幂法和反幂法求矩阵特征值课程设计

20/20题目幂法和反幂法求矩阵特征值课程设计具体内容随机产生一对称矩阵，对不同的原点位移和初值(至少取３个)分别使用幂法求计算矩阵的主特征值及主特征向量,用反幂法求计算矩阵的按模最小特征值及特征向量,并比较不同的原点位移和初值说明收敛。要求1。认真读题，了解问题的数学原形；２．选择合适问题求解的数值计算方法;3.设计程序并进行计算；4。对结果进行解释说明；采用方法及结果说明对于幂法和反幂法求解矩阵特征值和特征向量的问题将从问题分析，算法设计和流程图，理论依据，程序及结果进行阐述该问题。一．问题的分析:求n阶方阵A的特征值和特征向量,是实际计算中常常碰到的问题,如:机械、结构或电磁振动中的固有值问题等。对于ｎ阶矩阵Ａ，若存在数和n维向量ｘ满足Ax=ｘ(1)则称为矩阵A的特征值,x为相应的特征向量。由高等代数知识可知,特征值是代数方程｜Ｉ-A｜=+a+…+a+ａ=０（２)的根。从表面上看，矩阵特征值与特征向量的求解问题似乎很简单，只需求解方程（2）的根，就能得到特征值,再解齐次方程组（Ｉ－A)x=0（3）的解，就可得到相应的特征向量。上述方法对于ｎ很小时是可以的。但当ｎ稍大时,计算工作量将以惊人的速度增大，并且由于计算带有误差，方程(2）未必是精确的特征方程，自然就不必说求解方程(2)与(3)的困难了.幂法是一种计算矩阵主特征值(矩阵按模最大的特征值)及对应特征向量的迭代方法,特别是用于大型稀疏矩阵。反幂法是计算海森伯格阵或三角阵的对应一个给定近似特征值的特征向量的有效方法之一。二。算法设计及流程图1、幂法算法（１）取初始向量u（例如取ｕ=(１,１,…1）)，置精度要求,置ｋ=1．(2)计算ｖ=Ａu,m＝ｍaｘ(ｖ)，u=v／m(3）若｜ｍ=m｜〈，则停止计算（ｍ作为绝对值最大特征值，u作为相应的特征向量）否则置k=ｋ+1，转（2)2、反幂法算法（１）取初始向量u(例如取u=(１，1,…1）)，置精度要求，置k＝1.(2）对A作LU分解，即A=LU（3）解线性方程组Ｌy=ｕ,Ｕv=y（4)计算m=ｍａx（ｖ)，u＝v／ｍ（5）若｜ｍ=ｍ|<,则停止计算（1/ｍ作为绝对值最小特征值，u作为相应的特征向量）；否则置k=k+1，转（３）。幂法流程图：开始开始输入A；[m,u,index]=pow(A,1e-6)k=0;m1=0v=A*u[vmax,i]=max(abs(v))m=v(i);u=v/mabs(m-m1)<1e-6index=1;break;输出：m，u，index结束m1=m;k=k+1反幂法流程图开始开始输入A；[m,u,index]=pow_inv(A,1e-6)k=0;m1=0v=invA*u[vmax,i]=max(abs(v))m=v(i);u=v/mabs(m-m1)<1e-6index=1;break;输出：m，u，index结束m1=m;k=k+1输入A；[m,u,index]=pow(A,1e-6)三、算法的理论依据及其推导(一)幂法算法的理论依据及推导幂法是用来确定矩阵的主特征值的一种迭代方法，也即,绝对值最大的特征值.稍微修改该方法,也可以用来确定其他特征值。幂法的一个很有用的特性是它不仅可以生成特征值，而且可以生成相应的特征向量。实际上，幂法经常用来求通过其他方法确定的特征值的特征向量。１、幂法的迭代格式与收敛性质设n阶矩阵Ａ的特征值，,…，是按绝对值大小编号的，ｘ（ｉ=1,2，…,n)为对应的特征向量,且为单根，即｜｜>｜｜≥…≥｜｜则计算最大特征值与特征向量的迭代格式为v=Au，m＝max（ｖ)，ｕ=v／m(1)其中max(v）表示向量v绝对值的最大分量.2、对于幂法的定理按式（1）计算出m和ｕ满足m＝,u＝(二)反幂法算法的理论依据及推导反幂法是用来计算绝对值最小的特征值忽然相应的特征向量的方法。是对幂法的修改,可以给出更快的收敛性.１、反幂法的迭代格式与收敛性质设Ａ是非奇异矩阵，则零不是特征值，并设特征值为｜|≥｜｜≥…≥｜｜>｜｜则按A的特征值绝对值的大小排序,有|｜>｜｜≥…≥｜|对Ａ实行幂法，就可得Ａ的绝对值最大的特征值1／和相应的特征向量,即A的绝对值最小的特征值和相应的特征向量。由于用A代替A作幂法计算，因此该方法称为反幂法,反幂法的迭代格式为v=Au,m=mａx(ｖ),u=ｖ/m(2)2、对于反幂法的定理按式(2）计算出的ｍ和u满足：m＝，u=在式(2)中，需要用到Ａ，这给计算带来很大的不方便，因此,把(2）式的第一式改为求解线性方程组Ａv=u(3)但由于在反幂法中，每一步迭代都需求解线性方程组（３)式,迭代做了大量的重复计算,为了节省工作量，可事先把矩阵Ａ作LU分解,即A=LU所以线性方程组（3）改为Ly=ｕ,Uv=y四、算法程序设计代码幂法程序，在matlab中建立一个M文件并保存.％ｐｏｗ。mfunctioｎ［m,u,ｉndex，k］=pow(A，u，ｅp，iｔ＿max）ｉfｎａｒｇin<4it＿maｘ＝1000；ｅndifnarｇｉn<３ｅp＝1e-5;eｎdｎ=lengtｈ(A）；indｅｘ=０;k=0;ｍ１＝0；m0=0;I＝eyｅ(n）；T=A-m0＊I;whｉlek＜=ｉt_maxv＝T＊u；[vｍａｘ,i］=max(abｓ（v））；m=v(i)；u=ｖ／m;ifaｂs（ｍ—m1）<ep;index＝1；break；eｎdm=m+m0；m1=m；k＝k+１;end在matlａb输入面板，输入A=rand(4)；％产生一个4维随机矩阵Ｂ=A＋A'；ｕ＝［１111］’；%设立初始向量[ｍ,ｕ,ｉｎｄeｘ，ｋ]=pow（Ｂ，u，eｐ，ｉt_ｍａx)％最多可省略２个参数程序结束.在M文件中可以通过改变m０的值改变原点位移,从而达到原点位移加速。反幂法程序设计代码:在maｔｌａb中建立一个M文件并保存.％ｐoｗ＿inv.mfunctioｎ［ｍ，ｕ,index,k］=poｗ_inｖ（A,u,ep，iｔ_max)ｉfnargiｎ<4iｔ_ｍaｘ=１０00；ｅndifnaｒgin〈3ep=1ｅ-5；eｎdn＝leｎgth(A）;indｅx＝０;ｋ=0;m1=0；ｍ0=0；I=eｙｅ（n）；T=Ａ-m0＊I；invT=ｉnv(T）；ｗhilek〈＝ｉt_maxv＝iｎｖT＊u；［vｍaｘ，i］=ｍax（aｂs(v));m＝v（i）;u=v/ｍ；ifabｓ(m－m1）<epiｎdex=１；breａk;endｍ1=m；ｋ＝k+1；ｅndｍ=1/m；m=m＋m0；在ｍａtlaｂ输入面板，输入A=rａnd(4)；％产生一个４维随机矩阵B=A+Ａ’；ｕ=[1111]';％设立初始向量［m,u，ｉndｅx，k］＝pｏw_inv（Ｂ,u，eｐ，it_maｘ）％最多可省略2个参数程序结束.在Ｍ文件中可以通过改变m0的值改变原点位移，从而达到原点位移加速。【结果显示】％在M0＝1e-4〉>B=rａｎｄ(４)；〉〉A=B+B'A=0。26７50。5７76０.6３441.３１300。5776１。１５030。764１0.13670。6３4４０。７64１０.0257０。41９31.31300。13670．41931。2248＞〉u=［1１11］’;〉>［m，ｕ,inｄｅx,k］=pow(A，u）m=2。６８1３u=0。８５７60．69340。５623１.０0０0index＝１k=49修改Ｍ0=1ｅ—3m=2.681４u=0。８57６0。6934０.56２31.0000ｉndex=0ｋ＝10０1修改M0＝0％此时为幂法ｍ=2.６815u=0．85760．69３50．５6２31．000０index＝1k=１0修改U=［1234］修改M0=１e－４m＝2.6813u=０．857６0．６9340.5623１。0000index=1k＝9修改M0=１e－3m=2。6８0５ｕ＝0。８576０。69３４0.5６221。0000ｉｎdex＝１ｋ=7修改M0=0m=２．6814u=0.8５７60。６9３４0.5623１.0000ｉndex＝1ｋ=9修改Ｕ=[356７］修改Ｍ0=1ｅ-4ｍ＝２．6８１9ｕ=０．８５770。６9３70．56241.00０0index=1k=７修改M0=1e—3m＝2.6814u=0。8５７60.６9340。56231。0０00iｎdex＝０ｋ=10０１修改M0＝0m=2。6８２0u=０。８５770。69３70。5６2４1．0000inｄeｘ＝１ｋ=7总结以上，幂法如下：Um０muｉndexk[1１11]0.0０012．6８１3[0。8５7６0．６９34０．５6231.000０］1490．0012．681４［0。5８760.69340．5623１.000０]0１００102.68１5［０。85７60．6９3５0.５6231．0０00]110[1234］０。0０012.6813［０．85760.6９340。５６２31。00００］19０。00１２.680５[0。85７60。69340．56２21。000０]170２.6８14［０．85760．69３40.56２31。0000］1９［3５6７］0。0０0１2。6819［0。85７70。69３７0．56241.0０0０］１７0．00１2。691４［０.８57６0。69340.５6231．0000］010０102.692[0．8５7７0。69３7０.56２41。00０0]17反幂法结果显示：在ｍ0为0时M0=０.0０1U=［1１１1]M0＝0．1u=［1111］M0＝０ｕ＝［135７]Ｍ0=0。１u＝[1357]Ｍ0=0。５ｕ=[13５7]Ｍ0＝0u=[２34５]Ｍ０＝０。１u＝[2345]M0=０．7u=[23４5]综上，反幂法结果如下：um0ｍuｉnｄｅxk［1111]0．１0.3847［－0。899６1.00000。2７２6—0．2３６4］1150.001０．38４7［—0.8９961．０000０．2７2６-0.２36４]116０0。384７[-0.89961.00000．２7２6－０。２３64］116［1357］0．50。384７[－0。８9951。00000.２７26—0．2364］１270。1０。38４7［－0.899６1。０0000。27２６—0。２364]11７0０。3847［—0．89９61.000０0。2726-0。23６4］120［2345］0。70．709１［—0。69６2-0。44９70。