结构力学课件 ch10课件

基本要求熟练掌握熟练掌握单自由度体系的自由振动和简谐荷载作用下的强迫振动、两个自由度体系的自由振动及主振型的正交性。掌握计算频率的近似法、阻尼对振动的影响。了解一般荷载作用下结构的动力反映（杜哈梅积分）、无限自由度体系的自由振动。第十章结构动力计算基础Structuremagnificationcomputing操作提示：⑴单击左键，一步步地查看信息。⑵左键单击蓝字下划线进入超级链接或弹出解释信息框。⑶黄底蓝字圆角矩形框是解释信息。点击解释信息框，该框消失。⑷为返回到引用该页的引用页，正常顺序播放时不要点击。操作提示点击进入本章知识结构.导航动力计算的特点和动力自由度单自由度体系的自由振动动力计算特点、动荷载分类、动力自由度刚度法、柔度法，频率计算及其特性单自由度体系的强迫振动阻尼对振动的影响两个自由度体系的自由振动阻尼对频率的影响、阻尼对自由振动的振幅的影响、阻尼对强迫振动的动力系数的影响。动力系数、动力响应计算一般方法和比例算法、共振的概念、杜哈梅积分。用刚度法和柔度法计算频率、主振型，频率、主振型的特性，主振型正交性两个自由度体系在简谐荷载下的强迫振动柔度法、刚度法，动位移幅值、动内力幅值计算，吸振器的概念。1.结构动力计算的特点和内容动荷载(dynamicload)与静荷载(staticload)的区别动荷载：大小、方向或位置随时间而变，静荷载：大小、方向或位置不随时间而变，而且变得很快。或变得很慢。衡量荷载变化快慢的标准还有结构的自振频率。动力计算与静力计算的区别

两者都是建立平衡方程，但动力计算，利用动静法，建立的是形式上的平衡方程。力系中包含了惯性力，考虑的是瞬间平衡，荷载和内力都是时间的函数。建立的方程是微分方程。动力计算的内容研究结构在动荷载作用下的动力反应的计算原理和方法。涉及内外两方面的因素：

结构的动力特性：自振频率、阻尼、振型。(自由振动)

荷载的变化规律及其动力反应。(强迫振动)§10-1动力计算的特点和动力自由度FP(t)tFP(t)

t简谐荷载(harmonicload)一般周期荷载(periodicload)⑵冲击荷载：短时内剧增或剧减。⑶随机荷载：(非确定性荷载)荷载在将来任一时刻的数值无法事先确定。（如地震荷载、风荷载）FP(t)ttrFP突加荷载(Suddenlyappliedconstantload)FP(t)ttrFP爆炸荷载2.动荷载分类按其变化规律及其作用特点可分为：⑴周期荷载：随时间作周期性变化(转动电机的偏心力)。动力计算概述

P(t)t随即荷载(randomload)FP(t)I3.动力计算中体系的自由度(degreesoffreedom)确定运动过程中任意时刻全部质量的位置所需独立几何参数的个数称为体系的振动自由度。质量都是连续分布的，结构都是无限自由度的。常作简化。

⑴集中质量法(methodoflumpedmass)

把质量集中为几个质点，将一个无限自由度的问题简化成有限自由度问题。I2Im+am柱厂房排架水平振动时的计算简图动力计算概述单自由度体系(singledegreeoffreedomsystem)mm>>m梁三个自由度体系m动力计算概述水平振动时的计算体系多自由度体系构架式基础顶板简化成刚性块θ(t)v(t)u(t)三个自由度复杂体系可通过加支杆限制质量运动的办法确定体系的自由度。三个自由度为满足位移边界条件的已知函数,称为形状函数,a1,a2,…,an为待定的参数(广义坐标)。xy(x)⑵广义坐标法(generalizedcoordinate)将无限自由度体系化成有限自由度体系的另一种方法是假设振动曲线：烟囱底部的位移条件：于是近似设变形曲线为:n个自由度体系简支梁的位移条件：y(0)=0,y(l)=0于是近似设变形曲线为:n个自由度体系∞动力计算概述几点注意：⑴对于具有集中质量的体系，其自由度数并不一定等于集中质量数，可能比它多，也可能比它少。⑵体系的自由度与其超静定次数无关。⑶体系的自由度数目决定了结构动力计算的精度。⑷在几何构造分析中所说的自由度是刚体系的运动自由度，动力计算中讨论的自由度是变形体系中质量的运动自由度。一个质点两个自由度两个质点一个自由度动力计算概述单自由度体系动力分析的重要性①具有实际应用价值，或进行初步的估算。②是多自由度体系动力分析的基础。自由振动(freevibration)：振动过程中没有干扰力作用，振动是由初始位移或初始速度或两者共同影响下所引起的。§10-2单自由度体系的自由振动单自由度体系动力分析的重要性①具有实际应用价值，或进行初步的估算。②多自由度体系动力分析的基础。自由振动(freevibration)：振动过程中没有干扰力作用，振动是由初始位移或初始速度或两者共同影响下所引起的。1.自由振动微分方程的建立（不计阻尼）（依据达朗伯原理）m⑴刚度法(stiffnessmethod)(D’Alember’sprinciple)y(t)l0kmkyky(t)刚度法从质点受力平衡的角度建立自由振动微分方程。弹簧的刚度系数k=柱顶有单位水平位移是在柱顶所需施加的水平力。§10-2单自由度体系的自由振动⑵柔度法(flexibilitymethod)：

从体系的位移协调角度建立的自由振动微分方程。取体系为研究对象，加惯性力：δmky(t)柔度系数δ等于柱顶有单位水平力时产生的柱顶水平位移。2.自由振动微分方程的解y0－y0Ty(t)ty(t)tv0/ω－v0/ωtTa－a单自由度体系的自由振动δF=11k振幅:Amplitudeofvibration初始相位角:initialphaseangle3.结构的自振周期和自振频率(naturalperiodandnaturalfrequency.)是周期函数,且周期是频率(frequency)是每秒钟内的振动次数。圆频率(circular

frequency)

是2π秒内的振动次数。无阻尼自由振动是简谐振动，振动一次需要的时间。单自由度体系的自由振动自振周期计算公式的几种形式圆频率计算公式的几种形式其中d—柔度系数，它表示在质点上沿振动方向加单位荷载使质点沿振动方向所产生的位移。k—刚度系数，使质点沿振动方向发生单位位移时，须在质点上沿振动方向施加的力。Δst=Wd

—在质点上沿振动方向施加数值为W的荷载时质点沿振动方向所产生的位移。计算时可根据体系的具体情况，视d、k、Dst

三者中哪一个最便于计算来选用。W是质点的重力单自由度体系的自由振动用于各质点惯性力共线的单自由度体系。δF=11k自振周期计算公式的几种形式：圆频率计算公式的几种形式：一些重要性质：⑴自振频率（周期）与且只与结构的质量和结构的刚度有关，是结构的固有特性，也称为固有周期（固有频率）。⑵自振频率与质量的平方根成反比，质量越大，频率越小(周期越大)；自振频率与刚度的平方根成正比，刚度越大，频率于大（周期越小）；要改变结构的自振周期，只有从改变结构的质量或刚度着手。单自由度体系的自由振动用于各质点惯性力共线的单自由度体系。P=1l/2例1：图示三根单跨梁，EI=常数，在梁中点有集中质量m，不考虑梁的质量，试比较三者的自振频率。FP=1l/4FP=15l/323l/16P=1l/2FP=1l/8l/8l/8⑵求频率：据此可得：ω1:ω2:

ω3=1:1.512:2结构约束越强,其刚度越大,刚度越大,其自振动频率也越大。单自由度体系的自由振动l/2l/2l/2l/2l/2l/2mmm解：⑴求dl/2l/2ml/2l/2kACBFQCAFQCB例2：用求刚度系数法求图示梁的频率。EI=常数，在梁中点有集中质量m，不考虑梁的质量。1解：⑴求k单自由度体系的自由振动⑵求频率：例3：求图示刚架的自振频率。不计柱的质量。EIEIEI1=∞mlh13EI/h26EI/h26EI/h2k12EI/h33EI/h3解：⑴求kM单自由度体系的自由振动⑵求频率：h1θ解法1：求kMBA=kh=MBCk解法2：求δ例4：求图示刚架的自振频率。不计柱的质量。1δ单自由度体系的自由振动I=∞EIBAClhmI=∞EIACBlEImk11kkk1对于静定结构一般计算柔度系数方便。如果振动体系沿振动方向发生单位位移时，所有刚结点都不发生转动(如刚性横梁的刚架)计算刚度系数方便。一端铰结一端铰接的杆的侧移刚度为：注意：两端刚结的杆的侧移刚度为：解：求刚度系数例5：求图示梁的自振频率。不计梁的质量。单自由度体系的自由振动1111k1l/32l/3m解：⑴求梁在质点处的刚度系数k11例6：求图示梁的自振频率。不计梁的质量。⑵求体系的刚度系数kk

1单自由度体系的自由振动⑶求频率

强迫振动(forcedvibration)结构在荷载作用下的振动。FP(t)强迫振动的微分方程§10-3单自由度体系的强迫振动my(t)l0kmkyky(t)FP(t)FP(t)弹簧的刚度系数k=柱顶有单位水平位移时在柱顶所需施加的水平力。二阶常系数非齐次微分方程，其通解有两部分组成：①齐次解：②特解：依据荷载情况具体确定特解。取质点平衡1.简谐荷载(harmonicload)：特解

：最大静位移yst是把荷载幅值当作静荷载作用时结构所产生的位移.通解:设t=0时的初始位移和初始速度均为零，则：过渡阶段：振动开始两种振动同时存在的阶段；平稳阶段：后来只按荷载频率振动阶段。(由于阻尼的存在)按自振频率振动按荷载频率振动单自由度体系的强迫振动

重要的特性：当q/w→0时,b→1，荷载频率＜＜结构的自振频率时（如

q≤0.2w）,可作静荷载处理。0<q/w<1时,

b

>1，位移与荷载同向，随q/w增大β增大。当q/w

→1时,b→∞，振幅会无限增大，称为“共振”。通常把0.75<q/w<1.25称为共振区。平稳阶段：最大动位移(振幅)为：动力系数(magnificationfactor)共振(resonance)当q/w>1时,b

<0，位移与荷载反向，β的绝对值随q/w

的增大而减小。当q/w

>>1，

b

→0，结构几乎无反映。只在静力平衡位置作微小振动。单自由度体系的强迫振动1023123当0<

q/w

<1时，动力效应

静力效应，位移与荷载

向；当q/w

接近1时，动力效应

静力效应；当1<<q/w

时，动力效应

静力效应，位移与荷载

向。>>><<同反动荷载：荷载幅值引起的静位移β动力系数位移、惯性力、动荷载同频率同相位同时达到幅值。

q/w<1时,

与荷载同向。

1<q/w时,

与荷载反向。当动荷载与质点惯性力共线时两者可合成为一个力。结构在一个力作用下，不论此力如何变化，各截面的内力和位移都按同一比例变化，可采用统一的动力系数。先求动荷载幅值引起的静位移、静内力及动力系数b，将静位移、静内力乘以b即得动位移和动内力的幅值。（比例算法）无阻尼单自由度体系简谐荷载下的动力反应计算动位移：惯性力：例7：电机质量m=123kg，转速n=1200r/min，离心力FP=40N

。梁的E=2.06×105MPa

，I=78cm4

,不计梁的质量和阻尼，求梁的最大动位移及最大动力弯矩。解：①求ω,θ②求b1mFPsinqt

力长度应力单位NmmMPaNmPa③求ystmax

,Mstmax1mFP④求ydmax

,Mdmax⑤求ymax

,Mmax1mW例8：有一长l=4m简支梁(I28b)，惯性矩I=7480cm4，截面系数W=534cm3，E=2.1×105MPa。在跨中点有重G=35kN电动机，转速n=500r/min。转动时产生离心力FP=10kN，其竖向分量为FPsinθt。忽略梁的质量，试求强迫振动的动力系数和最大挠度和最大正应力。解：①求自振频率和荷载频率

①求动力系数175.6MPaI22b3570cm4357039.739.71.3552.3/57.4=0.91共振区内325149.2单自由度体系的强迫振动采用较小截面的梁既可避免共振，又能获得较好的经济效益。比例算法只适用于单自由度体系当动荷载与质点惯性力共线的情况。对于动荷载与质点惯性力不共线的单自由度体系，以及多自由度体系，均不能采用这一方法。位移、惯性力、动荷载同频率同相位同时达到幅值。

θ/ω<1时,

与荷载同向。1<θ/ω时,

与荷载反向。无阻尼单自由度体系简谐荷载下的动力反应计算①当动荷载与质点惯性力共线时用比例算法：先求动荷载幅值引起的静位移、静内力及动力系数β，将静位移、静内力乘以β即得动位移和动内力的幅值。②当动荷载与质点惯性力不共线时用一般方法：由于结构的弹性内力与位移成正比，所以位移达到幅值时内力也达到幅值。将荷载幅值和惯性力幅值加在结构上，按一般静力学方法求解。1l/8l/4例9求图示简支梁当时，质点的动位移幅值和动弯矩幅值（不计梁的自重和阻尼）。

解：①求ω②求yst和振幅aEIl/4l/4l/2mFP3FPl/16FP质点振幅为，与荷载同向。0.34FPl0.43FPl弯矩幅值图③求动力效应惯性力幅值为,与荷载反向。FPFImax=1.22FPFPFImax=2.25FP弯矩幅值图0.094FPl0.428FPl2.一般荷载一般荷载作用下的动力反应可利用瞬时冲量的动力反应来推导。⑴瞬时冲量的动力反应设体系在t=0时静止，然后有瞬时冲量S作用。FP(t)tFP瞬时冲量S引起的振动可视为由初始条件引起的自由振动。由动量定理：Δtτtt't'单自由度体系的强迫振动在t=τ时有瞬时冲量作用⑵任意荷载FP(t)的动力反应FP(t)tττ时刻的微分冲量对t瞬时(t>τ)引起的动力反应:初始静止状态的单自由度体系在任意荷载作用下的位移公式:(Duhamel积分)初始位移y0和初始速度v0不为零时在任意荷载作用下的位移公式:t单自由度体系的强迫振动⑶几种荷载的动力反应①突加荷载FP(t)tFPysty(t)ωt0π2π3π质点围绕静力平衡位置作简谐振动代入Duhamel积分公式单自由度体系的强迫振动②短时荷载FP(t)tu阶段Ⅰ(0<t<u)：与突加荷载相同，阶段Ⅱ(t>u)：无荷载，以t=u时的位移和速度为初始条件作自由振动。或者直接由Duhamel积分作：单自由度体系的强迫振动FP另解：短时荷载可认为由两个突加荷载叠加而成。当0<t<u当t

>u单自由度体系的强迫振动突加荷载1突加荷载2短时荷载最大动反应当

u>0.5T

时最大动位移发生在阶段Ⅰ当

u<0.5T

时最大动位移发生在阶段Ⅱb=2β1/611/22动力系数反应谱(β与T和μ之间的关系曲线)单自由度体系的强迫振动③线性渐增荷载FP0tr这种荷载引起的动力反应同样可由Duhamel积分得到:对于这种线性渐增荷载，其动力反应与升载时间的长短有很大的关系。其动力系数的反应谱如下：单自由度体系的强迫振动P(t)t01.02.03.04.01.41.21.01.61.82.0βtrFP0动力系数反应谱(spectrumofmagnificationfactor)动力系数b介于1与2之间。如果升载很短tr<T/4，则b接近于2，即相当于突加荷载情况。如果升载很长tr>4T，则b接近于1，即相当于静荷载情况。常取外包虚线作为设计的依据。单自由度体系的强迫振动ty钢筋混凝土楼板自由振动试验曲线因为在振幅位置结构的变形速度为零（动能=0），故在振幅位置的变形势能就代表体系全部机械能。振幅随时间减小，变形随时间减小，应变能（全部机械能）随时间减小。这表明在振动过程中能量在损耗。

振动过程中引起能量损耗的因素称为阻尼。振幅位置的应变能（全部机械能）在减小§10-4阻尼对振动的影响忽略阻尼影响时所得结果

能不能

反映实际结构的振动规律。大体上忽略阻尼的振动规律考虑阻尼的振动规律结构的自振频率是结构的固有特性，阻尼对频率影响很小。简谐荷载作用下有可能出现共振。自由振动的振幅永不衰减。自由振动的振幅逐渐衰减。共振时的振幅趋于无穷大。共振时的振幅较大但为有限值。产生阻尼的原因：结构与支承之间的外摩擦；材料之间的内摩擦；周围介质的阻力。阻尼力的确定：总与质点速度反向;大小与质点速度有如下关系：①与质点速度成正比（比较常用，称为粘滞阻尼力）。②与质点速度平方成正比（如质点在流体中运动受到的阻力）。③与质点速度无关（如摩擦力）。粘滞阻尼力的分析比较简单，(因为Fc(t)=－cy).其他阻尼力也可化为等效粘滞阻尼力来分析。单自由度体系的强迫振动考虑阻尼的振动模型kyFP(t)动平衡方程：1.有阻尼的自由振动(阻尼比dampingratio）设解为：特征方程为：(characteristicequation)⑴ξ<1（低阻尼）情况..kFP(t)ymcy引入初始条件确定积分常数后为：单自由度体系的强迫振动ae-ξωtty低阻尼y-t曲线无阻尼y-t曲线①阻尼对自振频率的影响.当ξ<0.2，则0.96<ωr/ω<1在工程结构问题中，0.01<ξ<0.1可近似取ty计算结构的自振频率可以不考虑阻尼的影响.单自由度体系的强迫振动②阻尼对振幅的影响。振幅随时间衰减,相邻两个振幅的比振幅按等比级数递减。称为振幅的对数递减率.(logarithmicdecrement)

设yk和yk+n是相隔n个周期的两个振幅则:经过一个周期后，相邻两振幅yk和yk+1的比值的对数为:工程中常用此方法测定阻尼单自由度体系的强迫振动举例⑵ξ=1（临界阻尼）情况tyy0θ0这条曲线仍具有衰减性，但不具有波动性.ξ=1的阻尼常数称为临界阻尼常数cr(criticaldampingcoefficient),（振与不振的分界点）的解为：引入初始条件后为：⑶ξ>1（强阻尼）情况特征方程的特征值为：体系不出现振动现象，实际问题中很少遇到，不讨论。单自由度体系的强迫振动EI=∞m例10：图示结构的质量m均集中在横梁处。在FP=9.8kN作用下，测得侧移A0=0.5cm，然后突然卸载使结构发生水平自由振动。再测得周期T=1.5s及一个周期后的侧移A1=0.4cm。求结构的阻尼比ξ和阻尼系数c。9.8kN解：单自由度体系的强迫振动返回2.有阻尼受迫振动kyFP(t)..kFP(t)ymcy动平衡方程：⑴简谐荷载：

FP(t)=FPsinθt设特解为：代入微分方程，整理后得：荷载幅值引起的静力位移单自由度体系的强迫振动方程的解仍然由齐次解（具有频率ωr的自由振动）和特解（具有频率θ的纯强迫振动）组成。由于阻尼的作用，频率为ωr的自由振动将逐渐衰减而最后消失，只有频率为θ的纯强迫振动不衰减，这部分振动成为平稳振动。4.03.02.01.001.02.03.0βθ/ωξ=0ξ=0.1ξ=0.2ξ=0.3ξ=0.5ξ=1.0几点讨论：①ξ对b的影响与q/w有关。随ξ增大b曲线渐趋平缓。特别是在q/w

=1附近ξ对

b的影响最为显著。②q=w即共振时，xb21=共振时忽略阻尼时b=∞，考虑阻尼时b

=很大的有限值。在0.75<q/w

<1.25(共振区)内，阻尼大大地减小了强迫振动的位移，阻尼不容忽略。

在共振区之外阻尼对b的影响较小，可按无阻尼计算。单自由度体系的强迫振动当q<<w时,

a→0°。体系振动得很慢，荷载可作静

荷载处理。惯性力FI、阻尼力Fc较小，荷载FP主要由

弹性力Fe平衡

(FP与Fe反向)，Fe与y反向，所以FP与y

同步。当q>>w时,a→180°。体系振动得很快，FI很大，FI、Fc相对较

小，FP主要由FI平衡，

FI与y同向，所以

y与FP反向。②ξ对相位差α的影响与θ/ω有关。SFP(t)当q=w，a→90°，共振Fe与FI平衡，有无阻尼均如此，Fc与FP平衡。由此可见：共振时（q=w），弹性力与惯性力刚好互相平衡,有无阻尼均如此。动荷载恰与阻尼力平衡，故运动呈现稳态，不会出现位移为无穷大的情况。而在无阻尼强迫振动时，因不存在阻尼力来平衡动荷载，才出现位移为无限大的现象。单自由度体系的强迫振动③弹性动内力幅值的计算。一般方法：由于结构的弹性内力与位移成正比，所以位移达到幅值，内力也达到幅值。将位移达到幅值时刻的荷载值和惯性力值加在结构上，按一般静力学方法求解。惯性力与位移同时达到幅值。荷载与位移无阻尼时同时达到幅值。有阻尼时位移总滞后荷载一个相位角a

。比例算法：无阻尼单自由度体系且荷载作用在振动质点上

(动荷载与惯性力共线)时，产生振幅a的外力值为:这意味着，动内力和动位移幅值是荷载幅值FP产生的静内力和静位移的b倍。注意：位移达幅值时，速度为零，故阻尼力为零，计算时不必考虑阻尼力。单自由度体系的强迫振动例11：图示机器与基础总重量W=60kN，基础下土壤的抗压刚度系数为cz=0.6N/cm3=0.6×103kN/m3，基础底面积

A=20m2。试求机器连同基础作竖向振动时①自振频率。②机器运转产生FPsinqt,FP=20kN，转速为400r/min。求振幅及地基最大压力。③如考虑阻尼，阻尼比ξ=0.5，求振幅及地基最大压力。解:

①让振动质量向下发生单位位移需施加的力为：

k=czA=0.6×103×20

=12×103kN/m单自由度体系的强迫振动W②求荷载频率求动力系数竖向振动振幅地基最大压力③求动力系数竖向振动振幅地基最大压力单自由度体系的强迫振动共振区，阻尼的影响不容忽视！⑵有阻尼时的杜哈梅积分（ξ<1）FP(t)tFP在t=0时瞬时冲量dS=FPdt=v0m引起的振动可视为由初始条件v0=FPdt/m，

y0=0引起的自由振动：dtτtt't'在t=τ时有瞬时冲量作用。将荷载FP

(t)的加载过程看作一系列瞬时冲量，

dS=FP

(τ)

dτ引起的动力反应为：总反应：有阻尼的杜哈梅积分在计算地震作用的动力反应时有用。单自由度体系的强迫振动⑶突加荷载FP0低阻尼y-t曲线无阻尼y-t曲线ysty(t)ωt0π2π3π4π5πy(t)ωt0π2π3π4π5π静力平衡位置具有阻尼的体系在突加荷载作用下，最初所引起的最大位移接近于静位移yst=FP0/mω2的2倍,然后逐渐衰减，最后停留在静力平衡位置。单自由度体系的强迫振动两个自由度体系是最简单的多自由度体系.但能清楚地反映多自由度体系动力特征的计算特点。建立多自由度体系运动方程的方法有：刚度法：建立力的平衡方程。柔度法：建立位移协调方程。实际工程中，很多问题可以简化为单自由度体系计算，也有很多结构的振动问题不能按单自由度体系计算。如多层房屋的侧向振动，不等高排架的振动，柔性较大的高耸结构在地震作用下的振动等，都应按多自由度体系计算。§10-5两个自由度体系的自由振动m2mmmm各有其适用范围。y1(t)y2(t)1.刚度法r2r1y1(t)y2(t)r2r1质点动平衡方程由质点动平衡方程建立自由振动微分方程。两个自由度体系的自由振动乘y1(t)k11k21乘y2(t)k12k2211=+解质点动平衡方程

两个自由度体系的自由振动设：展开是ω2的二次方程，解得ω2两个根为：这两个根都是正根为了得到Y1、Y2的非零解，应使系数行列式等于零。频率方程两个自由度体系有两个自振频率。特点:①两质点具有相同的频率和相同的相位角。②两质点的位移随时间变化，但两者的比值始终保持不变y1(t)/y2(t)=Y1/Y2=常数。这种结构位移形状保持不变的振动形式称为主振型或振型。证明几点注意：

①自振频率个数=自由度数.②每个自振频率相应一个主振型。主振型是多自由度体系能够按单自由度体系振动时所具有的特定形式.③自振频率和主振型是体系本身的固有特性。只与体系本身的刚度系数及其质量分布情形有关。位移幅值方程两个自由度体系的自由振动求主振型：因为D=0，不能求出Y1和Y2的值只能求出其比值（即主振型）。与ω1相应第一振型与ω2相应第一振型振型阶数振动方向②故矩阵[k]为正定矩阵。矩阵[k]为正定矩阵的充分必要条件是：它的行列式的顺序主子式全部大于零。因此有所以

于是得到ω2的两个根均为正根。两个自由度体系的自由振动①将根号内的式子变形成所以ω2

的两个根均为

实根。返回k11例12：质量集中在楼层上m1、m2，层间侧移刚度为k1、k2。求刚架水平振动时的自振频率和振型。m2m1k2k1k211解：求刚度系数：k22k121①当m1=m2=m,k1=k2=k，

两个自由度体系的自由振动计算频率返回求主振型第一主振型：Y21=1.618Y11=1第一主振型第二主振型：第二主振型Y22=－0.618Y11=1

Yij为正时表示质量mi的运动方向与计算刚度系数时置于其上的单位位移方向相同，为负时，表示与单位位移方向相反。两个自由度体系的自由振动②当m1=nm2,k1=nk2，k11=(1+n)k2，k12=－k2，k22=k2求频率：求振型：如n=90时当上部质量和刚度很小时，顶部位移很大。（鞭梢效应）第一振型：第二振型：建筑物顶部的小阁楼、女儿墙、建筑物立面有较大的收进或为了加大建筑空间而在顶部减少剪力墙等,都可能使结构少数层刚度和质量突然变小，加剧地震作用下的鞭稍效应。两个自由度体系的自由振动例13：试求图示结构的自振频率；如初始条件为Y10=0.02m,Y20=－0.00473m，初速为零，体系作何种振动。①求刚度系数②代入频率计算公式11两个自由度体系的自由振动m2=m2体系按第二振型振动③求主振型④初始条件为Y10=0.02m,Y20=－0.00473m,初速为零，体系的振动情况。两个自由度体系的自由振动根据质点的动位移等于各质点惯性力共同作用下产生的静位移，建立自由振动微分方程。12.柔度法1结构的柔度系数δij

物理意义是：在第j

个位移方向加单位力时产生的第i个方向上的位移。两个自由度体系的自由振动y2(t)y1(t)δ11δ21δ22δ12质点位移方程代入微分方程质点惯性力幅值其中：λ=1/ω2两个自由度体系的自由振动解质点位移方程

设特点:①两质点具有相同的频率和相同的相位角.②两质点的位移随时间变化，但两者的比值始终保持不变y1(t)/y2(t)=Y1/Y2=常数。这种结构位移形状保持不变的振动形式称为主振型或振型

主振型的位移幅值是体系由此主振型惯性力幅值所引起的静力位移。Y11Y21Y12Y22位移幅值方程为一关于λ的二次方程。解出λ的两个根：频率方程频率频率数目=自由度数目位移幅值方程其中：λ=1/ω2Y1，Y2不能全为零。求主振型：因为D=0，不能求出Y1和Y2的值只能求出其比值（即主振型）。第一主振型第二主振型主振型的数目=自由度数目。因固有振动的特解是简谐振动，所以位移和惯性力同时达到幅值。主振型恰好为相应惯性力幅值产生的静力位移。应用功的互等定理：因为ω1≠ω2第一正交关系3.主振型的正交性(orthogonalityofnormalmodes)m1m2Y11Y21m1m2Y12Y22在振动过程中，某一主振型的惯性力不会在其他主振型上做功。即它的能量不会转移到其他主振型上，也不会引起其他主振型的振动。故各个主振型能单独存在而不互相干扰。两个自由度体系的自由振动例14：求简支梁的自振频率和主振型。解：⑴求柔度系数⑵求得频率：⑶主振型：l/3l/3l/311mm两个自由度体系的自由振动例14：求简支梁的自振频率和主振型。l/3l/3l/3mml/3另解：如果结构本身和质量分布都是对称的，则主振型不是对称就是反对称。故可取半边结构计算：1对称情况：l/91反对称情况：对称主振型：反对称主振型：比较两个频率，较小的为第一频率。验证主振型正交性：两个自由度体系的自由振动例15：计算体系的自振频率和振型。并验证主振型的正交性。llmEIEI

1

1ll①求柔度系数②代频率计算公式求频率两个自由度体系的自由振动③代振型公式求振型10.414第一振型第一振型12.414

Yij为正时表示质量mi的运动方向与计算柔度系数时置于其上的单位力方向相同，为负时，表示与单位力方向相反。④验证主振型正交性两个自由度体系的自由振动例16：求图示集中质量体系的自振频率(各杆EI为常数)。mlll1

1l/2l/2l⑵代入频率方程解：⑴求柔度系数1l/2lmllm/2lm/2lEI/2l对称振型反对称振型

1例16：求图示集中质量体系的自振频率(各杆EI为常数)。另解：利用对称性。

11.柔度法§10-6两个自由度体系在简谐荷载下的强迫振动⑴建立振动微分方程因为荷载频率在共振区之外时，阻尼影响很小；在共振区之内时，计不计阻尼，都能反映共振现象。故忽略阻尼。并设各简谐荷载的频率相同、相位相同。ΔiP荷载幅值产生的质点i静位移m1m2tFPqsiny1y211FP通解=齐次解()＋特解()自由振动强迫振动⑵动位移的解答及讨论由于阻尼平稳振动n个自由度体系，存在n

个可能的共振点。⑶纯强迫振动解答设为：代入：⑷对振幅解答的讨论两个自由度体系在简谐荷载下的受迫振动?=0⑸动内力幅值的计算

荷载、位移、惯性力同频率、同相位、同时达到最大。位移达到最大值时，内力也达到最大值。于是，可将动荷载和惯性力的幅值作为静荷载作用于结构，用静力法求解。或：由Y1，Y2值可求得位移和惯性力。惯性力的幅值为：由位移幅值方程得到求惯性力幅值的方程（直接求惯性力幅值）两个自由度体系在简谐荷载下的受迫振动位移惯性力荷载例17：简支梁EI=常数,θ=0.75ω1。求动位移和动弯矩幅值。解：①求柔度系数两个自由度体系在简谐荷载下的受迫振动②MP图，求Δ1P,Δ2PtFPqsinl/4l/4l/2mm11FP③计算位移幅值④计算惯性力幅值两个自由度体系在简谐荷载下的受迫振动11FP⑤计算动内力I1=0.6808FPFP

I2=0.6051FP1.4119FP

0.2689FP0.8740FPFQd

图0.3530FPl0.2180FPlMd

图⑥比较动力系数因此，