实验八弧长曲线积分

实验八对弧长的曲线积分及其MATLAB计算一、实验目的学习高等数学中有关对弧长的曲线积分的定义和计算方法，掌握利用MATLAB软件进行曲线积分的计算。二、相关知识曲线积分是工程计算中需要用到的一个重要内容，典型的用途可以是曲线形构件质量的计算，重心、转动惯量的计算，曲线长度的计算等等。例1计算曲线形构件质量。在设计曲线形构件时，为了合理使用材料，应该根据构件各部分的受力情况，把构件上各点处的粗细设计得不完全一样。因此，可以认为这个构件的线密度（单位长度的质量）是变量。假设这构件所处的位置在xOy面内的一段曲线弧L上，它的端点是A，B，在L上任一点(x,y)处，它的线密度为现在要计算这构件的质量m。二、相关知识如果构件的线密度为常量，那么这构件的质量就等于它的线密度与长度的乘积。但现在构件上各点处的线密度是变量，就不能直接用上述方法来计算。为了解决这个问题，我们将曲线L分成若干个小段，即用L上的点把分成若干个小段，取其中一小段构件来分析，在线密度连续的前提下，只要这小段很短，就可以用这小段上任意一点处的线密度来代替这小段上其他各点处的线密度，从而得到这小段构件的质量的近似值为：二、相关知识其中表示的长度，于是整个曲线构件的质量为

用λ表示n个小弧段的最大长度。为了计算m的精确值，取上式右端的和式当时的极限，从而得到这种形式的极限，我们在研究其他问题时也会遇到，为了一般地研究这类问题，我们给出这样一类和式极限的定义。图8.1二、相关知识定义：设L为xOy平面内的一条光滑曲线弧，函数在L上有界，在L上任意插入一系列的点，则这些点把L分成n个小段。设第i个小段的长度为，又为第i个小段上任意取定的一点，作乘积，并作和，如果当各小弧段的长度的最大值时，这和的极限总存在，则称此极限为函数在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分，记作，即其中叫做被积函数，L叫做积分弧段。二、相关知识根据对弧长的曲线积分的定义可知，这种积分有以下性质：性质1

设α，β为常数，则性质2

若积分弧段L可分成两段光滑曲线弧段L1和L2，则有性质3

设L在上，则特别地有：二、相关知识在这个定义的基础上，我们给出如下的计算方法：设在曲线弧上有定义且连续，L的参数方程为

()其中、在上具有一阶连续导数，且，则曲线积分存在，且

根据这个公式，我们把一个计算曲线积分的问题转化成了一个计算定积分的问题，从而就可以利用MATLAB的函数int来计算积分。二、相关知识如果曲线弧L的方程由方程给出，则可以看成是特殊的参数方程

()的情形，这时公式成为：

()类似地，如果曲线弧L的方程由方程给出，则可以看成是特殊的参数方程

()的情形，这时公式成为：

()二、相关知识同时，这个计算公式可以推广到空间曲线弧Γ由参数方程

()

给出的情形，这时有：

()我们通过具体的例子来说明曲线积分的计算。

二、相关知识例1计算，其中L是抛物线上点O(0,0)与点B(1,1)之间的一段弧，图8.2。解：由于L的方程给出，因此可以将x看成参数，因此得到：

=这时就可以用MATLAB程序：clearsymsxI=int(x*sqrt(1+4*x*x),x,0,1)结果为：5/12*5^(1/2)-1/12

图8.2二、相关知识例2计算半径为R、中心角为2α的圆弧L对于它的对称轴的转动惯量J(设线密度μ=1)解：取坐标系如图8.3，则为了便于计算，利用L的参数方程

()于是

图8.3二、相关知识利用MATLAB软件，编写程序clearsymssitaR=1alfa=1.2J=R^3*int(sin(sita)*sin(sita),sita,-alfa,alfa)其结果为：-cos(6/5)*sin(6/5)+6/5二、相关知识例3计算曲线积分，其中Γ为螺旋线，，相应于t从0到2π的一段弧。解：二、相关知识利用MATLAB软件，编写程序clearsymsta=1K=1J=int((a^2+k^2*t^2)*sqrt(a^2+k^2),0,2*pi)其结果为：8/3*2^(1/2)*pi^3+2*2^(1/2)*pi二、相关知识例4求，其中L是由直线x=0，y=0，x=4和y=2所构成的矩形回路。解：根据性质2，积分可以分为4个部分I1，I2，I3，I4，分别为被积函数在曲线弧段L1，L2，L3，L4上的积分。即：则显然有：二、相关知识到这里，我们就可以应用MATLAB了，编制程序如下：clearsymsxyI3=int(4*y*exp(4*y),y,0,2)I4=int(2*x*exp(2*x),x,0,4)I=I3+I4其结果为：21/4*exp(8)+3/4三、实验内容1．计算曲线积分，其中C是的一段。2．计算曲线积分，其中L为摆线的一拱，；3．计算曲线积分，其中L为螺线，；4．计算曲线积分，其中L是圆周；提示：先将圆周的方程化为参数方程。Clear？？？symsxyI3=int(4*y*exp(4*y),y,0,2)I4=int(2*x*exp(2*x),x,0,4)