自动控制原理第2章课件

第2章控制系统的数学模型

自动控制系统的组成可以是电气的，机械的，液压的，气动的等等，然而描述这些系统的数学模型却可以是相同的。因此，通过数学模型来研究自动控制系统，就摆脱了各种类型系统的外部关系而抓住这些系统的共同运动规律，控制系统的数学模型是通过物理学，化学，生物学等定律来描述的，如机械系统的牛顿定律，电气系统的克希霍夫定律等都是用来描述系统模型的基本定律。如果描述系统的数学模型是线性的微分方程，则该系统为线性系统，若方程中的系数是常数，则称其为线性定常系统。数学模型可以是标量方程和向量的状态方程。控制系统数学模型的概念1.定义：根据系统运动过程的物理、化学等规律，所写出的描述系统运动规律、特性和输出与输入关系的数学表达式（描述系统输入、输出以及内部各变量之间关系的数学表达式）。2.建立数学模型的方法：系统建模有两大类方法:一类是机理分析建模方法，称为解析法，另一类是实验建模方法，通常称为系统辨识。

解析法（机理分析法）根据系统工作所依据的物理定律列写运动方程。实验法（系统辨识法）给系统施加某种测试信号，记录输出响应，并用适当的数学模型去逼近系统的输入输出特性。

3.数学模型的类型

1)静态模型与动态模型

描述系统静态（工作状态不变或慢变过程）特性的模型，称为静态数学模型。

静态数学模型一般是以代数方程表示的。

描述系统动态或瞬态特性的模型，称为动态数学模型。动态数学模型中的变量依赖于时间，一般是微分方程等形式。

2)连续时间模型与离散时间模型

连续数学模型有微分方程、传递函数、状态空间表达式等。

离散数学模型有差分方程、Z传递函数、离散状态空间表达式等。

3)参数模型与非参数模型

从描述方式上看，数学模型分为参数模型和非参数模型两大类。

参数模型是用数学表达式表示的数学模型，如传递函数、差分方程、状态方程等。非参数模型是直接或间接从物理系统的试验分析中得到的响应曲线表示的数学模型，如脉冲响应、阶跃响应、频率特性曲线等。

时域中常用的数学模型有微分方程、差分方程和状态方程；复域中有传递函数和结构图；频域中有频率特性。

数学模型虽然有不同的表示形式，但它们之间可以互相转换，可以由一种形式的模型转换为另一种形式的模型。本章中只研究微分方程、传递函数和结构图等数学模型的建立及应用。2-1傅里叶变换与拉普拉斯变换2.2.1线性部件、线性系统微分方程的建立2-2控制系统的时域数学模型用解析法列写微分方程的一般步骤：（1）根据系统的具体工作情况，确定系统或元部件的输入、输出变量；（2）从输入端开始，按照信号的传递顺序，依据各变量所遵循的定律，列写出各部件的动态方程，一般为微分方程组；（3）消去中间变量，写出输入、输出变量的微分方程；（4）将微分方程标准化，即将与输入有关的各项方在等号右侧，与输出有关的各项放在等号左侧，并按降幂排列。例2.1R-L-C无源网络如图所示，写出输入电压ur输出电压uc之间的微分方程。解：根据克希霍夫定律可以写出

电容上的电压回路中电流（2-1）代入式2-1得（2-2）令将式（2-2）整理成标准形式为若令整理成另一种标准形式为例2.2设一弹簧、质量块、阻尼器组成的系统如图所示，当外力F(t)作用于系统时，系统将产生运动。试写出外力F(t)与质量块的位移y(t)之间的微分方程。kF(t)mfy(t)图2.2解：若弹簧恢复力F2(t)和阻尼器阻力F1(t)与外力F(t)不能平衡，则质量块将产生加速运动，其速度和位移发生变化。根据牛顿定理有:式中f—阻尼系数,k—弹性系数由以上所列方程中消去中间变量：kF(t)mfy(t)例2.3：试建立弹簧—阻尼器系统的微分方程。图2.3例2.4图中L、R分别为电枢回路的总电感和总电阻。假设励磁电流恒定不变，试建立在作用下电动机转轴的运动方程。解在电枢控制情况下，激磁不变。取ua为给定输入量，为输出量，Mc为扰动量。为便于建立方程，引入中间变量ea、ia和M。ea为电动机旋转时电枢两端的反电势（V），ia为电枢电流（A），M为电动机旋转时的电磁力矩（N·m）。列写数学关系式如下（1）电动机电枢回路的电势平衡方程为（2）电动机的反电势方程为（3）电动机的电磁转矩方程为（4）电动机轴上的动力学方程为消去中间变量Ea、ia和Mm，得

电感La较小，故电磁时间常数Ta可以忽略，则例2.5试建立如图2.4所示系统的微分方程。解：根据克希霍夫电压定律，可写出下列方程组消去中间变量后得到控制系统微分方程的建立应注意：a.应注意信号传递的单向性，即前一个元件的输出是后一个元件的输入，一级一级地单向传送；b.应注意前后连接两个元件中，后级对前级的负载效应（例如：无源网络输入阻抗对前级的影响，齿轮系对电动机转动惯量的影响）。2.2.2非线性系统微分方程的线性化

非线性元件微分方程的线性化方法有：切线法或小偏差法。适合于具有连续变化的非线性特性函数，其实质是在一个很小的范围内，将非线性特性用一段直线来代替。设连续变化的非线性函数为y＝f（x），取某平衡状态A为工作点，对应有y0＝f（x0）当x＝x0＋△x时有y＝y0＋△y，设函数y＝f（x）在（x0，y0）点连续可微，则将它在该点附近用台劳级数展开为当x－x0很小时，略去高次幂项有：

令△y＝y－y0，△x＝x－x0，则△y＝k△x，略去增量符号，得y＝f（x）在工作点A附近的线性化方程为y＝kx。注意：1.非线性方程必为连续。原因：断续的方程不能用台劳级数展开，因此不能采用此方法。这类非线性称为本质非线性。2.K值与工作点的位置有关,随静态工作点而变。3.考虑增量ΔX较小，实际运行情况是在某个平衡点附近，且变量只能在小范围内变化。②两个自变量：y=f(x1，x2)静态工作点：y0=f(x10，x20)在y0=f(x10，x20)附近展开成泰勒级数，即函数变化与自变量变化成线性比例关系。例题2-14解:在h0处泰勒展开，取一次近似2-3控制系统的复域数学模型传递函数是在拉氏变换基础上的复域中的数学模型。※传递函数不仅可以表征系统的动态特性，而且可以用来研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响。2.3.1拉氏变换相关知识2.3.2传递函数的定义

线性定常系统在零初始条件下，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比，称为该系统的传递函数。若线性定常系统的微分方程为在初始条件为零时，对上式进行拉氏变换，得描述该线性定常系统的传递函数为例2.7试求例2.1R-L-C无源网络的传递函数。解：由前例可知，R-L-C无源网络的微分方程为在零初始条件下，对上式两端取拉氏变换并整理可得网络传递函数为：2.3.3传递函数的性质1.传递函数表示系统传递输入信号的能力，反映系统本身的动态特性，它只与系统的结构和参数有关，与输入信号形式无关。

2.由于能源的限制和实际系统或元件总是具有惯性的缘故，其输出量不可能无限制上升，因而有：传递函数是复变量s的有理分式函数，其分子多项式的次数m低于或等于分母多项式的次数n，即m≤n。且系数均为实数。

3.传递函数表征系统或元件本身的特性，而与输入信号无关，但它不能反映系统或元件的物理结构。也就是说，对于许多物理性质截然不同的系统或元件，它们可以有相同形式的传递函数。

4.传递函数的定义只适用于线性定常系统。5.传递函数与微分方程有直接联系。6.传递函数的拉氏反变换即为系统的脉冲响应，因此传递函数能反映系统的运动特性。

所以有

脉冲响应是系统在单位脉冲输入时的输出响应。因为单位脉冲函数的拉氏变换式为1，常把传递函数分解为一次因式的乘积式中：K称为传递函数的增益或传递系数（放大系数）。zj(j=1.2.…m)为分子多项式的根，称为传递函数的零点。Pi(1.2.…n)为分母多项式的根，称为传递函数的极点。传递函数的分母多项式就是相应微分方程式的特征多项式，令该分母多项式等于零，就可得到相应微分方程的特征方程。2.3.4常用控制元件的传递函数学习要求：阅读教材，理解原理，看懂例题2.3.5典型环节的传递函数比例环节的输出量能够既不失真又不延迟地反映输入量的变化。比例环节的传递函数为比例环节又称放大环节。其数学方程为1.比例环节r(t)c(t)c(t)/r(t)2.惯性环节（非周期环节）输入、输出间的微分方程为注：1）惯性环节的输出量不能立即跟随输入量的变化，存在时间上延迟，T愈大惯性愈大，延迟时间也愈长，时间常数T表征了该环节的惯性。

2）在单位阶跃输入时惯性环节的输出量是按指数函数变化的。当t=3T～4T时，输出才能接近其稳态值。0tr(t)/c(t)3.积分环节积分环节的微分方程是积分环节的输出量是与其输入量的积分成比例的。由积分环节的微分方程求得其单位阶跃响应为c(t)=Kt单位阶跃响应的斜率为K，如右图所示。式中K=1/T---积分环节的放大系数，T---积分时间常数。tr(t)0c(t)c(t)/r(t)4.微分环节理想微分环节的微分方程为T为微分时间常数。理想微分环节的单位阶跃响应为这是一个强度为T的理想脉冲。在实际物理系统中得不到这种理想微分环节。5.振荡环节振荡环节的微分方程是当输入为单位阶跃函数时，可用拉氏反变换求得环节的输出响应，如右图所示。c(t)10t式中T--时间常数，--阻尼比，对振荡环节有0≤<16.纯滞后环节数学表达式为

式中为纯滞后时间。当输入信号为下图(a)所示的单位阶跃函数时，其响应曲线如下图(b)所示。r(t)1t0(a)tc(t)10(b)轧钢机延迟环节的例子2.3.6控制系统的传递函数解：根据电路的基本定理可以得到如下的关系式例2.8设下图所示电路中，输入电压为ur,输出电压为u0，试写出其传递函数。uru0C1i2R1i1iR2C2在零初始条件下，对上式进行拉氏变换，得消去中间变量，得到输入、输出的微分方程式由此得出该电路的传递函数为

在上述计算过程中，如果先对所列写的微分方程组作拉氏变换，再消去中间变量，可简化计算。在零初始条件下，对方程组取拉氏变换，得到消去中间变量可得)(1)()()()()()]()([)()]()([1)(22021012011sIscsIRsUsIsIsIsUsUscsIsUsURsIrr+=+=-=-=2.4控制系统的结构图

控制系统的结构图是描述系统各组成元部件之间信号传递关系的数学图形，它表示系统中各变量所进行的数学运算和输入、输出之间的因果关系。2.4.1结构图的组成

把各环节或元件的传递函数填在系统原理方块图的方块中，并把相应的输入、输出信号分别以拉氏变换来表示，就可以得到传递函数方块图。（信号之间的数学物理关系，系统的动态结构）

信号线：带有箭头的直线，箭头表示信号的传递方向，且信号只能单向传输。

方框：即一个元件或环节的传递函数方块图，该方块可以对信号进行数学变换，其变换关系为

Xc(s)=G(s)Xr(s)G(s)xr(s)xc(s)方块单元

信号比较点：表示两个或多个信号在此代数相加。信号比较点的运算关系为xr2xr1(s)xr3(s)xc(s)±±±信号引出点：表示信号引出或测量的位置。从同一位置引出的信号在数值和性质上完全相同。x(s)x(s)2.4.2结构图的画法绘制系统结构图的步骤如下：1.列写出系统各元件的微分方程。在建立方程时应分清各元件的输入量、输出量，同时应考虑相邻元部件之间是否有负载效应。2.在零初始条件下，对各微分方程进行拉氏变换，并将变换式写成标准形式。3.由标准变换式利用结构图的四个基本单元，分别画出各元部件的结构图。4.按照系统中信号的传递顺序，依次将各元部件的结构图连接起来，便可得到系统的结构图。

例2.9在图所示的滤波电路中，若以电压ur为输入，电压uc为输出，试画出其结构图。

urR1R2ucC2C1i1i2

例2.9题电路图解2、将上述方程整理1/R11/c1s1/R21/c2sUr(s)I1(s)I2(s)Uc1(s)I2(s)Uc(s)---3.按照信号传递顺序，依次将各元部件的结构图连接起来。例题：试绘制如图所示的无源网络的结构图

解：根据克希霍夫定律写出下列方程2.4.3结构图的等效变换1.串联连接方式的等效变换

前一环节的输出量是后一环节的输入量的连接称为环节的串联。如下图所示，G1(s)G2(s)G3(s)R1(s)R2(s)R3(s)R4(s)G(s)R1(s)R4(s)2.并联连接方式的等效变换输入量相同，输出量相加或相减的连接称为并联。如下图所示G1(s)G2(s)G3(s)C2(s)C3(s)+++C(s)R(s)C1(s)并联后总的传递函数为G(s)R(s)C(s)3.反馈连接方式的等效变换

将系统或环节的输出反馈到输入端与输入信号进行比较，就构成了反馈连接。G(s)H(s)E(s)B(s)-R(s)C(s)4.分支点的移动规则

将分支点跨越元件方块图移动时，必须遵循移动前后所得的分支信号保持不变的等效原则。G(s)1/G(s)BR(s)C1(s)C2(s)移动前后的分支输出信号不变，达到了等效变换的目的。G(s)R(s)ABC1(s)C2(s)G(s)G(s)AR(s)C1(s)C2(s)

分支点移动的规则为：若分支点从一个方块图的输入端移到其输出端时，应在移动后的分支中串入一个方块图，它的传递函数等于所跨越的方块图的传递函数的倒数。若分支点从一方块图的输出端移到其输入端时，应在移动后的分支中串入一个方块图，它的传递函数等于所跨越的方块图的传递函数。G(s)R(s)ABC1(s)C2(s)5.比较点的移动规则如图(a)所示，当比较点在A处时，总输出量为

C(s)=G(s)[R1(s)-R2(s)]当比较点移到B处时，必须使两个输入都经过元件方块图后再相加，如图(b)所示，此时

C(s)=G(s)R1(s)-G(s)R2(s)与移动前相等，因而两图是等效的。G(s)AR1(s)R2(s)-C(s)BG(s)G(s)R1(s)R2(s)BC(s)-(a)(b)

当综合点之间相互移动时，如下图所示，因为三者输出都为

C(s)=R1(s)-R2(s)-R3(s)故它们都是等效的。R2(s)R1(s)R2(s)R3(s)--E1C(s)R1(s)R3(s)R1(s)R3(s)R2(s)----C(s)C(s)(a)(b)(c)互换综合点的位置，不会影响总的输入输出关系。2.4.4系统结构图的简化例2.10简化下图所示多回路系统，并求系统的传递函数C(s)/R(s)。G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)G5(s)G6(s)--++R(s)C(s)解这是一个没有交叉现象的多环系统，内回路称为局部反馈回路，外回路称为主反馈回路。简化时不需要将分支点和综合点作前后移动。可按简单串、并联和反馈连接的简化规则，从内部开始，由内向外逐步简化。G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)+G5(s)G6(s)R(s)--C(s)(a)(c)G6(s)R(s)C(s)-(b)G1(s)G6(s)R(s)-C(s)例2.11例2.12例2-12

简化下图，求出系统的传递函数。

解图是具有交叉连接的结构图。为消除交叉，可采用相加点、分支点互换的方法处理。（2）再与b点交换（1）将相加点a移至G2之后（3）因G4与G1G2并联，G3与G2H是负反馈环（4）上图两环节串联，函数相乘后结果为所以，系统的传递函数为例2-13

试简化下图所示系统的结构图，并求系统的传递函数解（1）将支路H2（s）的分支点后移（2）合并上图虚线框内的各环节，结果如下图所示

（3）合并上图虚线框内的各环节，结果为

所以，系统的传递函数为归纳规律：通过上述例子，可以看到如果满足以下两个条件：①所有回路两两相互接触；②所有回路与所有前向通道接触。则可以得到以下几条简化结构图的规律：①闭环系统传递函数是一个有理分式；②③，负反馈取“+”正反馈取“－”即式中，

m是前向通道的条数，n是反馈回路数。2.5控制系统的信号流图2.5.1信号流图1.信号流图中的基本图形符号有三种：节点，支路，和支路增益2.信号流图的基本性质3.信号流图的有关术语：a.源节点b.阱节点c.混合节点d.前向通路d.回路e.回路增益f.前向通路增益g.不接触回路信号流图的绘制：例:2-22例:2-23由系统结构图绘制信号流图应注意：（1）尽量精简节点的数目，合并；源节点和阱节点不能合并掉；（2）结构图比较点之前没有引出点（之后有）只需在比较点后设置一个节点便可，但若比较点之前有引出点，需在引出点和比较点之后各设置一个节点。分边标志两个变量，他们之间的支路增益为1。梅逊公式一般形式为2.5.2用梅逊(S.J.Mason)公式求传递函数梅逊公式的由来例:用梅逊公式求下图所示系统的传递函数。G1G2G4G3G5G6H4H2H3H1RC----解图中共有四个不同回路，其回路传递函数分别为故∑Li=L1+L2+L3+L4

在上述四个回路中，互不接触回路有：L2、L3，它们之间没有重合的部分，因此有

∑LiLj=L2L3=(-G2G3H2)(－G4G5H3)=G2G3G4G5H2H3

图中没有三个互不接触回路，故∑LiLjLK=0可得特征式图中只有一条前向通路，且该前向通路与四个回路均接触，所以注意：

应用梅逊公式可以方便地求出系统的传递函数，而不必进行结构图变换。但当结构图较复杂时，容易遗漏前向通路、回路或互不接触回路。因此在使用时应特别注意。例题：2-242-25例题：2.6.1系统