结构力学李廉锟版-力法课件

第七章力法

第一节

超静定结构概述第二节超静定次数的确定第三节力法的基本概念第四节力法的典型方程第五节力法的计算步骤和示例第六节对称性的利用第七节超静定结构的位移计算第八节最后内力图的校核第十节

支座位移时超静定结构的计算第九节温度变化时超静定结构的计算§7-11*

用弹性中心法计算无铰拱§7-12*

两铰拱及系杆拱第十一节超静定结构的特性本章总结本章自测题超静定结构：具有多余约束的结构。几何特征：具有多余约束的几何不变体系。

静力特征：反力和内力不能仅由平衡条件全部解出。外部一次超静定结构内部一次超静定结构一、超静定结构的静力特征和几何特征第一节超静定结构概述思考：多余约束是多余的吗？从几何角度与结构的受力特性和使用要求两方面讨论。

超静定结构的优点为:1.内力分布均匀2.抵抗破坏的能力强第一节超静定结构概述二、超静定结构的类型超静定梁超静定刚架超静定拱两铰拱

无铰拱第一节超静定结构概述超静定桁架超静定组合结构第一节超静定结构概述MethodsofAnalysisofStaticallyIndeterminateStructures遵循同时考虑“变形、本构、平衡”分析超静定问题的思想，可有不同的出发点：

以力作为基本未知量，在自动满足平衡条件的基础上进行分析，这时主要应解决变形协调问题，这种分析方法称为力法（forcemethod）。三、超静定结构求解方法概述1.力法----以多余约束力作为基本未知量基本未知量：当它确定后，其它力学量即可完全确定。--关键量

第一节超静定结构概述

以位移作为基本未知量，在自动满足变形协调条件的基础上来分析，当然这时主要需解决平衡问题，这种分析方法称为位移法（displacementmethod）。

如果一个问题中既有力的未知量，也有位移的未知量，力的部分考虑位移协调，位移的部分考虑力的平衡，这样一种分析方案称为混合法（mixturemethod）。2.位移法----以结点位移作为基本未知量3.混合法----以结点位移和多余约束力作为基本未知量第一节超静定结构概述4.力矩分配法----近似计算方法

位移法的变体，便于手算，不用解方程。5.结构矩阵分析法----有限元法.以上各种方法共同的基本思想:4.

消除差别后，改造后的问题的解即为原问题的解。3.

找出改造后的问题与原问题的差别；2.

将其化成会求解的问题；

1.

找出未知问题不能求解的原因；适用于电算

第一节超静定结构概述超静定次数：多余约束（联系）或基本未知力的个数。一、概念

二、确定方法

1）由计算自由度确定2）去约束法

将多余约束去掉，使原结构转化为静定结构。

？第二节超静定次数的确定

解除多余约束的办法确定超静定结构的超静定次数，应注意以下几点：（1）去掉一根链杆，等于拆掉一个约束。两铰拱，一次超静定结构。一次超静定桁架曲梁，静定结构。静定桁架第二节超静定次数的确定去掉几个约束后成为静定结构,则为几次超静定X1X1X2X2X3X3X1X2X3去掉一个链杆或切断一个链杆相当于去掉一个约束第二节超静定次数的确定（2）去掉一个铰支座或一个单铰，等于拆掉两个约束。（3）去掉一个固定支座或切断一个梁式杆，等于拆掉三个约束。切断一个梁式杆，等于拆掉三个约束。第二节超静定次数的确定（4）在梁式杆上加上一个单铰，等于拆掉一个约束。三次超静定刚架静定三铰刚架静定悬臂刚架（5）去掉一个连接n个杆件的铰结点，等于拆掉2(n-1)个约束。（6）去掉一个连接n个杆件的刚结点，等于拆掉3(n-1)个约束。第二节超静定次数的确定五次超静定刚架注意：同一超静定结构可有不同的解除多余约束的方式，但解除约束的个数是相同的,解除约束后的体系必须是几何不变的。（7）只能拆掉原结构的多于约束，不能拆掉必要约束。（8）只能在原结构中减少约束，不能增加新的约束。第二节超静定次数的确定

以五个支座链杆为多余约束静定悬臂刚架其它形式的静定刚架：静定三铰刚架静定简支刚架第二节超静定次数的确定3）框格法一个封闭无铰框格

个封闭无铰框格第二节超静定次数的确定若有铰

—

单铰数，则

注意：多少个封闭无铰框格？第二节超静定次数的确定三、计算示例

拆除多余联系变成的静定结构形式：第二节超静定次数的确定第二节超静定次数的确定1.力法基本思路待解的未知问题

原（一次超静定）结构1)、去掉多余约束代之以多余未知力，将原结构转化一个在荷载和未知力共同作用下的静定结构(基本体系)。基本体系力法基本未知量去掉余约束代之以多余未知力，得到基本体系。第三节力法的基本概念2)、沿多余未知力方向建立位移协调方程，解方程就可以求出多余未知力X1。原结构的B是刚性支座,该点的竖向位移是零。即原结构在的X1位移为：

位移协调条件：基本结构在原有荷载

q

和多余力X1共同作用下，在去掉多余联系处的位移应与原结构相应的位移相等。变形条件

在变形条件成立条件下,基本体系的内力和位移与原结构等价.第三节力法的基本概念超静定结构计算静定结构计算

基本结构（悬臂梁）

对静定结构进行内力、位移计算，已经很掌握。

第三节力法的基本概念

在荷载作用下B点产生向下的位移为⊿1P,未知力的作用将使B点产生的向上的位移为⊿11

。

要使体系的受力情况与原结构一样,则必须B的位移也与原结构一样，要求：位移协调条件Δ1=Δ11+Δ1P=0

(a)

Δ1P——基本结构由荷载引起的竖向位移,

Δ11——基本结构由知力引起的竖向位移。第三节力法的基本概念由叠加原理Δ11=δ11X1

δ11X1+Δ1P=0(b)

——力法典型方程—

位移系数自乘—

广义荷载位移互乘第三节力法的基本概念将δ11、Δ1P入力法典型方程，解得:3)、将求出的多余未知力作用于基本结构，用叠加法即可求出超静定结构的内力。第三节力法的基本概念

2.几个概念

力法的基本未知数:超静定结构多余约束的未知约束力,即超静定次数。

力法的基本结构:把原超静定结构的多余约束去掉,所得到的静定结构就称为原结构的基本结构。

力法的基本体系:在基本结构上加上外荷载及多余约束力，就得到了基本体系。

力法的基本方程:根据原结构已知变形条件建立的力法方程。对于线性变形体系，应用叠加原理将变形条件写成显含多余未知力的展开式，称为力法的基本方程。第三节力法的基本概念

选取基本体系的原则：基本体系必须是几何不变的。通常取静定的基本体系。在特殊情况下也可以取超静定的基本体系。思考：力法的基本体系是否唯一？答：不唯一。解除不同的多余约束可得不同的基本体系。第三节力法的基本概念力法基本思路小结:

根据结构组成分析，正确判断多余约束个数——超静定次数。

解除多余约束，转化为静定的基本结构。多余约束代以多余未知力——基本未知力。

分析基本结构在单位基本未知力和外界因素作用下的位移，建立位移协调条件——力法典型方程。

从典型方程解得基本未知力，由叠加原理获得结构内力。超静定结构分析通过转化为静定结构获得了解决。第三节力法的基本概念将未知问题转化为已知问题，通过消除已知问题和原问题的差别，使未知问题得以解决。这是科学研究的基本方法之一。第三节力法的基本概念

超静定刚架如图所示,荷载是作用在刚性结点C上的集中力矩M

。一、多次超静定的计算原结构基本结构基本体系（1）力法基本未知量X1

与X2第四节力法的典型方程（2）位移协调条件：基本结构在原有荷载M和赘余力X1、X2共同作用下，在去掉赘余联系处的位移应与原结构相应的位移相等。（a）基本体系在X1方向的位移为零，Δ1=0

基本体系在X2方向的位移为零,Δ2=0}第四节力法的典型方程（b）将，，代入（b）式，得两次超静定的力法基本方程（c）第四节力法的典型方程

（3）计算系数与自由项。作出基本结构分别在单位力与荷载单独作用下的弯矩图。第四节力法的典型方程第四节力法的典型方程（4）求出基本未知力。将计算出来的系数与自由项代入典型方程得解方程得，求得的X1、X2为正，表明与原假定的方向一致。第四节力法的典型方程

先作弯矩图（），把弯矩图画在杆件的受拉纤维一侧。再作剪力图，最后作轴力图。

由刚结点C的平衡可知M图正确。(5)作内力图。第四节力法的典型方程杆AC:

杆CB:

作剪力图的原则是,截取每一杆为隔离体，由平衡条件便可求出剪力。第四节力法的典型方程取刚结点C为隔离体，由投影平衡条件解得

（拉），（压）

作最后轴力图的原则是考虑结点平衡，由杆端的剪力便可求出轴力。第四节力法的典型方程二、力法典型方程n次超静定定结构，力法典型方程为

（7-1a）

柔度系数ij——

表示当单位未知力Xj=1作用下,引起基本体系中Xi

的作用点沿Xi方向的位移。思考：柔度系数由什么的特点？答：，。第四节力法的典型方程

自由项

iP——荷载作用下引起基本体系中Xi

的作用点沿Xi方向的位移。通常先用叠加原理计算弯矩

由力法典型方程解出n个基本未知数X1，X2，…，Xn后就己将超静定问题转化成静定问题了。由弯矩图并应用平衡条件可求出剪力图和轴力图。第四节力法的典型方程1、力法的典型方程是体系的变形协调方程；2、主系数恒大于零，副系数满足位移互等定理；3、柔度系数是体系常数；4、荷载作用时,内力分布与刚度大小无关，与各杆刚度比值有关，荷载不变，调整各杆刚度比可使内力重分布。小结：第四节力法的典型方程第五节力法的计算步骤和示例例:用力法计算图示刚架，并作M图。解：１)确定力法基本未知量和基本体系基本体系

力法方程：

d11x1+d12x2+D1P=0

d21x1+d22x2+D2P=0２)作M1、M2、MP图第五节力法的计算步骤和示例基本体系MP第五节力法的计算步骤和示例３）计算系数、自由项

d11=5l/12EId22=3l/4EId12=d21=0

D1P=FPl2/32EID2P=0说明:力法计算刚架时，力法方程中系数和自由项只考虑弯曲变形的影响：

dii=∑∫l(Mi2

/EI)ds

dij=∑∫l(MiMj/EI)ds

DiP=∑∫l(MiMP/EI)ds４）代入力法方程，求多余力x1、x2

（5l/12EI）x1+FPl2/32EI=0x1=-3FPl/40

(3l/4EI)x2=0x2=0５）叠加作M图

MAC=x1M1+x2M2+MP=(-3FPl/40)/2=-3FPl/80(右侧受拉）力法的解题步骤

（1）确定结构的超静定次数，选取适当的约束作为多余约束并加以解除，并代之以多余约束的约束反力,即基本未知数。即得基本体系。（2）列力法方程式

（3）计算系数与自由项。分别画出基本体系在单位未知力和荷载作用下的弯矩图。等直杆用图乘法计算。曲杆则列出弯矩方程用积分公式计算。

（4）将计算出来的系数与自由项代入典型方程。解此方程，求出基本未知力。

（5）在基本体系上计算各杆端内力，并据此作出基本体系的内力图,也就是原结构的内力图。（6）校核。第五节力法的计算步骤和示例

例7-1

用力法求解图示刚架内力，并作弯矩图和剪力图。解:(1)确定超静定次数、选择基本体系。原结构基本体系（2）列出力法典型方程（a）第五节力法的计算步骤和示例(3)计算系数及自由项。作、图由图乘得第五节力法的计算步骤和示例(4)解方程求未知力。将与代入式（a），消去公因子，得解此方程得(5)求作弯矩图。（左侧受拉）（右侧受拉）（下侧受拉）（）第五节力法的计算步骤和示例由,得支座B

的竖向反力为7.5kN（）。(6)作剪力图。利用BE杆力偶系平衡条件得同理第五节力法的计算步骤和示例

支座A的竖向反力为22.5kN（），杆DC的D端剪力应等于(7)作轴力图。根据最后剪力图可作出最后轴力图。第五节力法的计算步骤和示例

例7-2

用力法计算图示刚架，作弯矩图。

解:(1)确定超静定次数并选定基本结构。原结构基本体系第五节力法的计算步骤和示例作、、图(3)

计算系数及自由项。(2)列出力法典型方程。（a）第五节力法的计算步骤和示例两个梯形相乘,可将梯形划分为两个三角形相乘.

再令图a与图b中的CdD相图乘，得将结果相加，得最终图乘结果：令图a与图b中的cdC相图乘，得第五节力法的计算步骤和示例计算ij

由图的与的对称性,有第五节力法的计算步骤和示例第五节力法的计算步骤和示例将、、、代入式(a)并消去公因子得(4)

解方程求未知力。

、即为原刚架上铰C两侧截面上的剪力和轴力。解得第五节力法的计算步骤和示例(5)计算杆端弯矩，作出的最后弯矩图。（外侧受拉）（内侧受拉）（内侧受拉）最后弯矩图

弯矩图具有反对称性质，这是由荷载与结构的对称性决定的。第五节力法的计算步骤和示例

例7-3

用力法计算图（a）所示排架，作弯矩图。已知，，。忽略排架顶部拉杆的轴向变形,将拉杆视为刚性杆。

解:(1)

确定超静定次数并选定基本体系。基本体系(2)列出力法方程。第五节力法的计算步骤和示例(3)

计算系数及自由项。

作MP、M1、M2图。注意δ11与δ22都包括两部分，令M1图左边柱、中间柱的计算结果分别为、由M1图得，第五节力法的计算步骤和示例第五节力法的计算步骤和示例计算自由项(4)解方程求未知力。

将计算出来的系数与自由项代入力法方程式，消去公因子后得第五节力法的计算步骤和示例解得，(5)将、及荷载加在基本结构上，利用平衡条件计算弯矩表明轴力杆DE、FG均受拉。（左侧受拉）（左侧受拉）（左侧受拉）作出弯矩图如图所示。M图(kN.m)第五节力法的计算步骤和示例

例7-4

用力法计算图示桁架，作轴力图。各杆EA相同。基本体系(3)

计算系数及自由项。解:(1)

确定超静定次数及选定基本体系。(2)

列出力法方程为:计算FN1和FNP。第五节力法的计算步骤和示例将、代入式a，消去公因子后得(4)解方程求未知力负号表明杆CD受压。第五节力法的计算步骤和示例(5)计算轴力时应用公式：（拉）（压）（拉）（压）第五节力法的计算步骤和示例注意：1.排架在单层工业厂房中有广泛的应用。排架顶部的轴力杆由厂房屋架简化而来。并且忽略屋架整体沿跨度方向的变形。在受力分析中，通常将屋架与柱顶的联结处当作铰结点处理，这样的排架称铰接排架。2.超静定结构在荷载作用下，结构的内力与杆件截面刚度EI

的绝对值无关,只与各杆截面刚度的相对值有关。第五节力法的计算步骤和示例例7-5

用力法计算图a所示组合结构。已知梁式杆，压杆DC、EF的，，拉杆AD、DE、BE的。解:(1)

一次超静定。(2)

列出力法方程第五节力法的计算步骤和示例(3)

作、、、图。利用位移的公式：第五节力法的计算步骤和示例自相图乘的结果为自相图乘的结果为第五节力法的计算步骤和示例梁的轴向变形对δ11的影响为占δ11的0.28%，故计算δ11时可以略去。第五节力法的计算步骤和示例(4)解方程求未知力。算得（拉）(5)作内力图。（上侧受拉）第五节力法的计算步骤和示例

讨论：由于撑杆DC、EF的存在，使梁上C、F截面出现了负弯矩，整根梁的弯矩分布比简支梁均匀。本例中拉杆与压杆的变形之比为

增减此比值，将使梁中弯矩产生变化。如减小拉杆截面,其轴力下降，导致梁上C、F截面上负弯矩值减小；当EA3→0时，组合结构趋近简支梁。第五节力法的计算步骤和示例基本体系解:(1)原结构是三次超静定。力法基本方程为：例7-6试列出用力法求解图示刚架的力法方程。第五节力法的计算步骤和示例作MP、、、图。(2)计算系数和自由项。第五节力法的计算步骤和示例

可见：对称结构，当所选取的基本结构也对称时,多余未知力分成对称与反对称的两组,使得副系数δ32=

δ23=0,δ31=

δ13=0,方程a化为相互无关的两组。由于结构对称，对称，而反对称，有

，，方程式简化为第五节力法的计算步骤和示例如果荷载对称,则MP图也对称,因而Δ3P=0。

如果荷载反对称,则MP图也反对称,Δ1P=0,Δ2P=0。这样,就可以使计算进一步简化。第五节力法的计算步骤和示例

例7-7

试用力法计算图示单跨梁。梁的B支座为弹簧支承，弹簧的刚度系数为k(当B点产生单位位移弹簧所产生的反力)。基本体系

式中负号表示未知力

X1与位移的方向相反,未知力X1与位移Δ

的关系满足X1=kΔ解：一次超静定结构，力法基本方程为因而,得第五节力法的计算步骤和示例得到力法方程：由图乘得到M1

，所以有M令，代入式上式可解得作M图第五节力法的计算步骤和示例

1.当k>>k'，即弹簧非常刚硬。这时X1过渡到3ql/8，即B端过渡到刚性链杆支座的情况。

k'是悬臂梁(基本结构)B点的刚度,表示使悬臂梁B点产生一单位位移时所需的力。讨论：2.当k→0（或k<<k')

时，即弹簧非常柔软,则原结构便趋近为悬臂梁。在一般情形下，弹簧支座的反力X1比链杆支座的反力3ql/8要小。M第五节力法的计算步骤和示例一、对称性的概念对称结构:几何形状、支承情况、刚度分布对称的结构.对称结构非对称结构支承不对称刚度不对称几何对称支承对称刚度对称第六节对称性的利用对称荷载:作用在对称结构对称轴两侧,大小相等,方向和作用点对称的荷载反对称荷载:作用在对称结构对称轴两侧,大小相等,作用点对称,方向反对称的荷载对称荷载反对称荷载第六节对称性的利用

上面这些荷载是对称,反对称荷载,还是一般性荷载?PllMllPllEI=CllEI=CM第六节对称性的利用二、选取对称基本结构，对称基本未知量和反对称基本未知量PEIEIEIPM1M2M3PMP典型方程分为两组:一组只含对称未知量另一组只含反对称未知量PP第六节对称性的利用PM1M2M3对称荷载，反对称未知量为零PMPPPEIEIEIPX3=0对称结构在正对称荷载作用下，其弯矩图和轴力图是正对称的，剪力图反对称；变形与位移对称。P对称荷载：第六节对称性的利用M1M2M3反对称荷载，对称未知量为零PMPPX1=X2=0对称结构在反正对称荷载作用下，其弯矩图和轴力图是反正对称的,剪力图对称；变形与位移反对称.EIPEIEIPPP反正对称荷载:第六节对称性的利用例1.作图示梁弯矩图Pl/2l/2EIP/2P/2解:X3=0X2=0M11MPP/2P/2Pl/4Pl/4MPPl/8Pl/8第六节对称性的利用例2:求图示结构的弯矩图。EI=常数。

由一个四次超静定结构考虑对称性变成一次超静定。第六节对称性的利用解：根据以上分析，力法方程为：第六节对称性的利用由于

，问题无法化简例：第六节对称性的利用三、未知力分组和荷载分组力法典型方程成为：第六节对称性的利用对称结构承受一般非对称荷载时，可将荷载分组，如：第六节对称性的利用四、取半结构计算对称轴奇数跨对称荷载奇数跨反对称荷载第六节对称性的利用(d)（c）问题：偶数跨对称刚架如何处理？偶数跨对称荷载第六节对称性的利用偶数跨反对称荷载第六节对称性的利用练习:EIEIEIPEIEIP/2PEIEIEIPEIPEIEI第六节对称性的利用PEIEIEIEIEIEIEIEI/2P/2EI=CPP/2PP/2第六节对称性的利用qqqPP/2qqqq第六节对称性的利用例3：求作图示圆环的弯矩图,EI=常数。解：取结构的1/4分析

若只考虑弯矩对位移的影响，有：第六节对称性的利用第六节对称性的利用例4.试用对称性对结构进行简化。EI为常数。FP/2FP

/2FP

/2FP/2I/2I/2FP

/2FP

/2I/2方法1FPFP/2FP/2FPFP

/2FP/2第六节对称性的利用FP/2FP/2I/2FP/4FP/4FP/4I/2FP/4FP/4FP/4I/2FP/4FP/4无弯矩，不需求解第六节对称性的利用FP/4FP/4I/2FP/4FP/4FP/4I/2FP/4FP/4I/2FP/4第六节对称性的利用方法2无弯矩，不需求解FPFP/2FP/2FP/4FP/2FP/2FP/4FP/4FP/4FP/2FP/2FP/4FP/4FP/4FP/4第六节对称性的利用I/2FP/4FP/4FP/4FP/4I/2FP/4FP/4I/2FP/4FP/4FP/4FP/4FP/4FP/2FP/2FP/4第六节对称性的利用五、无弯矩情况判别

在不计轴向变形前提下，下述情况无弯矩，只有轴力。(1)集中荷载沿柱轴作用；(2)等值反向共线集中荷载沿杆轴作用；(3)集中荷载作用在不动结点。可利用下面方法判断：化成铰接体系后，若能平衡外力，则原体系无弯矩。PPPP第六节对称性的利用奇次线性方程的系数组成的矩阵可逆，只有零解。第六节对称性的利用

计算超静定结构的位移的目的之一是校核用力法解出的内力状态。超静定结构的位移计算依据：

根据基本体系的内力与变形状态等价于原超静定结构的内力与变形状态的原理，求超静定结构的位移可转化为求基本体系（静定结构）的位移。求位移—单位荷载法，图乘法1）求出原结构M图，（求解超静定问题）超静定结构的位移计算步骤：第七节超静定结构的位移计算—

以例说明：两次超静定问题简便方法:取基本结构（c）或（d)的与图乘

2）任取一力法基本结构，作出基本结构的

图3）图乘为什么可以是任一基本结构？第七节超静定结构的位移计算思考：可否选用悬臂刚架作为基本结构来计算？

解:选取简支刚架作为基本结构，作出其单位力弯矩图。

例1：计算图示刚架上BC杆B端的转角位移。令图与M

图相图乘，得（）第七节超静定结构的位移计算2.

变形条件(位移条件)的校核——检验在计算出来的内力状态下结构是否满足已知位移条件。最后内力图的校核

力法计算超静定结构时，应用了位移谐调条件、静力平衡条件。校核超静定结构的内力图时，也要从两方面进行校核。1.平衡条件校核；

使结构上的任一部分都处于平衡的解答是否就是问题的正确解？第八节最后内力图的校核

例：试校核图示刚架的弯矩图其是否有误。取刚结点C为隔离体,满足平衡条件。

解:(1)平衡条件校核。

(2)校核位移条件。检验C结点两个端面间的相对转角位移是否为零,任取一基本结构作图，令与M相图乘得：第八节最后内力图的校核

也可取图悬臂刚架作基本结构，计算B点水平位移△xB

是否为零。结论：亦满足给定位移条件，原弯矩图是正确的。第八节最后内力图的校核

对图示封闭式刚架，任一截面的相对转角均为零。基本体系中单位弯矩引起的弯矩图中各杆的弯矩均为1,则与M

图乘时：

在校核任何封闭式刚架的弯矩图时，只需将组成各杆上的弯矩图面积A（含“±”号）除以该杆EI值并相加,其最终的值应为零,否则,其弯矩图有误。第八节最后内力图的校核以例说明：可用图乘求得，

温度变化时会在超静定结构中引起反力和内力，这也是超静定结构的重要特性。基本体系第九节温度变化时超静定结构的计算

例:图示梁上边缘温度升高t1

，下边缘温度升高t2

，而且t2

>t1，梁的线膨胀系数α，截面高度为h,求梁的内力。基本体系解:此梁为3次超静定梁力法典型方程：第九节温度变化时超静定结构的计算作单位力弯矩图由图乘法：第九节温度变化时超静定结构的计算将系数和自由项代入力法典型方程解得：，X2=0

，X3=EAαt0

弯矩图由而得；剪力为零；轴力为一常数EAαt0

（压力）.M图

结论：对于任一等截面直杆只要知道杆件位移（角位移、侧移）及作用在杆上的荷载、温度，便可求出杆件两端的弯矩、剪力，作出弯矩图、剪力图。第九节温度变化时超静定结构的计算

例：

设图示刚架外侧温度不变，内侧温度升高10℃。各杆EI=常量，截面高度h=常量，截面形心在截面高度h

的0.5处,线膨胀系数为α，试求由于温度变化在刚架中引起反力和内力。（a）

自由项△1t与△2t为基本结构内侧温度升高10℃时在自由端C沿X1、X2方向产生的位移。解:1.刚架为二次超静定结构。2.根据变形条件建立力法方程第九节温度变化时超静定结构的计算刚架内外侧温度差

可知基本结构在温度变化时的变形趋势是：各杆轴线伸长，内侧受位。3.计算系数和自由项温度参量△t、t0

的计算说明温度变化使基本结构杆件形心轴伸长。(1)计算自由项第九节温度变化时超静定结构的计算在基本结构C处沿X1、X2方向加单位力，作相应的内力图。同理第九节温度变化时超静定结构的计算

将△1t

、△2t

、δ11

、δ22

、δ12

、δ21

、的表达式代入式（a）得(2)系数的计算,只计弯曲影响。（b），，第九节温度变化时超静定结构的计算解得：由叠加法作M图第九节温度变化时超静定结构的计算

1.温度变化在超静定结构中引起的内力大小与杆件刚度有关，通过加大杆件截面（加大EI）来改善结构在温度作用下的受力状态并非是一个有效的途径。

要点：2.超静定结构因温度变化而引起的变形与静定结构有较大的差别。超静定结构是降温侧受拉.多数房屋建筑为超静定结构，当室内外温差较大时可能导致室外或室内开裂。第九节温度变化时超静定结构的计算

支座位移、温度改变等因素（广义荷载）也会使超静定结构产生反力和内力，这是超静定结构不同于静定结构的一种力学性质。支座位移情形下的计算

式中等号左边是基本体系的相应位移，右边是实际结构在该点的实际位移。

在支座位移问题中,力法典型方程的一般形式可写成:第十节支座位移时超静定结构的计算

例:图示梁的A端产生了转角位移φA

，求解梁的反力和内力并作弯矩图和剪力图。基本体系基本结构变形条件为：基本体系在B点的位移与原结构相同。（a）解:(1)取支座B的竖向反力X1为多余未知力。(2)根据变形条件建立力法方程。第十节支座位移时超静定结构的计算△1c是当支座A产生角位移φA时在基本结构中产生的沿

X1方向引起的位移，由几何关系得出

系数δ11可由M1图求得（△1C

与X1反向，取负号）

基本体系的位移△1

是由X1和支座A的角位移φA共同作用产生的，因此式(a)可写成也可由静定结构由支座位移引起的位移公式求得（b）第十节支座位移时超静定结构的计算

最后内力计算方法与荷载情形无异。注意这里的X1与B端剪力的关系为

可见：支座位移在超静定结构中引起的内力的大小与杆件截面刚度和支座位移值有关。这是与荷载作用下的情况不同的。(4)作弯矩图和剪力图FS图(3)解方程求未知力将δ11与⊿1c

代入式(b)，解得第十节支座位移时超静定结构的计算

例:图示单跨梁支座A产生转角φA，同时B支座产生沉降△。试用力法求梁的内力。

在小变形情形下，B端的轴向约束作用可略去不计，即X3可略去，简化为二次超静定问题。(2)根据变形条件建立力法方程。

解:(1)

三次超静定。基本体系（a）第十节支座位移时超静定结构的计算(3)计算系数和自由项。也可由几何关系得（与X1

的方向一致）

同理作

图、图算得，由算得第十节支座位移时超静定结构的计算(4)解方程求未知力将系数和自由项代入方程式（a），有解得

可见，φA

在杆AB近端（A端）与远端（B端）引起的弯矩分别为

和，B端侧移△在两端产生的弯矩同为。第十节支座位移时超静定结构的计算两端剪力为（由隔离体的力偶系平衡条件算）杆端弯矩分别：思考：当B支座顺时针转了φB时，结果如何？答：这些结果将在第八章位移法中用到。第十节支座位移时超静定结构的计算

超静定拱是土木建筑工程中常用的一种结构形式，常见超静定拱有两铰拱和无铰拱。两铰拱

无铰拱§7-11用弹性中心法计算无铰拱无铰拱是三次超静定闭合结构。通常采用弹性中心法。对称无铰拱，通常选取对称的基本结构。力法典型方程为：，由对称性，得二、无铰拱的计算基本体系§7-11用弹性中心法计算无铰拱

可见：要使δ12为零，必须使X2的作用点下移,使y值有不同的符号，积分才可能为零。若系数δ12也为零，则力法典型方程式完全解耦。基本结构在单位力作用下的内力方程为：§7-11用弹性中心法计算无铰拱

坐标系x1Cy1是原点在拱顶的坐标系,它描述拱轴线方程。坐标系xoy是原点在弹性中心O的坐标系,它描述拱的内力方程，相当于计算内力时进行了一次坐标变换,目的是使12=21=0。

在拱顶截口处设置不可变形的刚臂,设刚臂长为a。使未知力作用点移至刚臂的端点O。O点称为弹性中心。§7-11用弹性中心法计算无铰拱由δ12与δ21的计算式为可确定a要使δ12=δ21=0

，必须有§7-11用弹性中心法计算无铰拱

计算δii、Δip时，如计入弯曲、剪切、轴向三个变形的影响，计算应按下式进行：

当未知力作用于弹性中心，力法方程组的全部副系数为零，三个彼此独立的方程为因而§7-11用弹性中心法计算无铰拱

多数情况下可略去轴向变形与剪切变形的影响。常见拱桥拱顶截面高度hc<l／10

，仅当f<l／5时将轴向变形影响计入δ22

中。§7-11用弹性中心法计算无铰拱

设一面积,其长度方向的轴线与拱轴线重合,其宽度为拱截面抗弯刚度的倒数,即。此面积称为弹性面积。弹性中心就是该弹性面积的形心。弹性中心的几何意义§7-11用弹性中心法计算无铰拱一、两铰拱的计算（1）基本体系

1.两铰拱是一次超静定结构，力法基本方程为：§7-12两铰拱及系杆拱2.计算系数与自由项。基本结构X=1作用下任意截面K弯矩和轴力为（2）

习惯上假设：弯矩使杆件内侧受拉为正，轴力以受压为正。系数与自由项为§7-12两铰拱及系杆拱3.求未知力。

弯矩MP是坐标x的函数,当给出结构参量及荷载后便可确定。

将和代入式（2）§7-12两铰拱及系杆拱

将求出的多余未知力X1回代到基本体系中,可计算出拱中任一截面上的内力。4.计算拱中任一截面上的内力。与三铰拱任一截面上的内力计算公式完全一样。§7-12两铰拱及系杆拱于是

两铰拱用作屋盖结构时，通常采用带拉杆的两铰拱，用拉杆来承受水平向的反力。在计算系数时多了拉杆AB的变形量。注意:以上计算是在拱结构承受竖向荷载情形下进行的。基本体系§7-12两铰拱及系杆拱拱截面A=384×10-3m2，惯性矩I=1843×10-6m4

，弹性模量E=192GPa，矢高

f=3.6m，(2)列力法方程。例7-15

用力法计算图示两铰拱。拱轴线方程为抛物线：基本体系跨度l=18m。

(1)解:(1)选取基本体系。(3)计算系数和自由项。§7-12两铰拱及系杆拱

当f<l／3时,在计算系数δ11时应考虑轴向变形影响。而计算自由项时仍可不考虑其影响。在扁平拱情形下，可认为ds≈dx

，cosφ=≌1。

基本结构在X1=1作用下，取截面K以左部分杆段为隔离体，内力方程为：§7-12两铰拱及系杆拱

基本结构在荷载作用下，取截面K以左部分杆段为隔离体，内力方程为：§7-12两铰拱及系杆拱代入E、I、A、l、q、f的值§7-12两铰拱及系杆拱相应的简支梁的FS0和M0为：以支座A以右面的x=6m处截面为例。(4)内力计算。拱中相应的y值为：§7-12两铰拱及系杆拱由有由得所求截面内力表明：该截面上弯矩、剪力均很小，截面所承受的内力主要是轴向压力。计算拱中相应的转角φ§7-12两铰拱及系杆拱系数δ11中弯曲变形与轴向变形的影响分别为：

注意：不能象直杆那样作拱的内力图，只能取若干截面（通常等分截面），算出这些截面上的内力，最后连线作出内力图。在计算中，宜列表计算。弯曲变形影响讨论：轴向变形影响可见，轴向变形对系数δ11不起重要影响。后者与前者之比§7-12两铰拱及系杆拱

1.由于超静定结构有多余的约束,因此超静定结构的内力状态由平衡条件不能唯一地确定。必须同时还要考虑变形条件才能求解。超静定结构（与静定结构相比）有如下一些重要特性：

2．由于约束有多余的，因而超静定结构在某些约束被破坏后，结构仍保持几何不变体系，因而还具有一定的承载能力；而静定结构在任一约束被破坏后，即变成几何可变体系，因而丧失承载能力。这说明超静定结构具有较强的防护能力。第十一节超静定结构的特性

3．超静定结构，一般情况下，其内力分布也比静定结构要均匀，内力的峰值也要小些。支梁最大弯矩在跨中,其值为,如果在跨中添加一支座变成连续梁,则最大弯矩在中间支座处,其值为,比简支梁小4倍。

第十一节超静定结构的特性

4．超静定结构的内力与结构的材料性质和截面尺寸有关。若结构构件截面尺寸和刚度有变化,则其内力分布也随之而变。

所以在设计超静定结构时必先假定各杆的截面尺寸才能计算,当荷载不变时，若要改变内力分布，也必须修改各杆的截面尺寸或刚度。第十一节超静定结构的特性

5.在超静定结构中，除荷载外，其它任何因素如温度变化、支座移动、制造误差等都可以引起内力。这种没有荷载作用而在结构中引起的内力状态称作自内力状态。自内力状态有不利的一面，也有有利的一面。防止地基不均匀沉降和温度变化等产生的自内力引起的结构裂缝是工程中应注意的一个问题；而采用预应力结构是主动利用自内力来调节结构截面应力的典型例子。第十一节超静定结构的特性小

结力法是求解超静定结构最基本的方法。力法的基本原理是将原超静定结构中的多余约束解除，代之以相应的未知约束反力。原结构就变成了在荷载及多余未知力作用下的静定结构。这个静定结构称为原结构的基本体系,多余未知力称为原结构的基本未知数。根据基本体系中多余未知力作用点的位移应与原结构一致的条件，即多余约束处的位移谐调条件，建立位移协调方程。这就是力法典型方程。方程中的基本未知数是体系的多余未知力。这种以未知力为基本未知数的求解超静定结构的方法就称为力法。由于基本体系满足位移谐调条件,因此基本体系的内力与变形便与原超静定结构完全一致。利用位移约束条件解出多余未知力是力法的关键,求出多余未知力后便将超静定问题转化为静定问题了。以后的计算便与静定结构的求解完全一样。小结理论上力法可以求解任何超静定结构。其原理具有物理概念明晰、易于理解的特点。其不足之处是：当多余约束较多时，即超静定次数较高时,计算工作量很大。而且力法的基本体系有多种选择,难以编成通用的计算机程序,这就极大地限制了力法的应用。用力法计算超静定结构，要做到超静定次数判断准确，基本结构选取适当，位移计算无误，最后校核仔细。用力法计算超静定结构的位移时,作单位弯矩图时可选择任意的基本结构。要理解这一点,就要理解基本体系的内力与变形与原结构完全一致这一道理。因而,求超静定结构的位移就是求基本体系的位移。基本体系的荷载弯矩图就是原超静定结构的最终弯矩图。所以,只要再画出基本体系在单位力作用下的弯矩图就行了。计算超静定拱,是力法的强项。特别是无铰拱,因为是曲杆,位移计算很繁杂。如何简化计算就很重要。弹性中心法就是计算无铰拱的最有效的方法。它可以使力法典型方程小结

力法典型方程由位移约束条件而来，其本质是原超静定结构上被解除多余约束处的位移应与原结构该点的位移一致的变形谐调条件，方程中的每项都是荷载或非荷载因素引起的位移，其中包括多余未知力引起的位移。方程中的每一项都不能单独使基本结构与原超静定结构的位移一致，只有将各项叠加起来才能作到这一点。所以,本章导出的力法典型方程只适用于线弹性结构。中所有的负系数均为零,计算获得最大限度的简化。能够做了这一步的关键是进行了坐标变换。把未知力的作用点移到了弹性中心。小结一、力法的计算方法1.力法的基本思路

用力法解超静定结构的基本思路是将超静定结构的多余未知力看作基本未知量，去掉多余未知力对应的多余约束将原结构转化成基本结构，因而多余未知力成为作用在基本结构上的外力；然后沿多余未知力方向建立位移协调方程，解方程就可以求出多余未知力;最后将求出的多余未知力作用于基本结构，用叠加法即可求出超静定结构的内力。2.如何选取基本结构(1)力法的基本结构一般为静定结构，但有时若能较容易地求出力法典型方程中的位移系数，也可以选超静定结构作为基本结构。小结例：用力法求图a所示的九次超静定结构的内力。

小结

解：根据对称性知，杆AB的剪力和弯矩均为零，只有轴力，则取基本体系如图b所示，MP图和M1图分别如图c、图d所示。经计算得代入力法典型方程δ11X1+Δ1P=0，可以求出

(2)同一个超静定结构可以选择许多种不同的力法基本结构，但选取基本结构时需注意应使力法方程中的系数和自由项的计算尽可能方便，或尽可能使较多的自由项和副系数为零，且应使图和MP图的绘制尽量简单。无论选取怎样的基本结构，最后结果都相同。，小结

例如,图a中的连续梁，选图b、图c、图d所示的基本体系都可以，但图d的基本体系可以使某些负系数为零，因此最简单。小结3.典型方程

超静定结构在荷载、支座位移、温度变化等因素作用下的典型方程为：小结(1)力法典型方程实际上就是沿多余未知力方向上的位移协调条件。第i个方程表示原结构在第i个多余未知力方向上的实际位移为i，当位移的方向与多余未知力的方向一致时，i取正值，否则取负值。等号左边的每一项表示基本结构在各种因素单独作用下沿Xi方向产生的位移，即等号左边一切系数的计算都应在基本结构上进行。如：21X1表示基本结构在X1单独作用下沿X2方向产生的位移,1c表示基本结构在支座位移单独作用下沿X1方向产生的位移，nP表示基本结构在外荷载单独作用下沿Xn方向产生的位移，nt表示基本结构单独在温度变化时沿Xn

方向产生的位移。主系数ii表示基本结构在多余未知力Xi=1单独作用下沿Xi方向产生的位移；副系数ij（ij）表示基本结构在多余未知力Xj=1单独作用下沿Xi方向产生的位移。小结二、几个应注意的问题1.超静定结构的特性(1)在超静定结构中，支座移动、温度改变、材料胀缩、制造误差等因素都可以引起内力。(2)在荷载作用下，超静定结构的内力分布与各杆刚度的比值有关，而与其绝对值无关。因此，在计算内力时，允许采用相对刚度。若改变各杆的刚度比值，则结构的内力分布也随之改变。一般来说，刚度大的杆件，分配到的内力也大；若各杆件的刚度按同一比例增减，则结构的内力保持不变。（1）没有荷载就没有内力这个说法对任何结构都是成立的.

解：错误。

(3)由温度或支座移动、制造误差等因素在超静定结构中引起的内力，与各杆刚度的绝对值有关。例：判断下列说法的正确性。小结2、判断超静定结构的次数时应注意的问题(1)不要把原结构拆成几何可变体系。(2)通常要把全部多余约束都拆除。(3)只能在原结构中减少约束，不能增加新的约束。(4)去掉连接n个杆件的复铰相当于去掉n-1个单铰；将连接n个杆件的刚结点变成铰结点相当于去掉n-1个约束。(5)只能去掉多余约束，不能去掉必要约束.

例题：（1）n次超静定结构，任意去掉n个约束均可作为力法基本结构的说法对吗？解：错误。只能去掉多余约束，不能去掉必要约束。

（2）对超静定结构在荷载作用下进行内力分析时，只需知道各杆的相对刚度。解：正确。

小结（2）图a所示结构的超静定次数为多少？解：8次。提示：相应的静定结构如图b所示.（3）图示结构超静定次数为多少？

解：6次。注意：1、2杆组成二元体，不能看作多余约束。小结（4）图示结构超静定次数为多少？

解：7次。提示：先去掉AB杆,再去掉铰A结点（相当于2个约束）,最后去掉铰结点B（相当于2个单铰）。（5）图示结构的超静定次数为多少？

。

解：6次。提示：内部ABC只需三个约束，即可与外部保持几何不变，而现在却用3个铰相连，故有三个多余约束，外部刚架也有三个多余约束。小结3.力法的适用条件

(1)力法只适用于求解超静定结构，不能用于求解静定结构。(2)既可以考虑弯曲变形，也可以考虑轴向和剪切变形。(3)可以用于梁、刚架、桁架、拱、组合结构等各种类型的结构。（4）从材料性质看,只能用于弹性材料。

4.超静定结构发生支座位移时基本体系的选取

当超静定结构发生支座位移时，选取不同的基本体系，所得的力法方程同，自由项c亦不同。小结

例如,用力法求图a所示有支座位移的超静定梁时，取两种基本结构进行分析比较。（1）第一种基本结构（图b）,基本体系如图c所示。力法典型方程为

可以看出,方程的等号右边不为零，这是因为原结构在B点有位移，所以等号右边应等于原结构的实际位移，又由于实际位移与多余未知力的方向相反，故位移都取负值。

小结注意ic的计算：

由于等号左边系数的计算都在基本结构上进行，而图b的这种基本结构既无荷载，也无支座位移，因此由该基本结构引起的ic都等于0。则上述典型方程变为小结（2）取第二种基本结构，如图d所示。力法典型方程为

可见,该方程的等号右边都等于零,这是由于原结构在A点无位移的缘故。注意ic的计算：小结

由于图d这种基本结构的B端有支座位移，而该支座位移将会引起与X1、X3对应方向上的位移，故有1c=－c，2c=0，3c=a

。力法典型方程又可以写成：

由以上分析可见，当超静定结构有支座位移时，选取不同的基本结构，所列方程的含义和形式均有区别，所以列方程需要仔细分析，分清支座位移何时出现在等号左边，何时出现在右边。小结

例：图a所示变截面梁,在支座A、B分别有竖向位移a及转动位移θ。

若按力法进行求解，并取图b所示的基本体系，则可列出力法方程的具体表达式。试写出小结

解：

5.切开或撤去多余链杆的基本体系,两者的力法方程比较

两者的力法方程形式不同，它们所代表的变形条件及方程中各项参数的物理意义不同，但力法方程的内容是等效的。小结

图b和图c是图a所示的超静定桁架用力法求解时选取的两种不同的基本体系。图b为切开链杆CD，图c为撤去链杆CD。（1）相对图b，力法方程为（a）

方程的物理意义为：基本体系中链杆1切口处相邻两截面相对轴向位移应等于原结构该相邻两截面的相对轴向位移（等于零）。小结系数和自由项按下式计算：，小结（2）对图c,力法方程为：(b)

方程的物理意义为：基本体系中C、D两点沿X1方向的相对线位移等于原结构中链杆CD的缩短量。因为对杆CD而言,X1为拉力，为杆CD的伸长量，所以方程右边取负值。系数和自由项按下式计算：

，小结

可见与两种基本体系相应的力法方程只是形式上不同,而内容是等效的.柔度系数关系为：将式（b）移项可得

比较以上两种基本体系可以看到，两者力法方程的形式及其物理意义不同；柔度系数与也不相同,

δ11

的计算包括CD杆的影响在内，而

则不包括CD杆的影响；自由项⊿1P的计算两者相同，但物理意义也不同（前者是荷载作用于基本结构时链杆切口两侧的相对轴向位移，后者是荷载作用于另一基本结构时C、D两点的相对线位移）。

在实际计算中通常选用图b所示的基本体系较为方便。小结6.几个有用的结论(1)集中力F沿某杆的轴线作用，若该杆沿轴线方向无位移,则只有该杆承受轴向压力，其余杆件无内力（例如图a只有AB杆受轴向压力）；等值反向共线的一对集中力沿某直杆的轴线作用时，只有该杆受轴向拉力或压力（例如图b、图c中。杆件无弯矩,且只有成对集中力作用的杆件受轴力）。小结

(2)集中力作用在无线位移的结点上时，汇交于该结点的各杆无弯矩，也无剪力（图d）。

注意：以上结论均有一个前提条件：不考虑轴向变形；若需考虑轴向变形，则结论不成立。(3)刚度无穷大的杆件不产生弯曲变形，但可以有弯矩，杆端的最后弯矩应由结点的平衡条件求出。小结例：计算图示结构MBA、MCD。各杆EI=常数。

解：

C点无线位移，其上作用的集中力将只引起轴力，不引起弯矩和剪力，故MBA=MCD=0

。同理，下列结构的各杆弯矩等于零。小结三、对称性的利用

（1）超静定结构的对称性包括两方面：几何形状和支承对称；杆件截面和材料性质（刚度）也对称。

奇数跨对称刚架在反对称荷载作用下，对称轴处简化为一竖向链杆。（4）选取半结构的原则如下：

奇数跨对称刚架在正对称荷载作用下，对称轴处简化为一定向支座。

（2）作用于对称结构上的任意荷载可以分为对称荷载和反对称荷载两部分分别计算。

（3）在对称荷载作用下，变形是对称的，弯矩图和轴力图是对称的，剪力图是反对称的。在反对称荷载作用下,变形是反对称的，弯矩图和轴力图是反对称的，剪力图是对称的。利用这些规则,只需计算半边结构。小结

偶数跨对称刚架在对称荷载作用下，当不考虑中柱轴向变形时，对称轴的截面无位移，简化为固定支座。

偶数跨对称刚架在反对称荷载作用下，原结构简化为半结构，且中柱的惯性矩减半。（5）几种典型对称结构的半结构如下列各图所示。小结小结小结注意：在利用对称性时应能正确判断荷载的对称性。

例：在不计轴向变形下，图a所示对称结构（EI=C），可取图b来计算吗？

解：不可以。正确的半结构应为图c。小结例：图a所示对称结构，可简化为图b来计算吗？解：可以。

小结例：作图a所示结构M图，EI=常数。

解：本题为反对称荷载，故先简化成半结构（图b）,该半结构是静定结构，根据平衡条件即可作出弯矩图(图c）。小结例：用力法计算并做图a所示结构M图。EI=常数。

解：把原结构简化成图b所示的半结构，再简化成图c，进一步简化成e图所示的简支梁，可得原结构的M图（图f）。小结

例：试用力法计算图a所示结构由于AB杆的制造误差（短⊿）产生的M图，已知EI=常数。

解：取1/4结构（图b）。由于AB杆短⊿，可看作支座A发生向下的位移⊿／2。小结列力法方程其中

而⊿1c是当基本结构（图d）发生向下的支座位移时,沿X1方向产生的位移，因此

解方程得M图示于图e。小结

例：图a所示结构，用力法求解时最少未知量个数为多少？

提示：先取半结构（图b），再对图b取半结构如图c所示。解：最少未知量个数为1。小结四、弹性支承超静定结构的计算例：结构如图所示（f为柔度系数），选择正确答案。D.

C.

A.B.

解:正确答案是C。小结

例:图示两弹性支承连续梁，已知EI=常数，k=6EI/l3，试求弯矩图。小结

解：此连续梁为二次超静定，取基本体系如图b所示。（1）力法方程

（2）计算系数和自由项

位移系数是由两部分产生的：一是荷载产生的，二是由于弹簧支座位移产生的。例如求δ11，由荷载产生的位移是

由支座产生的位移是所以小结同理将系数代入力法方程典型得小结解联立方程得由叠加法作弯矩图最后弯矩图如图e所示。

，小结五、用力法计算超静定结构的位移用力法计算超静定结构位移的步骤如下：(1)先用力法计算出多余未知力,并作为已知外力作用于基本结构。(2)结构上某点的位移等于基本结构在各种因素（包括外荷载、多余未知力、支座位移