北师大版八年级数学下册 第六章 平行四边形 课件

6.1平行四边形的性质第六章平行四边形导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第1课时平行四边形边和角的性质学习目标1.理解平行四边形的定义及有关概念.2.能根据定义探索并掌握平行四边形的对边相等、对角相等的性质.（重难点）导入新课观察下图，平行四边形在生活中无处不在.情景引入你还能举出其他的例子吗？

活动1：如果将一个三角形的两边分别平移,会得到什么图形？思考：请观察颜色相同的两组对边，它们有怎样的位置关系呢？讲授新课平行四边形边的相关概念一合作探究两组对边都不平行一组对边平行，一组对边不平行两组对边分别平行平行四边形活动2：观察图形，说出下列图形边的位置有什么特征？1.两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．2.记作：ABCD.读作：平行四边形ABCD.

几何语言：

∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形.3.平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫它的对角线.如图AC.4.平行四边形中，相对的边称为对边，相对的角称为对角.概念学习你能从以下图形中找出平行四边形吗？23145说一说

如图，把两张完全相同的平行四边形纸片叠合在一起,在它们的中心O钉一个图钉，将一个平行四边形绕O旋转180°，你发现了什么?ACDBO平行四边形中心对称性一二合作探究●ADOCBDBOCA再看一遍●ADOCBDBOCA你有什么猜想？根据刚才的旋转，你知道平行四边形是什么图形？猜一猜□ABCD绕它的中心O旋转180°后与自身重合，这时我们说□ABCD是中心对称图形，两条对角线的交点O是它的对称中心.

平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心.活动3：将两个全等的三角形纸片相等的边重合在一起，你能拼出平行四边形吗？你能拼出几个？与同学交流你的拼法，并把它展示出来.说一说：通过拼图你可以得到什么启示？平行四边形对边相等，对角相等.一平行四边形边和角的性质三这个结论正确吗？方法1：度量法ABCD这个方法准确吗？

平行四边形的一条对角线把平行四边形分成两个全等的三角形；ABCD四边形问题转化三角形问题方法2：推理证明证明：如图，连接AC∵AD∥BC，AB∥

CD∴∠1=∠2，∠3=∠4又AC是△ABC和△CDA的公共边∴△ABC≌△CDA（ASA）∴AB=CD，AD=CD∠B=∠D已知：ABCD,AB∥CD，AD∥BC.求证：AB=CD，BC=DA；∠B=∠D,∠BAD=∠DCB

又∵∠1=∠2，∠3=∠4∴∠1+∠4=∠2+∠3即∠BAD=∠DCB.证明结论思考：不添加辅助线，你能否直接运用平行四边形的定义，证明其对角相等？ABCD证明：∵AB∥DC∠ABC+∠BCD=180°AD∥BC∴∠BAD+∠ABC=180°∴∠BCD=∠BAD同理∠ABC=∠ADC几何语言边角文字叙述对边平行对边相等对角相等∵四边形ABCD是平行四边形，

∴

AD∥BC，AB∥DC.∴

AD=BC，AB=DC.∵四边形ABCD是平行四边形，

∴

∠A=∠C，∠B=∠D.∵四边形ABCD是平行四边形，

ABCD平行四边形的性质知识要点性质定理1性质定理2例1.已知：

ABCD,E，F是对角线AC上的两点，并且AE=CF，求证：BE=DF.

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAE=∠DCF.∴△ABE≌△CDF（SAS）.∴AB=CD，AB∥CD又∵AE=CF，∴BE=DF.ADBCEF典例精析例2有一块形状如图所示的玻璃，不小心把EDF部分打碎了，现在只测得AE=60cm，BC=80cm，∠B=60°且AE∥BC、AB∥CF,你能根据测得的数据计算出DE的长度和∠D的度数吗？解∵AE//BC，AB//CF∴四边形ABCD是平行四边形∴∠D=∠B=60°，AD=BC=60cm.∴ED=AD-AE=80-60=20cm.答：DE的长度是20cm,∠D的度数是60°.A1A3A2ABC练一练：学校买了四棵树，准备栽在花园里，已经栽了三棵（如图），现在学校希望这四棵树能组成一个平行四边形，你觉得第四棵树应该栽在哪里？1.如图，在□ABCD中(1)若∠A=130°，则∠B=______，∠C=______，∠D=______.(2)若∠A+∠C=200°，则∠A=______，∠B=______.(3)若∠A:∠B=5:4，则∠C=______，∠D=______.（4）若AB=3,BC=5,则它的周长=______.CDAB50°130°50°100°80°100°80°16当堂练习2.在□ABCD中，∠A=150°，AB=8cm,BC=10cm,则S□ABCD=

.提示：过点A作AE⊥BC于E，然后利用勾股定理求出AE的值.40cm2解：在ABCD中，AB=DC,AD=BC(平行四边形的对边相等)∵AB=8，DC=8

又∵AB+BC+DC+AD=24,∴AD=BC=(24-2AB)=43.如图，在ABCD中，AB=8，周长等于24，求其余三条边的长.BCDAO3-124．已知点A（3，0）、B（-1，0）、C（0，2），以A、B、C为顶点画平行四边形，你能求出第四个顶点D吗？O3-12（4，2）（2，-2）O3-12（-4，2）平行四边形中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心课堂小结两组对边分别平行的四边形是平行四边形对称性定义性质对边平行,对边相等，对角相等6.1平行四边形的性质第六章平行四边形导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第2课时平行四边形对角线的性质学习目标1.探索并掌握平行四边形对角线性质；(重点)2.灵活运用平行四边形的性质进行推理和计算.导入新课分享蛋糕的故事视频中的小朋友所说的那块蛋糕是最大的吗？为什么?讲授新课平行四边形的对角线的性质一我们知道平行四边形的边角这两个基本要素的性质，那么平行四边形的对角线又具有怎样的性质呢?ABCDO

如图，在□ABCD中，连接AC,BD,并设它们相交于点O.

OA与OC,OB与OD有什么关系?猜一猜OA=OC,OB=OD这个结论正确吗？ABCDO量一量拿出手中的平行四边形纸片，测量出四条线段的长度，验证你的猜想是否正确?这个方法准确吗？验一验几何画板验证（点击）●ADOCBDBOCA证一证已知：如图：□ABCD的对角线AC、BD相交于点O.求证：OA=OC，OB=OD.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴

AD=BC，AD∥BC.∴∠1=∠2，∠3=∠4.∴△AOD≌△COB（ASA）.∴

OA=OC，OB=OD.ACDBO3241ACDBO平行四边形的对角线互相平分.要点归纳平行四边形的性质应用格式：

1.

△ABO≌△CDO，

△AOD

≌△COB，△

ABD

≌

△CDB，△

ABC

≌△CDA

；2.

△ABO、△AOD、△DOC、△COB的面积相等，且都等于平行四边形面积的四分之一.ACDBO重要结论ACDBO●四块蛋糕谁大谁小呢？其实四块蛋糕是一样大的．典例精析例1：在□ABCD中，AC与BD交于点O,OA=12cm,OB=19cm,则AC=

cm,BD=

cm.BCDAO2438

59

8变式3

在□ABCD中，AC=24,BD=38,AB=m,

则m的取值范围是()A.24<m<39B.14<m<62C.7<m<31D.7<m<12

BCDAOC例2

如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB⊥AC，AB=3，AD=5，求BD的长.解：∵四边形ABCD是平行四边形∴BC=AD=5∵AB⊥AC∴△ABC是直角三角形AO=AC=2∴BD=2BO=例3如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，过点O作直线与AD，BC分别相交于点E、F，求证：OE=OF.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DO=BO，AD∥BC.∴∠ODE=∠OBF.

∴△DOE≌△BOF（ASA）.∴OE=OF.∵∠DOE=∠BOF，

●ODCBAEF●ODCBAEF(1)(2)议一议：在上述问题中，若直线EF与边DA、BC的延长线交于点E、F，（如图2），上述结论是否仍然成立？试说明理由．●●●●议一议：在上述问题中，若将直线EF绕点O旋转至下图（3）的位置时，上述结论是否仍然成立？FEF●ODCBAE(1)●ODCBAEF(3)(3)(4)●ODCBAEF(4)●●●●再变一变

过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到的线段总相等，且这条直线二等分平行四边形的面积．归纳总结

如图，□ABCD

的两条对角线AC、BD相交于点O，过点0的直线与AD、BC分别相交于点E、F，已知□ABCD

的面积是12cm2,则图中阴影部分的面积是

.。

试一试6cm2当堂练习1.如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O,且AC+BD=16,CD=6,则△ABO的周长是（）A.10B.14C.20D.

22

BBCDAO2.下列性质中，平行四边形不一定具备的是（）A.对边相等

B.对角相等

C.对角线互相平分

D.

是轴对称图形D

3.如图，在ABCD中，BF平分∠ABC,交AD于点F,CE平分∠BCD，交AD于点E,AB=6,EF=2,则BC的长为

.

10A

B

C

D

E

F

□4.如图，四边形ABCD是平行四边形，AB=10，AD=8，AC⊥BC，求BC、CD、AC、OA的长.810BCDAO解：∴△ABC是直角三角形.又∵AC⊥BC∴BC=AD=8，CD=AB=10又∵OA=OC∴∴？？？∵四边形ABCD是平行四边形.5.如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E,F分别是OA,OC的中点，连接BE,DF.

求证:BE=DF.

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O,

∴OB=OD,OA=OC.

∵E,F分别是OA,OC的中点,

ABCDOEF平行四边形对角线互相平分课堂小结对角线的性质6.2平行四边形的判定第六章平行四边形导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第1课时利用四边形边的关系判定平行四边形情境引入学习目标1.平行四边形判定方法的探究.（重点）2.平行四边形判定方法的理解和灵活应用.（难点）平行四边形的性质边平行四边形的对边平行平行四边形的对边相等角平行四边形的对角相等平行四边形的邻角互补平行四边形的对角线互相平分对称性平行四边形是中心对称图形对角线导入新课知识回顾导入新课学习了平行四边形之后，小明回家用细木棒钉制了一个平行四边形.第二天，小明拿着自己动手做的平行四边形向同学们展示.

小辉却问：你凭什么确定这四边形就是平行四边形呢?

大家都困惑了……活动1：用两根长30cm的木条和两根长20cm的木条作为四边形的四条边，能否拼成一个平行四边形？与同伴进行交流.20cm30cm

猜测：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.讲授新课平行四边形的判定定理1一合作探究已知：四边形ABCD中，AB=CD，AD=CB.求证：四边形ABCD是平行四边形.ABCD连接BD，在△ABD和△CDB中,AB=CD

BD=DBAD=CB

∴△ABD≌△CDB(SSS).∴∠1=∠2,∠3=∠4.∴AB∥CD,AD∥CB∴四边形ABCD是平行四边形.证明：1423两组对边分别相等的四边形是平行四边形.∵AB=CD，AD=BC∴四边形ABCD是平行四边形.几何语言：平行四边形判定定理1BDCA总结归纳例1如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC和AD上的两点，且AF＝CE.求证：四边形AECF为平行四边形BACDFE证明：可求得△ABE≌△CDF(SAS)∴AE=CF又∵AF=CE∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）典例精析活动2：将两根同样长的木条AD，BC平行放置,再用木条AB，DC加固,得到的四边形ABCD是平行四边形.ABCD猜想：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.平行四边形的判定定理2二连接AC.∵AB//CD,∴∠1=∠2.又AB=CD，AC=CA，∴△ABC≌△CDA（SAS）.∴BC=DA.∴四边形ABCD的两组对边分别相等，它是平行四边形.DABC已知：如图，在四边形ABCD中，AB//CD.求证：四边形ABCD是平行四边形.证明：12一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.∵AB=CD，AB∥CD∴四边形ABCD是平行四边形.几何语言：平行四边形判定定理2BDCA总结归纳例2如图，在平行四边形ABCD中，已知AE、CF分别是∠DAB、∠BCD的角平分线，试证明四边形AFCE是平行四边形．

证明：∵在平行四边形ABCD中，

AE、CF分别是∠DAB、∠BCD的角平分线∴∠B=∠D,AB=CD,AD∥BC∠BAE=∠DCF=∠DAB=∠BCD

∴△ABE≌△CDF(ASA)∴BE=DF∴AF=CE∵AF∥CE∴四边形AFCE是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）

卢师傅要做一个平行四边形木框.他要从图中几根木条中选出四根来制作，可是他不知道该怎样选，请同学们帮他选一选，哪四根木条可以制作成平行四边形木框，为什么？7cm4cm3cm3cm5cm4cm阅读思考4cm4cm4cm4cm3cm3cm3cm3cm发现：一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形.思考：我们可以从角出发来判定一个四边形是否为平行四边形吗？ABCD

你能根据平行四边形的定义证明它们吗？由定义判定平行四边形三已知：四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D，求证：四边形ABCD是平行四边形.ABCD又∵∠A=∠C，∠B=∠D∵∠A+∠C+∠B+∠D=360°∴2∠A+2∠B=360°即∠A+∠B=180°∴AD∥BC∴四边形ABCD是平行四边形.同理得AB∥

CD证明：定义判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形归纳小结判定定理1定理2定义判定文字语言图形语言符号语言两组对边分别相等的四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形两组对角分别相等的四边形是平行四边形平行四边形判定定理ABCD∵AB=CD,AD=BC,∴四边形ABCD是

ABCD

ABCD∵

AB=

CD,

AB∥CD,∴四边形ABCD是ABCD

ABCDO

∵

∠

A=

∠

C,

∠B=

∠D,∴四边形ABCD是ABCD

1.能判定四边形ABCD是平行四边形的条件：∠A:∠B:∠C:∠D的值为（）A.1:2:3:4

B.1:4:2:3

C.1:2:2:1

D.3:2:3:2

D2.如图所示，△ABC是等边三角形，P是其内任意一点，PD//AB,PE//BC,PF//AC,若△ABC的周长为24，则PD+PE+PF=

.

AFBDCEP

83.已知AD//BC

，要使这个四边形ABCD为平行四边形，需要增加条件

.

AD=BC或AB//CD

当堂练习4.已知：如图，E,F分别是平行四边形ABCD的边AD,BC的中点.求证：BE=DF.DFECBA证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BCAD=BC∵E,F分别是AD,BC的中点，∴ED=BF,即EDBF.∥﹦∴四边形EBFD是平行四边形（一组对边平行并且相等的四边形是平行四边形）.∴BE=DF(平行四边形的对边分别相等).

ABCDEF解：是，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD,AB//CD.∴∠ABE=∠CDF.

∴∠AEB=∠CFD=900.

∴△ABE≌△CDF（AAS）.

∴AE=CF.

∵∠AEF=∠CFE=900,∴AE//CF.∴四边形AECF是平行四边形.1.现有一块等腰直角三角形铁板，要求切割一次,焊接成一个含有45°角的平行四边形(不能有余料),请你设计一种方案，并说明该方案正确的理由.ABC能力提升CABFEDDCABEABCFDE2.电视剧《人民的名义》中有一位退休好干部叫陈岩石，他有一块平行四边形菜园地，夏季到来了，院子里瓜果飘香.有一天突然下起了暴雨，将菜园地的一部分冲垮，陈老的菜园地与邻居家的菜园地之间的界限看不清了，巧的是，刚好保留了顶点A和C.（1）如图，若你只有一把直尺和一个圆规，你能将图形补全吗？若能，请补全图形（不写作法，只保留作图痕迹），并证明四边形ABCD是平行四边形.ABC（2）若E是BC边上的一点，只用一把无刻度的直尺在AD边上作点F，使得DF=BE,①作出满足题意的点F，简要说明作图过程.

②依据你的作图，证明：DF=BE.ABC★EABCDOF课堂小结平行四边形的判定定义法判定理理1判定定理2①已知一组对边平行，可以证另一组对边平行；也可证这组对边相等.②已知一组对边相等，可以证另一组对边相等；也可证这组对边平行.③已知一组对角相等，再证另一组对角相等.6.2平行四边形的判定第六章平行四边形导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第2课时利用四边形对角线的性质判定平行四边形1.利用对角线互相平分判定平行四边形;（重点）2.平行四边形对角线相等的相关运用.（难点）学习目标判定定理1定理2定义判定文字语言图形语言符号语言两组对边分别相等的四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形两组对角分别相等的四边形是平行四边形平行四边形判定定理ABCD∵AB=CD,AD=BC,∴四边形ABCD是

ABCD

ABCD∵

AB=

CD,

AB∥C

D,∴四边形ABCD是ABCD

ABCDO

∵

∠

A=

∠

C,

∠B=

∠D,∴四边形ABCD是ABCD

复习引入导入新课

将两根木条AC，BD的中点重叠，并用钉子固定，再用一根橡皮筋绕端点A，B，C，D围成一个四边形ABCD

．想一想，△AOB≌△COD吗？四边形ABCD的对边之间有什么关系？你得到什么结论？ACBOD平行四边形的判定定理3讲授新课合作探究猜想：对角线互相平分的四边形是平行四边形.ABCDO

已知：四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD.求证：四边形ABCD是平行四边形.证明：在△AOB和△COD中,OA=OC(已知)OB=OD(已知)∠AOB=∠COD(对顶角相等)∴△AOB≌△COD(SAS)∴∠BAO=∠OCD,∠ABO=∠CDO.∴AB∥

CD,AD∥

BC∴四边形ABCD是平行四边形.对角线互相平分的四边形是平行四边形.∵AO=CO，BO=DO∴四边形ABCD是平行四边形.几何语言：平行四边形判定定理3总结归纳ABCDO

1.请你识别下列四边形哪些是平行四边形?⑷ADCB110°70°110°⑶⑴ABCDO5㎝5㎝4㎝4㎝4.8㎝BADC4.8㎝7.6㎝7.6㎝ABCD120°60°⑵5cm5cm70。练一练2.已知：E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，并且OE=OF.求证：四边形BFDE是平行四边形DOABCEF证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO=DO.∵EO=FO，∴四边形BFDE是平行四边形.例1已知：E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，并且AE=CF.求证：四边形BFDE是平行四边形.OBACEFD证明：连接BD在ABCD中，AO=CO，BO=DO∵AE=CF∴AO-AE=CO-CF∴EO=FO

又∵BO=DO

∴四边形BFDE是平行四边形.(对角线互相平分的四边形是平行四边形）例2填空：如图在四边形ABCD中（1）若AB//CD，补充条件

，使四边形ABCD为平行四边形；（2）若AB=CD，补充条件

，使四边形ABCD为平行四边形；（3）若对角线AC、BD交于点O，OA=OC=3，OB=5，补充条件

，使四边形ABCD为平行四边形.AD//BCAD=BCOD=5BODAC（4）如图，□ABCD

的对角线AC,BD相交于点O,E,F是AC上的两点，补充条件：

,使得四边形BFDE是平行四边形.

BODACEF证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴

AO=CO,BO=DO.∵AE=CF，∴AO-AE=CO-CF,即EO=OF.又

BO=DO.∴四边形BFDE是平行四边形.AE=CF想想还有其他证法吗？想一想：判定一个四边形是平行边形可以从哪些角度思考?具体有哪些方法?从边考虑两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义法)两组对边分别相等的四边形是平行四边形(判定定理1)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（判定定理2）从角考虑从对角线考虑平行四边形的判定方法两组对角分别相等的四边形是平行四边形（定义拓展）对角线互相平分的四边形是平行四边形（判定定理3）

小明用手中六个全等的正三角形做拼图游戏时，拼成一个六边形．你能在图中找出所有的平行四边形吗？并说说你的理由．ABCDOFE试一试解：有6个平行四边形，分别是：

ABOF，ABCO，

BCDO，CDEO，DEFO，EFAO．当堂练习1.根据下列条件，不能判定一个四边形为平行四边形的是（）A.两组对边分别相等B

.两条对角线互相平分C

.两条对角线相等D

.两组对边分别平行CDABC2.在下列条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的是（）Ａ．ＡＢ＝ＡＤ，ＣＢ＝ＣＤＢ．ＡＢ∥ＣＤ，ＡＤ＝ＢＣＤ．∠Ａ＝∠Ｂ，∠Ｃ＝∠ＤＣ．ＡＢ∥ＣＤ，ＡB＝CDABCDC3.已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中点，直线AE交DC的延长线于点F．试判断四边形ABFC的形状，并证明你的结论．

∴△ABE≌△FCE（AAS）；∴AE=EF，又∵BE=CE∴四边形ABFC是平行四边形．解：四边形ABFC是平行四边形；理由如下：∵AB∥CD，∴∠BAE=∠CFE，∵E是BC的中点，∴BE=CE，在△ABE和△FCE中，从边考虑两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义法)两组对边分别相等的四边形是平行四边形(判定定理1)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（判定定理2）从角考虑从对角线考虑平行四边形的判定方法两组对角分别相等的四边形是平行四边形（定义拓展）对角线互相平分的四边形是平行四边形（判定定理3）课堂小结6.2

平行四边形的判定第六章平行四边形导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第3课时平行线间的距离及平行四边形判定与性质的综合学习目标1.掌握平行线间的距离的概念及性质；2.运用平行四边形的性质计算和证明；（重点）3.能够综合运用平行四边形的判定定理和性质.（难点）导入新课情境引入

在笔直的铁轨上，夹在两根铁轨之间的平行枕木是否一样长？你能说明理由吗？与同伴交流.

如图，在方格纸上画两条互相平行的直线，在其中一条直线上任取若干点，过这些点作另一条直线的垂线，用刻度尺度量出平行线之间的垂线段的长度．

经过度量，我们发现这些垂线段的长度都相等(从图中也可以看到这一点)．平行线之间的距离一合作探究讲授新课猜想：平行线间距离处处相等.如图，直线a//b，A,B是直线a上任意两点，AC⊥b，BD⊥b，垂足分别为C,D.求证：AC=BD.证明：∵AC⊥CD，BD⊥CD，理论证明abABCD∴∠1=∠2=90°.∴AC∥BD.∴AB∥CD，∴四边形ACDB是平行四边形.∴AC=BD.12

如果两条直线互相平行，则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离都相等(如图：AC=BD),这个距离称为平行线之间的距离.归纳总结(简记为：两条平行线间的距离处处相等）.AB思考：两条平行线之间的距离与点和点之间的距离、点到线之间的距离有何区别与联系？abAB

点到直线的距离只有一条，即过直线外点作直线的垂线段的长度；而平行线的距离有无数条即一直线任一点都可以得到一条两平行直线的距离.例1如图，直线AE//BD，点C在BD上，若AE=5，BD=8，△ABD的面积为16，则△ACE的面积为

.ABCDE分析：根据平行线之间的距离处处相等.解析：设高为h,则S△ABD=·BD·h=16,h=4,所以S△ACE=·AE·h=×5×4=10.10典例精析思考：若垂线段改为夹在两条线段间的平行线段呢？它们是否相等呢？

由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”易知其围成的封闭图形为平行四边形，再由平行四边形性质易知夹在两条平行线间的平行线段相等.例2已知，如图，在平行四边形ABCD中，BN=DM，BE=DF．求证：四边形MENF是平行四边形证明：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠MDF=∠NBE．∵DM=BN，DF=BE，∴△MDF≌△NBE(SAS).∴MF=NE，∠MFD=∠NEB．∴四边形MENF是平行四边形.∴∠MFE=∠NEF∴FM∥EN．ABCDEF证明：∵四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，∴AD

EF，EF

BC.∴ADBC.∴四边形ABCD是平行四边形.//=//=//=问题

四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，求证四边形ABCD是平行四边形.平行四边形性质与判定的综合运用二提示:要由其中的一个或多个平行四边形，得出四边形中边角的条件，判定其他四边形也是平行四边形例3.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是对角线AC上的两点，给出下列四个条件：①AE=CF；②DE=BF；③∠ADE=∠CBF；④∠ABE=∠CDF．其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个B【解析】由平行四边形的判定方法可知：若是四边形的对角线互相平分，可证明这个四边形是平行四边形，②不能证明对角线互相平分，只有①③④可以，故选B．例4如图，在ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，连接AF，CE．求证：AF=CE．证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB=CD，AB∥CD，∴∠ABE=∠CDF．又∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB=∠CFD=90°，AE∥CF，在△ABE和△CDF中，∠ABE＝∠CDF，

∠AEB＝∠CFD，AB＝CD，∴△ABE≌△CDF（AAS）．∴AE=CF，∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，∴AF=CE．1.(1)在□ABCD中，∠A=150°，AB=8cm,BC=10cm,则S□ABCD=

.提示：过点A作AE⊥BC于E，然后利用勾股定理求出AE的值.40cm2(2)若点P是□ABCD上AD上任意一点，那么△PBC的面积是

.20cm2提示：△PBC与□ABCD是同底等高.当堂练习2.如图，▱ABCD中．EF∥GH∥BC，MN∥AB，则图中平行四边形的个数是（）A．13B．14C．15D．18【解析】根据平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，如图，则图中的四边形AEOM、AGPM、ABNM、EGPO、EBNO、GBNP、MOFD、MPHD、MNCD、OPHF、ONCF、PNCH、AEFD、AGHD、ABCD、EGHF、EBCF和GBCH都是平行四边形，共18个．故选D．D3.在▱ABCD中，E、F分别在BC、AD上，若想要使四边形AFCE为平行四边形，需添加一个条件，这个条件不可以是（）A．AF=CEB．AE=CFC．∠BAE=∠FCDD．∠BEA=∠FCEB4.如图，▱ABCD中，E，F分别为BC，AD边上的点，要使四边形BEDF为平行四边形，需添加一个条件:

_________________________________.

【解析】∵四边形EBFD要为平行四边形．∴∠BAE=∠DCF，AB=CD在△AEB与△CFD中，AB＝CD∠BAE＝∠DCFAE＝CF，∴△AEB≌△CFD（SAS），∴AE=FC∴DE=BF；AE=FC或∠ABE=∠CDF或BE=DF（答案不唯一）∴四边形EBFD为平行四边形．∴可添加的条件是AE=FC，同理还可添加∠ABE=∠CDF．故答案为：AE=FC或∠ABE=∠CDF或BE=DF（答案不唯一）5.如图，在▱ABCD中，E、F分别为边AD、BC的中点，对角线AC分别交BE，DF于点G、H．求证：AG=CH．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ADF=∠CFH，∠EAG=∠FCH，∵E、F分别为AD、BC边的中点，∴AE=DE=AD，CF=BF=BC，∴DE∥BF，DE=BF，∴四边形BFDE是平行四边形，∴BE∥DF，∴∠AEG=∠ADF，∴∠AEG=∠CFH，在△AEG和△CFH中，∠EAG＝∠FCHAE＝CF∠AEG＝∠CFH，∴△AEG≌△CFH（ASA），∴AG=CH．平行四边形五种判定方法课堂小结对边平行,对边相等，对角相等判定性质夹在两条平行线间的平行线段处处相等6.3

中位线第六章平行四边形导入新课讲授新课当堂练习课堂小结1.理解中位线的概念和性质；（重点）2.能够利用中位线解决相关问题.(重点、难点)学习目标

如图，有一块三角形的蛋糕，准备平均分给两个小朋友，要求两人所分的大小相同，请设计合理的解决方案；若平均分给四个小朋友，要求他们所分的大小都相同，请设计合理的解决方案；导入新课情境引入

如图，有一块三角形的蛋糕，准备平均分给四个小朋友，要求四人所分的形状和大小都相同，请设计合理的解决方案.讲授新课三角形的中位线及其性质一问题1：你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗?合作探究问题2：连接每两边的中点,看看得到了什么样的图形?四个全等的三角形连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.ABCDE知识要点两层含义:②如果DE为△ABC的中位线，那么D、E分别为AB、AC的

.①如果D、E分别为AB、AC的中点,那么DE为△ABC的

；中位线中点ABC1.画出△ABC中所有的中位线.2.画出三角形的所有中线并说出中位线和中线的区别.DEF问题3：你能通过剪拼的方式，将一个三角形拼成一个与其面积相等的平行四边形吗？小明的做法：将△ADE绕点E按顺时针方向旋转180°到△CFE的位置（如图），这样就得到了一个与△ABC面积相等的平行四边形DBCF.ADEFCB动画演示猜一猜:三角形两边中点的连线与第三边有怎样的关系？能证明你的猜想吗？ADEFCBDE和边BC的关系数量关系：位置关系：平行DE是BC的一半能说出理由吗?请同学们测量⑴∠ADE,∠ABC度数;⑵DE,BC长度.

测量法已知：如图，在△ABC中，DE是△ABC的中位线.求证：DE∥BC,DE=BC.EABCD

F证明:如图,延长DE至F,使EF=DE,连接CF.∵AE=CE,∠AED=∠CEF,∴△ADE≌△CFE(SAS),∴AD=CF,∠A=∠ECF.∴CF∥AB.证明法∵AD=BD,∴四边形DBCF是平行四边形.∴BD=CF.EABCD

F∴DF∥BC,DF=BC.∴DE∥BC,三角形中位线定理：

三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.用符号语言表示DABCE∵DE是△ABC的中位线归纳总结∴DE∥BC,【定理的理解】(1)从条件看，以后我们看到中点，尤其是两个或者两个以上的中点时我们就要联想到三角形的中位线定理.(2)从结论看，它既可以得到线段的位置关系（平行），又可以得到线段的数量关系（倍份关系），大家以后在解决相关问题时要两方面结合起来灵活应用.1.如左图，MN为△ABC的中位线，若∠ABC=61°，则∠AMN=

，若MN=12，则BC=

.AMBCN61°24练一练ADBCE2.如右图，△ABC中，

D，E分别为AB，AC的中点，当BC=10㎝时，则DE=

.5㎝ABCEFD1.图中有几个全等三角形，你是怎么知道的？你能证明吗？2.图中有几个平行四边形？你能证明吗？深入探究3.(1)已知:三角形的各边分别为6cm,8cm,12cm，则连接各边中点所成三角形的周长为____

cm.

13（2）已知:三角形的周长为64cm，则连接各边中点所成三角形的周长为____cm.32（3）△ABC的周长为aD、E、F分别为△ABC各边中点,△DEF的周长为

；G、H、I分别为△DEF各边中点,△GHI的周长为

；CABDFEGHI像这样下去,第3个三角形的周长为

;第n个三角形的周长为

.a12a14a18a12n你发现了什么？你还有什么想法？4.如图,D、E、F分别是△ABC三边的中点你能发现△DEF的面积与△ABC的面积有什么关系吗？为什么？●●●ABCDEF解：S△DEF=S△ABC.理由如下：由题意得DE,DF,EF是△ABC的中位线，∴DE∥BC, DF∥AC,EF∥AB,∴四边ADFE,BDEF,DECF都是平行四边形，∴S△DEF=S△ADE=S△BDF=S△CEF,∴S△DEF=S△ABC.3.如图，已知△ABC中，AB=3㎝，BC=3.4㎝，AC=4㎝且D，E，F分别为AB，BC，AC边的中点，则△DEF的周长是

㎝.ABCDEF5.2练一练4.如下图：在Rt△ABC中，∠A=90°，D、E、F分别是各边中点，AB=6cm，AC=8cm，则△DEF的周长=______cm．12EFBACD

典例精析例1已知:如图,在四边形ABCD中,E,F,G,H分别为各边的中点.求证:四边形EFGH是平行四边形.ABCHDEFG分析:将四边形ABCD分割为三角形,利用三角形的中位线可转化两组对边分别平行或一组对边平行且相等来证明.证明:连接AC.∵E,F,G,H分别为各边的中点,∴EF∥HG,EF=HG.∴四边形EFGH是平行四边形.ABCHDEFG∴EF∥AC,HG∥AC,1.如图：EF是△ABC

的中位线，BC=20，则EF=________;10

当堂练习2.在△ABC中，中线CE、BF相交点O、M、N分别是OB、OC的中点，则EF和MN的关系是_______________.平行且相等3.A,B两村相隔一座大山，你能想办法测出A,B两村的直线距离AB的大小吗？若MN=360m，则AB=_____.ABC测出MN的长，就可知A、B两点的距离.MN解析：在AB外选一点C，使C能直接到达A和B，连结AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M、N.720m如果，M、N两点之间还有阻隔，你有什么解决办法？两次利用中位线，分别取CM和CN的中点.4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,D是斜边AB的中点，E是BC的中点.

（2）若AB=10,DE=4,求△ABC的面积.（1）DE⊥BC吗？为什么？ABCDE∵DE∥BC，∠C=90°，∴DE⊥BC.∵DE=4，∴AC=8.∵AB=10，AC=8,∴BC=6.你能看懂吗？趣味数学趣味数学课堂小结三角形中位线定义连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.性质三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.三角形的中位线微课6.4

多边形的内角和与外角和第六章平行四边形导入新课讲授新课当堂练习课堂小结情境引入学习目标1.能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式；（重点）2.学会运用多边形的内角和与外角和公式解决问题.（难点）法国的建筑事务所atelierd将协调坚固的蜂窝与人类天马行空的想象力结合，创造了这个“abeillesbeepavilion”.导入新课情景引入思考：你知道正六边形的内角和是多少吗？问题2

你知道长方形和正方形的内角和是多少度？

问题1

三角形内角和是多少度？三角形内角和是180°.都是360°.问题3

猜想任意四边形的内角和是多少度？

讲授新课多边形的内角和一猜想：四边形ABCD的内角和是360°.问题4

你能用以前学过的知识说明一下你的结论吗？猜想与证明方法1：如图，连接AC,四边形被分为两个三角形，所以四边形ABCD内角和为180°×2=360°.ABCDABCDE方法2：如图，在BC边上任取一点E，连接AE,DE，所以该四边形被分成三个三角形，所以四边形ABCD的内角和为180°×3-(∠AEB+∠AED+∠CED)=180°×3-180°=360°.方法3：如图，在四边形ABCD内部取一点E，连接AE,BE,CE,DE，把四边形分成四个三角形：△ABE,△ADE,△CDE,△CBE.所以四边形ABCD内角和为：180°×4-(∠AEB+∠AED+∠CED+∠CEB)=180°×4-360°=360°.ABCDEABCDP方法4：如图，在四边形外任取一点P,连接PA、PB、PC、PD将四边形变成有一个公共顶点的四个三角形.所以四边形ABCD内角和为180°×3－180°=360°.这四种方法都运用了转化思想，把四边形分割成三角形，转化到已经学了的三角形内角和求解.结论：

四边形的内角和为360°.例1：如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？试说明理由.解：

如图，四边形ABCD中，∠A+∠C=180°.∠A+∠B+∠C+∠D=(4－2)×180°=360°，∵

∠B＋∠D=360°－（∠A＋∠C）=360°－180°=180°.∴

ABCD如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角互补.典例精析【变式题】如图，在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，若BE∥DF，求证：△DCF为直角三角形．证明：∵在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，∴∠ABC+∠ADC=180°，∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，∴∠CDF+∠EBF=90°，∵BE∥DF，∴∠EBF=∠CFD，∴∠CDF+∠CFD=90°，故△DCF为直角三角形．运用了整体思想ACDEBABCDEF问题5

你能仿照求四边形内角和的方法，选一种方法求五边形和六边形内角和吗?内角和为180°×3=540°.内角和为180°×4=720°.n边形六边形五边形四边形三角形多边形内角和分割出三角形的个数从多边形的一顶点引出的对角线条数图形边数······0n-31231234n-2（

n-2）·180º1×180º=180º2×180º=360º

3×180º=540º4×180º=720º························由特殊到一般

分割多边形三角形分割点与多边形的位置关系顶点边上内部外部转化思想总结归纳多边形的内角和公式n边形内角和等于(n-2)×180°.例2

一个多边形的内角和比四边形的内角和多720°，并且这个多边形的各内角都相等，这个多边形的每个内角是多少度？解：设这个多边形边数为n，则（n-2）•180=360+720，解得n=8，∵这个多边形的每个内角都相等，（8-2）×180°=1080°，∴它每一个内角的度数为1080°÷8=135°．例3

如图，在五边形ABCDE中，∠C=100°，∠D=75°，∠E=135°，AP平分∠EAB，BP平分∠ABC，求∠P的度数．解析：根据五边形的内角和等于540°，由∠C,∠D,∠E的度数可求∠EAB+∠ABC的度数，再根据角平分线的定义可得∠PAB与∠PBA的角度和，进一步求得∠P的度数．可运用了整体思想解：∵∠EAB+∠ABC+∠C+∠D+∠E=540°，∠C=100°，∠D=75°，∠E=135°，∴∠EAB+∠ABC=540°-∠C-∠D-∠E=230°.∵AP平分∠EAB,∴∠PAB＝∠EAB，同理可得∠ABP＝∠ABC，∵∠P+∠PAB+∠PBA=180°，∴∠P=180°-∠PAB-∠PBA=180°−(∠EAB+∠ABC)=180°−×230°=65°．多边形的外角和二小刚每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？

多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角.

如图，∠A的外角是∠1.EBCD123

45A

多边形所有外角的和叫做这个多边形的外角和.概念学习如图，在五边形的每个顶点处各取一个外角．问题1：任意一个外角和它相邻的内角有什么关系？问题2：五个外角加上它们分别相邻的五个内角和是多少？EBCD123

45A互补5×180°=900°EBCD123

45A五边形外角和=360°=5个平角－五边形内角和=5×180°－(5－2)×180°结论：五边形的外角和等于360°.问题3：这五个平角和与五边形的内角和、外角和有什么关系？在n边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做n边形的外角和．n边形外角和n边形的外角和等于360°.－(n－2)×180°=360°=n个平角-n边形内角和=n×180°AnA2A3A4123

4nA1思考：n边形的外角和又是多少呢？与边数无关问题4：回想正多边形的性质，你知道正多边形的每个内角是多少度吗？每个外角呢？为什么？每个内角的度数是每个外角的度数是练一练：(1)若一个正多边形的内角是120°,那么这是正____边形.(2)已知多边形的每个外角都是45°,则这个多边形是

______边形.六正八正多边形边数内角34568n60°90°120°练一练完成下面的表格：108°135°例4

已知一个多边形，它的内角和等于外角和的

2倍，求这个多边形的边数.解：设多边形的边数为n.∵它的内角和等于(n－2)•180°，多边形外角和等于360°，∴(n－2)•180°=2×360º.解得

n=6.∴这个多边形的边数为6.例5

已知一个多边形的每个内角与外角的比都是7:2，求这个多边形的边数.解法一：设这个多边形的内角为7x°,外角为2x°,根据题意得7x+2x=180，解得x=20.即每个内角是140°，每个外角是40°.360°÷40°=9.答：这个多边形是九边形.还有其他解法吗？解法二：设这个多边形的边数为n

,根据题意得解得n=9.答：这个多边形是九边形.【变式题】一个正多边形的一个外角比一个内角大60°，求这个多边形的每个内角的度数及边数．解：设该正多边形的内角是x°，外角是y°，则得到一个方程组解得而任何多边形的外角和是360°，则该正多边形的边数为360÷120=3，故这个多边形的每个内角的度数是60°，边数是三条．例6如图，在正五边形ABCDE中，连接BE，求∠BED的度数．解：由题意得AB=AE,所以∠AEB=(180°-∠A)=36°，所以∠BED=∠AED-∠AEB=108°-36°=72°.当堂练习1.判断．(1)当多边形边数增加时，它的内角和也随着增加.()(2)当多边形边数增加时，它的外角和也随着增加.()(3)三角形的外角和与八边形的外角和相等．()2.一个正多边形的内角和为720°，则这个正多边形的每一个内角等于______．120°3.如图所示，小华从点A出发，沿直线前进10米后左转24°，再沿直线前进10米，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地点A时，走的路程一共是________米．1504.一个多边形的内角和不可能是（）A.1800°B.540°C.720°D.810°D5.一个多边形从一个顶点可引对角线3条，这个多边形内角和等于（）A.360°B.540°C.720°D.900°C6.一个多边形的内角和为1800°，截去一个角后，求得到的多边形的内角和.解：∵1800÷180＝10，∴原多边形边数为10＋2＝12.∵一个多边形截去一个内角后，边数可能减1，可能不变，也可能加1，∴新多边形的边数可能是11，12，13，∴新多边形的内角和可能是1620°，1800°，1980°.能力提升：如图，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7的度数.解：如图，∵∠3＋∠4＝∠8＋∠9，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝∠1＋∠2＋∠8＋∠9＋∠5＋∠6＋∠7＝五边形的内角和＝540°.89课堂小结多边形的内角和内角和计算公式(n-2)×180°(n≥3的整数）

外角和多边形的外角和等于360°特别注意：与边数无关.正多边形内角=，外角=小结与复习第六章平行四边形要点梳理考点讲练课堂小结课后作业几何语言文字叙述对边平行对边相等对角相等∴AD=BC，AB=DC.∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠A=∠C，∠B=∠D.∵四边形ABCD是平行四边形，

ABCD一、平行四边形的性质要点梳理对角线互相平分∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA=OC，OB=OD.∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AB∥DC.平行四边形是中心对称图形.几何语言文字叙述两组对边相等一组对边平行且相等

∴四边形ABCD是平行四边形.

∵AD=BC，AB=DC,∴

四边形ABCD是平行四边形.∵AB=DC，AB∥DC,ABCD二、平行四边形的判定对角线互相平分∴

四边形ABCD是平行四边形.

∵OA=OC，OB=OD,两组对边分别平行（定义）∵四边形ABCD是平行四边形.

∴AD∥BC，AB∥DC,平行线之间的距离处处相等1.三角形的中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2.三角形的中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.三、三角形的中位线用符号语言表示∵DE是△ABC的中位线∴DE∥BC,四、多边形的内角和与外角和多边形的内角和等于（n-2)×180°多边形的外角和等于360°正多边形每个内角的度数是正多边形每个外角的度数是考点一平行四边形的性质考点讲练例1

如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（）A．∠1=∠2B．∠BAD=∠BCDC．AB=CDD．AC=BC【解析】A.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠1=∠2，故A正确；B.∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD=∠BCD，故B正确；C.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，故C正确；D方法总结

主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形对边相等且平行，对角相等.针对训练1.如图，已知▱ABCD中，AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，分别交BC、AD于E、F．求证：AF=EC．证明：∵四边形ABC