u1’l1’A1’（2）将第一个面的出射光线作为第二个面的入射光线，再利用小l公式求解最终的l’2和u2’将第一个折射面像空间参数转化为第二个折射面物空间参数的关系式，称为过渡公式

。注意：O1O2n2’n1’=n2u2’u1’=u2l2’d1

l2l1’A1’=A2推而广之，如果有k

个折射球面，也必须先给定光学系统的结构参数：（1）每个球面的曲率半径r1，r2……rk（2）每个球面间隔d1，d2……dk-1（3）每个球面间介质折射率n1，n’1=n2，n’2=n3……n’k-1=nk，最后一个面后的折射率为n’k.-l1h1l'1-l2d1r1r2r3l'3l'2d2-l3A1B1-u1n1n'1(n2)n'2(n3)n'3y1h2h3u'3-u3-u'2u'1(u2)O1O2C1C2C3O3y2-y'3反复应用小l公式进行计算，此时，前一个面的像空间就是后一个面的物空间。参数关系：※

上述公式为共轴球面系统近轴光线计算的过渡公式，它对于宽光束成像也适用，只需将小写字母u

和l换成大写即可。（二）、放大率公式1、横向放大率整个系统的横向放大率是各个折射面放大率的乘积2、轴向放大率整个系统的轴向放大率是各个折射面放大率的乘积3、角放大率4、三者关系（三）拉赫公式利用这一点，我们可以对计算结果进行检验

例已知一透镜的结构参数如下(单位是毫米)：r1=10mm，n1=1.0，d1=5，n2=n1′=1.5163，r2=-50mm，n2′=1.0。高度y1=10mm的物体位于透镜前l1=-100mm处，求像的位置和大小。代入数据

解：本题可用物像公式进行逐面计算。计算第一面：利用公式求得

而

计算第二面：利用公式

其中

代入数据

求得

而

整个透镜的垂轴放大率为β=β1·β2，

像的大小为

例一凹球面反射镜，半径r=-12cm，当物距分别为-2、-4、-9和-24cm时，求像的位置和垂轴放大率。解：成像计算中有两种方法：方法1：对每一面用追迹公式及过渡公式方法2：对每一面应用物像位置公式及过渡公式当只关心物像位置和大小且折射面很少时，用方法2较为方便。如需知道一些中间量以计算像差且折射面较多时，多采用方法1。

共轴球面系统只有在近轴区才能成完善像,而对于宽光束,当u较大时，成像就不完善，存在像差。

只能对细光束成完善像的光学系统是无实用价值的！

寻找一个能对较大范围、较粗光束及较宽波段范围都能成满意像的光学系统，就是应用光学所需要解决的中心问题。到哪里找这样的系统呢？2.2理想光学系统其它原因：（1）光束太细，进入光学系统的能量太弱，成像太暗。（2）只能对物面上很小的部分成像，不能反映全貌。为了揭示物、像、成像系统三者之间的内在联系，可暂时抛开成像系统的具体结构，将一般仅在光学系统近轴区存在的完善像拓展成在任意大的空间以任意宽光束都能完善成像的理想模型，即称为理想光学系统，又称为高斯光学系统（1841年由高斯提出）。理想光学系统：理想光学系统可有任意多个折、反射球面或多个光组组成。寻找理想光学系统的特征点、面就可以代表整个光组的光学特性，用以讨论成像规律。◆进行光学设计的时候，开始只是提出性能要求，如放大倍数等。这时，光组的具体参数是未知的，因此无法用近轴光学公式计算。为什么要研究理想光学系统？理想光组的成像作为衡量实际光学系统成像质量的标准这可咋整？

由理想光组所抽象出来的光学特征公式进行光组的初始计算，也就是以理想光组理论为基础，根据要求，寻找和确定一个能满足要求的光学系统的整体方案。称为光学系统的外形尺寸计算，也称轮廓计算•A•A’O1OkBCC’B’理想光学系统，物像关系具有以下性质：（1）物空间一个物点对应像空间中唯一的像点，这种一一对应关系称为共轭，这两个对应点称为共轭点。（2）物空间中每一条直线对应于像空间中唯一相应直线，这两条直线称为共轭线。2.2.1理想光学系统的共线成像理论D’D（3）物空间中每一个平面对应于像空间中唯一平面，这两个面称为共轭面。（4）如果物空间任意一点D位于直线BC上，那么其在像空间的像D’也必位于BC的共轭线B’C’上。P•A•A’P’O1OkCC’B’B※

把这种点对应点，直线对应直线，平面对应平面的成像变换称为共线成像，也称“理想像”，上述定义称为共线成像理论。1、已知：M为理想光学系统，物平面O1与共轭面O1’，其对应的垂轴放大率为β1，物平面O2与对应的共轭面O2’，其对应的垂轴放大率为β2，求物空间任意一点O的共轭点O’。利用几何关系求像OO1O2O1’O2’基本思想：过O点的两条光线经光学系统后出射光线的交点即为O点经光学系统后的共轭点。OO1O2O1’O2’AA’B’BO’5、两条出射光线的交点即为O’点。1、过O点和O1点作一条光线，此光线与O2平面交于A点;2、由于A点在O2平面上，由垂轴放大率可得A点的共轭点A’；3、过O1’与A’的光线即为OO1的出射光线；4、同理，过O点和O2点作一条光线，此光线与O1平面交于B点，由垂轴放大率可得B点的共轭点B’，过O2’与B’的光线即为OO2的出射光线；2、已知：M为理想光学系统，物平面O1与共轭面O1’，其对应的垂轴放大率为β，光轴上现有两物点O2，O3与其共轭点O2’，O3’，求物空间任意一点O的共轭点O’。基本思想：过O点的两条光线经光学系统后出射光线的交点即为O点经光学系统后的共轭点。OO1O2O1’O2’O3O3’1、过O点和O2点作一条光线，此光线与O1平面交于A点;2、由于A点在O1平面上，由垂轴放大率可得A点的共轭点A’；3、过O2’与A’的光线即为OA的出射光线；5、两条出射光线的交点即为O’点。4、同理，过O点和O3点作一条光线，此光线与O1平面交于B点，由垂轴放大率可得B点的共轭点B’，过O3’与B’的光线即为OB的出射光线；OO1O2O1’O2’O3AB’BO’A’O3’理想光组有一些特殊的点和平面，利用它们来讨论光组的成像特性，可以使问题大大的简化。※表征光组特性的点、面称为基点和基面大家可要做好笔记呦！2.2.2理想光学系统的基点和基面

h

是轴上物点A发出的一条入射光线的投射高度由三角关系：－Uh－LA当

即物点向无限远处左移时，由于任何光学系统口径有限，所以此时※即无限远轴上物点发出的光线与光轴平行一、无限远轴上物点与像方焦点、像方焦平面；像方主点、主平面；像方焦距AU’F’

E’hE※

F’

就是无限远轴上物点的像点，称像方焦点AE

是一条平行于光轴的入射光线它通过理想光学系统后，出射光线E’F’交光轴于F’※过F’

点作垂直于光轴的平面，称为像方焦平面它是无限远处垂直于光轴的物平面的共轭像平面将AE延长与出射光线E’F’的反向延长线交于Q’通过Q’点作垂直于光轴的平面交光轴于H’点，※

则Q’H’平面称为像方主平面，H’称为像方主点AU’F’

E’hEQ’

H’

※从像方主点H’

到像方焦点F’

之间的距离称为像方焦距，用

f’表示

f

’也遵从符号规则，它的起始原点是像方主点H’根据三角关系，有：AU’F’

E’hEQ’

H’

f’

-w无限远轴外物点发出的光线F'无限远轴外物点发出的能够进入光学系统的光线总是相互平行的，光线与光轴有一定的夹角，用w

表示。这样一束平行光线经过理想光组后，一定相交于像方焦平面上的某一点，这一点就是无限远轴外物点的共轭像。二、无限远轴上像点与物方焦点、物方焦平面；物方主点、主平面；物方焦距E’hF－UE※如果轴上某一点F的共轭像点在无限远处，即由F发出的光线经光组后与光轴平行，则F

称为系统的物方焦点。BQE’B的反向延长线与FE交于Q，过Q点做与光轴垂直的平面，与光轴交于H点。※

则QH平面称为物方主平面，H点称为物方主点。※从物方主点H

到物方焦点F

之间的距离称为物方焦距，用

f

表示。f也遵从符号规则，它的起始原点是物方主点H。这里为-f

E’hF－UEH-fB三、物方主平面与像方主平面之间的关系E1E

kBAO1OKP1P

kFF'Q'QH'H-ff’hh入射高度为h的AE1的延长线与PkF’的反向延长线决定Q’

根据光路的可逆性，入射高度同样为h的BEk的延长线和P1F

的反向延长线交于Q。

由于这两组光线是共轭的，所以Q与Q’点必是共轭点，QH与Q’H’也是一对共轭面结论：主平面的横向放大率为＋1。※在追迹光线时，出射光线在像方主平面上的投射高度一定与入射光线在物方主平面上的投射高度相等。QH与Q’H’在光轴同侧，且高度都为h，故其横向放大率为：β＝＋1光学系统E1E

kBAO1OKP1P

kFF'Q'QH'H-ff’hh小结：-ff’H’HFF’物方焦点物方主点像方焦点像方主点物方主平面像方主平面一对共轭面，三对共轭点是最常用的共轴系统的基点一对共轭面：两个主平面三对共轭点：无限远轴上物点与F’，F与无限远轴上像点，物方主点H和像方主点H'一对主平面和两个焦点构成了一个光学系统的基本模型。提问：物方焦平面与像方焦平面是不是共轭面？不是！！!F’H’AhEQ’QHF思考：四、节平面和节点※节点定义：角放大率γ=+1的一对共轭点物空间物方节点

J

像空间像方节点J’

HH'JJ'F'Fuu'-f

f'性质：通过物方节点J

的入射光线，经光组后其出射光线必经过像方节点J’，且方向不变。※在同一介质中，节点J

，J’

与主点H，H’

重合！（后面详细讲解）

HH'JJ'F'Fuu'如果已知共轴光学系统的一对主平面和两个焦点的位置，就能根据它们找出物空间任意物点的像！2.2.3理想光学系统的物像关系

※

若f’>0，为正光组（会聚光组）

若f’<0，为负光组（发散光组）记住喽，做题时先判断光组的正负！FF’HH’正光组F’FHH’负光组一、用作图法求理想光学系统的物像关系※已知一个理想光学系统的主点和焦点的位置，利用光线通过它们后的性质，对物空间给定的点、线、面通过画图追踪典型光线求像，称为图解法求像。这可是重点呦！可供选择的典型光线和可供利用的性质有：（2）平行于光轴入射的光线，经过系统后过像方焦点。F’HH’（1）共轭光线在主平面上的投射高度相等，即一对主平面的横向放大率为＋1。（3）过物方焦点的光线，经过系统后平行于光轴。FH’H（4）过主点（节点）光线方向不变。HH’（5）倾斜于光轴的平行光线，经过系统后交于像方焦平面上某一点。-wF'H’H（6）自物方焦平面上一点发出的光束经系统后成倾斜于光轴的平行光束。FH’H（7）光轴上的物点其像必在光轴上。1、已知F和F’，求轴外点B或垂轴物体AB的像（一）正光组轴外点及轴上点作图再次强调：作图时先注意光组的正负，看物方焦点F和像方焦点F’的位置。2、已知F和F’，求轴上点A的像A’方法1：过F作物方焦平面，与A点发出的光线交于N，以N为辅助物点，从N点作平行于光轴的直线，经过光组后交于像方焦点F’，则AN光线过光组后与辅助光线平行，与光轴的交点既是A’。NAFF’HH’方法2：

利用过主点光线方向不变，作过主点的辅助光线。利用像方焦平面上发出的光线过光组后平行射出的性质。然后作平行辅助光线的出射光线。AA’FF’NHH’条条大路通罗马！方法3：过物方焦点F

作辅助线，过光组后与光轴平行，交像方焦平面于N’，则A点射出的与辅助光线平行的光线过光组后过N’

点，与光轴交点即是A’。AA’FF’N’HH’方法4：也可以利用像方焦平面。作和入射光线平行的辅助光线，利用与光轴成一定角度的光束过光组后交于像方焦平面。AA’FF’N’HH’方法5：

过A作垂直于光轴的辅助物AB，按照前面的方法求出B’，由B’作光轴的垂线，则交点A’就是A的像。AA’FF’HH’BB’Q’（二）负光组轴上点作图★FF’HH’A’AN方法1：（1）AQQ（4）NR（3）延长AQ到NR（2）辅助焦平面（5）RR’（主面上投射高度相等）R’（6）R’F’（7）QQ’（8）Q’A’//R’F’（物方焦平面一点发出的光线过光组后平行射出）方法2：（1）AQ（5）H’R’//RH（3）RH//AQ（4）辅助面F’（6）反向延长H’R’交辅助面F’于N（2）QQ’（7）NQ’于光轴交点既是A’（物方平行光线出射后反向延长线会聚于像方焦平面上一点）FF’HH’A’ANQRR’Q’方法3：（3）QQ’（4）由Q’作直线过F’（5）BH（2）由B作BQ//光轴（8）由B’作直线垂线于光轴交点即是A’（1）辅助物AB（6）H’N（7）反向延长H’N，于Q’F’交于B’FF’HH’A’ANQB’Q’B（三）正光组，实物成像已知理想光组的物方焦点F和像方焦点F’，求物AB的像（a）物在二倍焦距外成倒立缩小实像；像在一倍焦距外，二倍焦距内。物、像在两侧BAA’FF’HH’B’2F’2F

实物成等大倒立实像，位于二倍像方焦点上。分立两侧(b)物在二倍焦距上AA’FF’HH’BB’2F’2F（c）物在二倍焦距之内，一倍焦距之外成放大倒立实像，像在二倍焦距外两侧AA’FF’HH’BB’2F’2F（d）物在焦平面上成像于像方无限远,两侧AFF’HH’B2F’2F(e)物在一倍焦距内实物成放大正立虚像，同侧AFF’HH’B2F’2FA’B’（四）正光组、虚物成像(a)虚物在一倍焦距内FF’ABA’B’缩小正立实像（一倍焦距之内），物像同侧H’H(b)虚物在一倍焦距之外，二倍焦距之内成正立、缩小、实像（一倍焦距之内），物像同侧FF’ABA’B’H’H2F’(c)虚物在二倍焦距之外成正立、缩小、实像（一倍焦距之内），物像同侧FF’ABA’B’H’H2F’（五）负光组，实物成像（a）物在二倍焦距外像：缩小正立虚像，同侧，一倍焦距内AFF’HH’B2F’2FA’B’（b）物在一倍焦距外，二倍焦距内像：缩小正立虚像，同侧，一倍焦距内AFF’HH’B2F’2FA’B’（c）物在一倍焦距内像：缩小正立虚像，同侧，一倍焦距内AFF’HH’B2F’2FA’B’（六）负光组，虚物成像（a）虚物，右侧，一倍焦距内像：放大正立实像，同侧AFF’HH’BA’B’（b）虚物，右侧，一倍焦距以外，二倍焦距以内像：放大，倒立，虚像，两侧AFF’HH’BA’B’2F’2F（c）虚物，右侧，二倍焦距以外像：倒立、缩小、虚像，两侧，一倍焦距外AFF’HH’BA’B’2F’2F1、求物的位置AFF’HH’BA’B’练一练ABFF’HH’A’B’2、求像？

H1F1H1'F1´H2H2'F2´F23、求光线出射方向BAR'RH'HQQ'B'FF'A'-xx'f'-fy-y'-ll'x—以物方焦点为原点的物距。称为(焦)物距。以F为起始点，x方向与光线方向一致为正。（图中为-）x’—以像方焦点为原点的像距。称为(焦)像距。以F’为起始点，x’方向与光线方向一致为正。（图中为+）二、用解析法求像l—物方主点H为原点的物距，称为(主)物距。方向与光线方向一致为正。反之为负（图中为-）l’—像方主点H’为原点的像距，称为(主)像距。方向与光线方向一致为正。反之为负（图中为+）BAR'RH'HQQ'B'FF'A'-xx'f'-fy-y'-ll'(一)、牛顿公式由相似三角形BAF和FHR可得由相似三角形Q’H’F’和F’A’B’BAR'RH'HQQ'B'FF'A'-xx'f'-fy-y'-ll'由以上两式得：以焦点为原点的物像位置公式，通常称为牛顿公式(二)、高斯公式物像位置也可相对主点的位置来确定，相应公式推导如下：代入牛顿公式并整理：BAR'RH'HQQ'B'FF'A'-xx'f'-fy-y'-ll'两边同除得到以主点为原点的物像位置公式—高斯公式由直角三角形AMH和A’M’H’得：BAR'RH'HQQ'B'FF'A'-xx'f'-fy-y'-ll'MM'-uu'h三、物方焦距与像方焦距的关系及拉赫公式理想光学系统的拉赫公式：近轴区：tgu=u,tgu’=u’相除后得到光组f

和f’

之间的重要公式BAR'RH'HQQ'B'FF'A'-xx'f'-fy-y'-ll'MM'-uu'h对比此公式表明，光学系统的像方焦距与物方焦距之比等于相应介质折射率之比。当n=n’

时，有：-f=f’※※※牛顿公式可写成：高斯公式可以写成：四、理想光学系统的放大率1、垂轴（横向）放大率第一种表达方式：

光组焦距一定时，物在距焦点距离不同时，垂轴放大率也不同。用焦物距、焦像距与焦距的表达的关系BAR'RH'HQQ'B'FF'A'-xx'f'-fy-y'-ll'MM'-uu'h第二种表达方式：用主物距、主像距与焦距表达由牛顿公式：可以推出垂轴放大率的另一种形式：由物方焦距和像方焦距的关系公式：因此垂轴放大率的另一种形式：当光组处于同一介质中时，n=n

’,有：与单个折射球面近轴放大率公式完全相同，说明理想光组性质可以在近轴区实现。2、轴向放大率定义：物体沿光轴移动一微小距离，与像点相应移动的位移之比。1）与共轴球面系统放大率一致。2）光组位于同一介质，

3）立方体不再是立方体，失真。可导出：由牛顿公式和及3、角放大率角放大率定义：

由图：与物像位置有关AA’FF’NHH’-uu’角放大率与横向放大率之间的关系：光组某共轭面的横向放大率确定后，该共轭面的轴向、角放大率也确定了。位于同一介质中时：由将横向放大率公式代入上式并整理后可得:可得:4、三种放大率之间的关系5、节平面和节点※节点定义：角放大率γ=+1的一对共轭点即：即：u’=u物空间物方节点

J

像空间像方节点J’

HH'JJ'F'Fuu'-f

f'在节点处有γ=+1，根据角放大率公式有所以有：※以F，F’为原点。HH'JJ'F'Fuu'-f

f'性质：通过物方节点J

的入射光线，经光组后其出射光线必经过像方节点J’，且方向不变。在同一介质中，由于f’=-f,故有xj=-xj’※

即此时节点J

，J’

与主点H，H’

重合！HH'JJ'F'Fuu'HH'JJ'F'Fuu'-f

f'用途：作图FB’ABHH’A’F’已知物点A，B和像点A‘，B’及主点H和H‘，求F，F'。HH’F’F已知主点H，H’和两入射光线及其中一条出射光线，求F，F‘和另一出射光线。

平行于光轴的光线入射光组，当光组绕通过像方节点J’的轴线摆动一个角度时，像点位置(高度)不变。用来寻找光学系统的主点、节点位置。HH'JJ'A'F'HH'J'JA'F’'a用途：

测定主、节点周视摄影、节点架B'B1'A1'A'AA1B1BJ'J摄影物镜周视照相机1）被摄影对像排成圆弧；2）底片安装以像方节点J’为圆心，成一圆弧；3）摄影时镜头绕J’旋转；4）每一瞬时小范围成像。排成弧形五、光学系统的光焦度例：有二光组，f1’=-f1=50mm,

l1=-100mm

f2’=-f2=20mml2=-100mm,

物距相同，求上述两种情况下的像距用高斯公式解得：l1’=100mml2’=25mm结论：物距相同而焦距不同时，焦距短的光组对光束会聚的能力强些。空气中：意义：表示光学系统对光束会聚（或发散）的本领。f

’或f越小，Ф越大。光学系统的光焦度光焦度的单位用来表示，它是在空气中焦距为1m的光学系统的光焦度。也叫屈光度，D。例：f’=2米，Φ

＝1/f’=0.5D

f’=－200mm,

Φ

＝1/f’=－5D

f

’=－500mm200度的近视镜，光焦度为－2D，其焦距为讨论：（3）平行平板，f’为＋∞，Φ＝０，对光束不起会聚或发散作用。（1）Φ>0,(f

’>0),会聚光组，Φ愈大，汇聚本领愈大，反之亦然。（2）Φ<0,(f

’<0)，发散光组，Φ绝对值愈大，发散本领愈大，反之亦然。一、多光组成像的一般过程--若多个光组构成的系统，则有：1、光学间隔Δ：前一光组像方焦点到后一光组物方焦点之间的距离。2.2.4理想光学系统的多光组成像--2、过渡公式（现以二个光组为例）

物点A首先经光组1成像于A'1，A'1再作为光组2的物，经光组2成像为A'2。1）高斯过渡公式：已知同理，多光组过渡公式：2）牛顿过渡公式：--二、多光组系统的等效系统

在光学系统的应用中，通常将两个或两个以上的光学系统组合在一起使用。除了逐次求像外，还可把多光组组成的理想系统看作一个等效系统。那么，它的等效焦距是多少？它的等效焦点，等效主点又在什么地方？H1H’1H2H3H’2H’3F’1F2F’2F3F’3h1u’1u2-h2-u’2h3H’F’f’l’F-l’H设一条投射高度为h1的平行于光轴的光线，由图看出：K个光组组合时，有：h1

已知，求出和hk

关键问题：对于第一个光组，将高斯公式两边同乘h1有：另有：(1)得：两边同乘过渡公式所以上式可以写成：(2)H1H’1H2H3H’2H’3H’F’1F2F’2F3F’3h1-h2h3u’1u2-u’2-u3u’3F’-l’Hl’Ff’上两式写成一般形式：若要求f和lF,可将组合光组倒转180度，再按照上述方法计算。上述计算方法就称为正切计算法。则可迭代求出f’

和l’F当求多光组组合的基点位置和焦距大小时，应取初值例如：f1’=500mm，f2’=-400mm,d=300mm,用正切法求组合光组的焦距f’，组合光组的像方主平面位置H’

及像方焦点的位置l’F。H1'H1H2'H2F1'A’F2F’f1'dl’2=lF’Ld解：利用正切法进行计算：设

h1=500mm，有：u1’u’2

※

两光组间距离d

：等于H1’H2※光学间隔Δ：第一光组像方焦点与第二光组物方焦点之间的距离F1’F2。符号规定：F1’到F2，向右为正，反之为负。三、双光组组合：等效光组的物方焦点、主点,以F1为原点确定，也可用H1为原点确定。同理，像方分别用F2’和H2’确定。HQFuF1Q1Q1'H1H’1F1'F2D-f1N11R1E1'E22d22

f1'Q'H'Q2Q2'R1’N1'-f2H2H’2F2'F'-u'

f2'R2N2'

f-f’

-xF-xH-lF-lHxF’xH’lF’lH’R2’N2（一）、焦点位置公式F1’和F’相对第二光组共轭牛顿公式：其中有：HQFuF1Q1Q1'H1H’1F1'F2D-f1N11R1E1'E22d22

f1'Q'H'Q2Q2'R1’N1'-f2H2H’2F2'F'-u'

f2'R2N2N2'

f-f’

-xF-xH-lF-lHxF’xH’lF’lH’R2’N2同理，F,F2相对第一光组共轭其中由牛顿公式：有：等效光组的物方焦点相对于一光组物方主点位置：等效光组的像方焦点相对于二光组像方主点位置：HQFuF1Q1Q1'H1H’1F1'F2D-f1N11R1E1'E22d22

f1'Q'H'Q2Q2'R1’N1'-f2H2H’2F2'F'-u'

f2'R2N2N2'

f-f’

-xF-xH-lF-lHxF’xH’lF’lH’R2’N2（二）、焦距公式∵⊿Q’H’F’～⊿N2’H2’F2’⊿Q1’H1’F1’～⊿F1’F2E2H’2N’2=F2E2由Q’H’=Q’1H’1有：所以：HQFuF1Q1Q1'H1H’1F1'F2D-f1N11R1E1'E22d22

f1'Q'H'Q2Q2'R1’N1'-f2H2H’2F2'F'-u'

f2'R2N2N2'

f-f’

-xF-xH-lF-lHxF’xH’lF’lH’R2’N2同理，∵⊿QHF～⊿F1H1N1有：所以：由QH=Q2H2H1N1=F’1E’1HQFuF1Q1Q1'H1H’1F1'F2D-f1N11R1E1'E22d22

f1'Q'H'Q2Q2'R1’N1'-f2H2H’2F2'F'-u'

f2'R2N2N2'

f-f’

-xF-xH-lF-lHxF’xH’lF’lH’R2’N2⊿Q2H2F2～⊿F1’E1’F2代入焦距公式由：用光焦度表示：同一介质中：可写成：对于密接薄透镜组，d=0，则（三）、主点位置的确定HQFuF1Q1Q1'H1H’1F1'F2D-f1N11R1E1'E22d22

f1'Q'H'Q2Q2'R1’N1'-f2H2H’2F2'F'-u'

f2'R2N2N2'

f-f’

-xF-xH-lF-lHxF’xH’lF’lH’R2’N2四、双光组组合应用实例长焦距的摄远物镜通常由两个分离的正负光组组成，Ld为由物镜第一面顶点到系统像方焦点之间的距离。例如：f1’=500mm，f2’=-400mm,d=300mm,求组合光组的焦距f’，组合光组的像方主平面位置H’

及像方焦点的位置l’F。（一）摄远系统H1'H1H2'H2F1'A’F2F’f1'd=300l’2=lF’=400LdH'f’=1000解：由解得：f

’=1000mm由解得：l’F=400mm可以得出，H’在第一个光组左方300mm处。

显然此组合光组的焦距f

’大于镜头筒长Ld，此类组合光组通常称为摄远物镜，也称为远摄型光组。某些对有限远物体成像的物镜，若要求物方工作距（即物距l1）较长，也常用这种结构形式，这类物镜称为长工作距物镜。如大地测量仪器，长焦镜头（二）反远距系统某些对无限远物体成像的望远物镜，若要求其像方工作距（即像距lF’）较大，可将物镜前组变为负光组，后组变为正光组，可以使像方主平面H’

向右移，在短焦距的要求下获得大的工作距lF’。如投影仪，电影拍摄中使用的短焦距物镜（三）望远系统H1H’1H2H’2•F’1,F2f’1-f2望远系统两个分光组主面之间间隔较大，焦距不等，且前光组焦距大于后光组焦距。靠近物体的称为物镜，靠近眼睛的称为目镜。两个分光组之间的光学间隔Δ=0，组合焦距无限大，平行光入射，平行光出射玻罗板放置在物镜物方焦平面上，玻罗板上的多组标准线对将成像于待测透镜的像方焦平面上。设平行光管物镜的焦距为-f,待测透镜的焦距为fx’玻罗板某线对的实际间距为y，线对在透镜焦平面上对应的像的间距为yx’

-f-yx’yfx’玻罗板平行光管物镜待测透镜ww’w=w’（四）放大率法测量焦距2.2.5实际光学系统一、单折射球面的基点和基面球面的主点位置

在近轴区，单个折射球面成完善像，可以看成理想光组，也具有基点、基面。实际光学系统是多个单折射面组合的结果，可用正切法进行分析。设物点为H，则像点为H’，主平面上，β≡1，因此对于单个折射球面而言，H，H’和O

相重合，而且物方主平面和像方主平面与球面顶点O相切。l’

=l=0

球面焦距公式

在主点已知的情况下，只要求得单个折射面的焦距即可确定相应焦点和焦平面的位置。当物点位于物方焦点时，有：

l=f,l’=∞代入公式可得单个折射球面的物方焦距：以H

为原点，即可确定物方焦点F和物方焦平面的位置同理，求得像方焦距为：对于单反射球面，有n’=-n。可以得出：二、透镜

透镜有两个折射面，每一个折射面可以看成是一个理想光组，则单个透镜就是两个光组的组合。HFF1O1F'1F2O2n1=1n'1=n2=nn'2=1H1H'1H2H'2F'2F'H'-f1f'2

f-lFf'1D-f2l'F-f'-lHdl'H由上图可知

实际光学系统常由透镜组组成。透镜的焦距及基点位置是光学设计的基础。可得透镜两个折射面的焦距为：1.透镜的焦距公式：根据单个折射球面的成像公式：用光焦度表示:其中：2.透镜主点（面）和焦点（面）的位置将前面得到的焦距和光学间隔公式代入主点位置公式并整理，得到透镜主点位置公式。代入焦点位置公式，可得到透镜焦点位置公式。透镜位于同一介质中，因此节点与主点重合。3.各种透镜基点（面）位置分析（1）双凸透镜这种透镜的r1>0，r2<0。由透镜焦距公式可知：当r1，r2固定后随着厚度d不同，焦距可正可负。当时即主平面在透镜内，是一会聚透镜。FHH'-ff'F'即d增大到时当：主平面在无穷远，透镜成一望远系统。F2F'1O1O2当：即d增大到时双凸透镜成一发散光组。-f'fFH'HO2O1F'F2F'1（2）平凸透镜这种透镜的r1>0，r2＝∞。f分子、分母同除r2，有：当r2＝∞时，上式可以写成：将此式代入主点位置公式得：

平凸透镜恒为正透镜，其焦距与厚度无关。两个主平面一个与球面顶点相切，另一个位于透镜内部。H'FH-fF'f'（3）正弯月形透镜-fFHH'F'f'（4）双凹透镜H'FH-f'F'f（5）平凹透镜-f'FHH'F'f（6）负弯月形透镜-f'F'H'HFf三、薄透镜当d<<f或r透镜焦距公式中(n–1)d可以略去。此时d≈0，称为薄透镜上面公式变为：当d=0，得：结论：两个主面与各个球面顶点重合，而且两主面也彼此重合。薄透镜的性质仅由焦距决定。薄透镜图示：FF’FF’FF’HH’J’JABB’A’正透镜负透镜平面反射镜平面反射元件屈光系统：包括共轴球面系统和非球面系统折射棱镜平面系统平面折射元件光学系统光楔平行平板反射棱镜2.3平面光学系统平面镜棱镜在光学仪器中的作用共轴球面系统所有透镜表面的球心必须排列在同一条直线上,往往不能满足很多实际的需要。H1H’1H2H’2•F’1,F2f’1-f2望远镜原始军用观察望远镜可大大地缩小仪器的体积和重量。

目前的军用观察望远镜根据实际使用要求，很多仪器中需要改变共轴系统光轴的位置和方向。平面镜棱镜在光学仪器中的作用(1)将共轴系统折叠以缩小仪器的体积和减轻仪器的重量；

(2)改变像的方向——起倒像使用；

(3)改变共轴系统中光轴的位置和方向——即形成潜望高或使光轴转一定的角度；

(4)利用平面镜或棱镜的旋转，可连续改变系统光轴的方向，以扩大观察范围。

(5)利用平面镜转动作用扩大仪器的放大率

(6)实现分光、合像和微位移一、单平面镜的成像特性APOQBA’实物成虚像

2.3.1平面镜成像APQA’虚物成实像①具有折转光路的作用，是唯一能成完善像的光学元件PQx

y

zy'x'z'采用右手坐标法则OO’如果物体为右手坐标系，其像却是左手坐标系，这种的像，叫做“镜像”或“非一致像”。如果物体为右手坐标系，而像仍为右手坐标系，则这样的像称为“一致像”。③奇数次反射成镜像，偶数次反射成一致像。②β=1,物像虚实相反,具有对称性。P'Q'PQOANN'A'A"αα2α∠A’OA”=2∠POP’当入射光线方向不变而使平面镜转动α角时，反射光线的方向改变了2α角。④平面镜旋转具有角放大作用平面镜旋转特性的应用：测量微小角度或位移h应用：光点式灵敏电流计红外系统的光机扫描元件光较仪

平面镜的平移效应QPA’ABA”h2hA′A″=2h综上所述，单个平面镜的成像特性可归纳为：②β=1,物像虚实相反,具有对称性，故不影响光学系统放大率和成像清晰度。①具有折转光路的作用，是唯一能成完善像的光学元件③奇数次反射成镜像，偶数次反射成一致像。④平面镜旋转和平移具有“光放大”作用一致像二、双平面镜的成像特性PPP1O1A2'O2qAA1'(A2)A2’可看作PA绕P点转动2θ角，旋转方向是反射面按反射次序由P1转向P2方向∠APA2’=

2θO2O1qqbPPPAMNI1I1I2I2β≤90β=2θβ角与I角的大小无关，只取决于两平面镜夹角的大小θ

当双平面镜绕P点转动时，只要保持θ角和入射光线方向不变，出射光线方向始终不会改变。五角棱镜应用：转折光路出射光线的方向不变，但光线位置要产生平行位移。双平面反射镜的成像特性可归纳为：①二次反射像的坐标系统与原物坐标系统相同，成一致像。②位于主截面内的光线，不论其入射方向如何，出射线的转角永远等于两平面镜夹角的二倍，其转向与光线在反射面的反射次序所形成的转向一致。2.

3.2平行平板定义：平行平板是由二个相互平行的折射平面构成的光学元件，如分划板、微调平板、补偿板、滤光镜、保护玻璃等。一、成像特性光线经平行平板后方向不变，平行平板是无焦元件。光线经平行平板后，产生侧向位移△T和轴向位移△L’：①△L’与n，d有关；光线移动的距离随入射角，平板厚度和折射率的不同而不同③当i1很小（法线方向一致），则因此，平行平板在近轴区以细光束成像近似成完善像。②△L’与入射角I1（即孔径角U1）有关，即轴上点发出不同孔径的光线经平板后与光轴的交点不同。平行平板不能成完善像。平行平板的厚度d愈大，成像不完善程度也愈大。称为平行平板的高斯位移。光路设计中，先不考虑平行平板，得到光路长度后，再加上即得实际光路长度。二、等效空气平板

将平行玻璃平板简化为一个等效空气平板，其厚度光线传输中遇到平行平板传播方向不变，但要确定光线经任意处的高度复杂了。已知光线从透镜出射时高度为h1，角度u1，求经过平板后与下一面交点h2。方法一：方法二：