结构力学(A)2-极限荷载课件

结构的极限荷载基本概念极限弯矩计算超静定梁的极限荷载判定极限荷载的一般定理刚架的极限荷载习题课§15-1概述1、线弹性体系弹性分析弹性设计法弹性设计法的最大缺陷是以某一局部的σmax>[σ]，作为衡量整个结构破坏的标准。事实上，对于塑性材料的结构（特别是超静定结构）当σmax=[σ]时，结构还没破坏。因此弹性设计法不能正确地反映整个结构的安全储备，是不够经济的。2、塑性分析极限荷载考虑材料的塑性，按照结构丧失承载能力的极限状态来计算结构所能承受的荷载的极限值。塑性设计法从整个结构的承载能力考虑，更切合实际。3、理想弹塑性材料（物理关系）εσσ<σy，σ=Eεσyεyσ=σy

，σ不增，ε继续增加。卸载Δσ=EΔε

小变形、应力与应变成正比、位移与荷载呈线性关系，无残余变形。结构在正常使用情况下，弹性分析能给出相当精确的结果。荷载不再增加，变形继续增加塑性分析时平衡条件、几何条件、平截面假定与弹性分析相同。由此看到，①材料加载是弹塑性的，卸载是弹性的；②经历塑性变形之后，应力与应变之间不再存在单值对应关系。要得到弹塑性解答，需要追踪全部受力变形过程，所以结构的弹塑性分析比弹性分析要复杂的多。而结构的极限分析不考虑弹塑性变形的发展过程，直接研究论结构的破坏状态求出极限荷载，因而比较方便。塑性分析只适用于延性较好的弹塑性材料而不适用于脆性材料；对于变形条件要求较严的结构也不易采用弹塑性分析方法。σσ（b）

一、极限弯矩弹性阶段（b）（弹性极限弯矩，或屈服弯矩）弹塑性阶段（c）塑性阶段(d)弹性核消失，整个截面达到塑性流动，弯矩达到极限弯矩Mu.hbyz（a）σyσy（b）σyσy（c）σyσy（d）在弹性核内，应力按线性分布，弯矩与曲率呈非线性。y0极限弯矩是整个截面达到塑性流动时截面所能承受的最大弯矩。它主要与σy和截面形状尺寸有关，剪力对它的影响可忽略不计。截面形状系数§15-2极限弯矩、塑性铰、极限状态随着M的增大，梁会经历Py0h/2y0σyσykyk形心轴σσy（b）σyσy（c）y0σyσy（d）弹性阶段（b）应力按直线分布，中性轴通过形心。弹塑性阶段（c）塑性阶段（d）截面达到塑性流动中性轴的位置随弯矩的大小而变。截面轴力为零：S1、S2分别为拉、压区面积对中性轴（等分截面轴）的静矩。Wy称为塑性截面模量。A1A2=A1其它截面等面积轴极限状态时中性轴平分截面面积即等分截面轴。随着M的增大，梁会经历矩形截面的截面形状系数为α=

。(郑大04)塑性截面模量Wy和弹性截面模量W的关系是

。(天大97)

AWy

=WBWy

>WCWy

<WD答案BC都有可能

塑性阶段，截面的中性轴位于

A截面形心

B截面中心

C截面对角线

D等分截面轴截面极限弯矩与下列内页因素有关？

A截面形状

B截面尺寸

C材料屈服应力

D荷载A112020202080已知材料的屈服极限σy=240MPa，求截面的极限弯矩。(mm)等分截面轴A2应力的单位用（Pa）长度单位用（m）力的单位用（N）得到弯矩单位（N.m）或者应力的单位用（MPa）长度单位用（mm）力的单位用（N）得到弯矩单位（N.mm）二、塑性铰：当截面达到塑性流动阶段时，极限弯矩保持不变，C截面的纵向纤维塑性流动（伸长或缩短），于是两相邻截面可产生有限的相对转动。称该截面形成了塑性铰。MuMuPCPC塑性铰与真实铰的区别塑性铰真实铰承受极限弯矩不承受弯矩单向铰双向铰卸载而消失不消失位置随荷载的分布不同而变化位置固定CPu塑性铰的形成过程横向荷载通常剪力对承载力的影响很小，可忽略不计，纯弯导出的结果横弯仍可采用。在加载初期，各截面弯矩≤弹性极限弯矩My→某截面弯矩=My

弹性阶段结束。此时的荷载叫弹性极限荷载Py。当P>Py，在梁内形成塑性区。随着荷载的增大，塑性区扩展→形成塑性铰，继续加载，→形成足够多的塑性铰（结构变成破坏机构）。三、极限状态当结构形成足够多的塑性铰时，结构变成几何可变体系（破坏机构），形成破坏机构的瞬时所对应的变形状态称为结构的极限状态，此时的荷载即为极限荷载。如果只限于求结构的极限荷载，可不考查其实际的内力和变形情况，将破坏机构作为分析对象，根据极限状态结构的内力分布，按平衡条件求极限荷载，这种方法称为极限平衡法。弹塑性分析全过程Pll例15-1求图示简支梁的Pu。P静力法：根据平衡条件得：θ2θMuMuΔ机动法：采用刚塑性假设画机构虚位移图虚功方程：静力法根据塑性铰截面的弯矩Mu，由平衡方程求出.极限平衡法求Pu机动法利用机构的极限平衡状态，根据虚功方程求得。1、超静定梁的破坏过程和极限荷载的特点超静定梁必须出现足够多个塑性铰，才变成机构，从而丧失承载能力，破坏。Pl/2l/2弹性阶段（P≤Py）P≤PyACBACB弹塑性阶段（Py<P<Pu）A截面形成塑性区→扩大→C截面形成塑性区→A截面形成第一个塑性铰.Py<P<PuACBMU塑性阶段（P→Pu）MA=Mu不增MC增→

MuC截面形成第二个塑性铰PuACBMUMU§15-3超静定梁的极限荷载Pul/4PuACBMUMU求极限荷载静力法根据极限状态的弯矩图,求极限荷载1）如能事先判断出超静定梁的破坏机构，就无须考虑结构的弹塑性变形的发展过程，直接利用机构的平衡条件求Pu。2）超静定结构极限荷载的计算,只需考虑平衡条件，而无须考虑变形协调条件。因而计算比弹性计算简单。3）超静定结构极限荷载,不受温度改变,支座移动等因素的影响。4）假定等截面单跨超静定梁破坏机构的原则：①跨中塑性铰只能出现在集中力作用点处或分布荷载分布范围内剪力为零处。②当梁上荷载同为向下作用时，负塑性铰只可能出现在固定端处。例17-2求图示变截面梁的极限荷载。l/3l/3l/3PABDCMu解：AB、BC段的极限弯矩不同。塑性铰可能出现在A、D和B处，破坏机构的可能形式既与突变截面位置有关，也与有关。1）B、D出现塑性铰的破坏机构PABCMuMuΔθ2θMuMuMuMu3Mu如MA=3Mu>该破坏机构实现的条件是：3Mu2）A、D出现塑性铰的破坏机构PABCMuMuΔθ1θ2该破坏机构实现的条件是：3MuMu两种破坏机构都能实现，出现三个塑性铰A、B、D。4）对于变截面梁，负塑性铰可能会出现在跨间。3）如果uuMM3=¢MU例15-3求图示单跨超静定梁的极限荷载Pu。MU↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qlABCxAC段平衡：BC段平衡：由(a)(b)得：在钢筋混凝土结构设计，这种梁在实际荷载q作用下跨中截面的塑性计算弯矩近似地取为。↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qlMU=Mu例15-4求图示单跨超静定梁的极限荷载Pu。x如将跨间塑性铰取在中点，则：均布荷载作用下，如杆件两端弯矩在基线同侧且悬殊不太大时，可将跨间塑性铰取在中点。图示等截面梁发生塑性极限破坏时，梁中最大弯矩发生在

。(东南96)

Aa Bb Cc Dd图(a)变截面梁形成图(b)的破坏机构的条件是。()图示变截面超静定梁的破坏机构不可能是l/2l/2↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qMUMUqul2/8↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓α=

1/11－1/111/16－1/16………钢筋混凝土连续梁考虑塑性内力充分布的计算中，多采用弯矩调幅法。即先按弹性分析求出结构的截面弯矩，然后将支座弯矩降低，跨中弯矩增大。2、连续梁的极限荷载设梁在每一跨内是等截面，但各跨的截面可以不同。设荷载的作用方向彼此相同（向下），并按比例加载。对于等截面梁，最大负弯矩只可能在支座处，负塑性铰只可能出现在支座处，只可能在各跨内独立形成破坏机构，而不可能由相邻几跨联合形成一个破坏机构(且遵循单跨梁形成破坏机构的原则)PPPPPP连续梁破坏机构的可能形式只可能在各跨内独立形成破坏机构，

例：图示各跨等截面连续梁，第一、二跨正极限弯矩为Mu，第三跨正极限弯矩为2Mu，各跨负极限弯矩为正极限弯矩的1.2倍，求qu。

ql↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q1.5qll/20.75ll/2lMuMu2Mu0.75l1.2Mu1.2Mu2.4Mu解：静力法画出各跨单独破坏时的极限弯矩图。寻找平衡关系求出相应的破坏荷载。Mu1.2Mu1.2Mu2.4MuMu2Mu第一跨单独破坏时：相应的破坏破坏荷载：二三

ql↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q1.5qlΔθ2θ

ql↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q1.5ql

ql↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q1.5qlΔθ2θ第一跨破坏：第二跨破坏：第三跨破坏：Δθ2θ

ql↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q1.5qll/20.75ll/2lMuMu2Mu0.75l1.2Mu1.2Mu2.4Mu解：机动法给出各跨单独破坏时的虚位移图。由虚功方程求出相应的破坏荷载。例：图示连续梁，已知：Mu1=50kN.m，Mu2=70kN.mMu3=90kN.m，求Pu。P↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q=0.2P15P1.5P3m2m2m2m3m8mMu1Mu2Mu3解：作出各跨破坏时的弯矩图支座弯矩取左右两跨较小者5050707090第一跨：第二跨：第三跨：90例：图示连续梁，已知：Mu1=50kN.m，Mu2=70kN.mMu3=90kN.m，求Pu。P↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q=0.2P1.5P1.5P3m2m2m2m3m8mMu1Mu2Mu3P↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q=0.2P1.5P1.5PΔθ2θP↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q=0.2P1.5P1.5PP↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q=0.2P1.5P1.5PΔθ1.5θΔθ2θ一、预备知识：1、前提条件比例加载：荷载按同一比例增加，且不卸载。假设材料为理想弹塑性材料。截面的正负极限弯矩绝对值相等。且忽略轴力和剪力对极限弯矩的影响2、极限受力状态应当满足的一些条件1、平衡条件：2、内力局限条件：│M│≤Mu3、单向机构条件：在极限受力状态中，出现足够数量的塑性铰使结构变成机构，能够沿荷载作正功的方向做单向运动。3、两个定义1、对于任意单向破坏机构，用平衡条件求得的荷载值称为可破坏荷载P+(满足1、3条）2、如果对某个荷载，能找到一内力状态与之平衡且各截面内力都不超过极限值，则此荷载称为可接受荷载P－(满足1、2条）极限荷载既是可接受荷载，又是可破坏荷载。§15-4比例加载时判定极限荷载的一般定理二、一般定理及其证明1）基本定理：P+≥P－

证明：取任一P+列虚功方程

P+Δ=∑│Mui││θi│再取任一P－列虚功方程

P－Δ=∑│M－i││θi│根据：M－i≤│Mui│∑│M－i││θi│≤∑│Mui││θi│∴P+≥P－2）唯一性定理:

Pu的值是唯一确定的。

证明：设存在Pu1，Pu2

将Pu1视为P+，Pu2视为P－

则有：Pu1≥

Pu2将Pu2视为P+，Pu1视为P－

则有：Pu2≥

Pu1∴Pu2=

Pu13）上限定理(极小定理)：可破坏荷载是极限荷载的上限。或者说，极限荷载是可破坏荷载中的极小者。证明：因为极限荷载是可接受荷载，所以由基本定理它小于可破坏荷载。Pu≤P+4）下限定理(极大定理)：可接受荷载是极限荷载的下限。或者说，极限荷载是可接受荷载中的极大者。证明：因为极限荷载是可破坏荷载，所以由基本定理它大于可接受荷载。Pu≥P－上、下限定理可用来求极限荷载的近似解，给出精确解的范围。也可用来寻求精确解。为了求极限荷载，可列出所有可能的破坏机构，利用极限平衡法一一求出所对应的可破坏荷载，其中最小的即极限荷载。（穷举法或机构法，基于上限定理）。选一破坏机构，利用极限平衡法求出相应的破坏荷载，作出弯矩图检查各截面弯矩是否大于其极限弯矩，即检查是否满足内力局限条件。若满足，所得可破坏荷载即极限荷载；若不满足，则另选一破坏机构继续计算。（试算法，基于唯一性定理）l/2l/2Pl/32l/31.2PABC例:已知等截面梁的极限弯矩为Mu，用试算法求Pu解：①取第一跨的破坏机构。P1.2PABC相应的弯矩图P1.2PABC②由平衡条件求相应的可破坏荷载：E③求出各截面弯矩均<Mu既是可破坏荷载,又是可接受荷载。MuMu

例：15-5设有一n跨连续梁，每跨为等截面，但各跨梁的横截面可以相同也可以不相同。试证明此连续梁的极限荷载就是每个单跨破坏机构相应的可破坏荷载中的最小者。证明：n个单跨破坏机构→根据唯一性定理：已知是一可破坏荷载，还需证明它也是一可接受荷载作用下存在一个可接受的弯矩图,它是可接受荷载.所以:MuMuP1.2PABC作用下的弯矩图ME=MuE作用下ME<Mu↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qlACx解：A处形成一塑性铰塑性铰C的位置待定。θAΔθc例15-4用下限定理求图示梁的极限荷载。1.375Mu0.05Mul/4l/4l/43PABDCl/4E4P2P例求等截面梁的极限荷载,Mu=常数.解法1：试算法①取一破坏机构求其对应的破坏荷载3P4P2PMuMu3P4P2P5P4P1.5Pl1.25PlPl②检验内力状态是否满足内力局限条件.③内力状态不满足内力局限条件0.5Mu0.75Mul/4l/4l/43PABDCl/4E4P2P①再取破坏机构求其对应的破坏荷载3P4P2PMuMu3P4P2P5P4P1.5Pl1.25PlPl②检验内力状态是否满足内力局限条件.③内力状态满足内力局限条件1.375Mu0.5Mul/4l/4l/43PABDCl/4E4P2P解法2：用上、下限定理求解的范围或近似解①取一破坏机构求其对应的破坏荷载3P4P2PMuMu3P4P2P5P4P1.5Pl1.25PlPl②检验内力状态是否满足内力局限条件.③内力状态不满足内力局限条件1.375Mu0.5Mul/4l/4l/43PABDCl/4E4P2P解法2：用上、下限定理求解的范围或近似解3P4P2PMuMuM图不满足内力局限条件，将其乘以1/1.375进行折减，就满足了内力局限条件。④Mu0.36Mu3P4P2P0.72Mu0.72Mu相应的荷载便成为可接受荷载：⑤由上、下限定理知：⑥若取平均值为极限荷载的近似值，则得到：l/4l/4l/43PABDCl/4E4P2P①考虑A、C出现塑性铰而形成的破坏机构3P4P2PMuMu3P4P2P5P4P1.5Pl1.25PlPl解法3：穷举法3P4P2PMuMu3P4P2PMuMu③考虑A、E出现塑性铰而形成的破坏机构②考虑A、D出现塑性铰而形成的破坏机构例：试用穷举法和试算法求图12-7（a）所示连续梁的极限荷载。各跨极限弯矩Mu相同。解：穷举法：由AB跨独立破坏得：由BC跨独立破坏得：由CD跨独立破坏得：E解：试算法：选取破坏机构如图（c），列虚功方程：所以可破坏荷载为：演算屈服条件，可见当x<1时，MA、M1、M2均小于Mu，说明屈服条件得到满足。根据单值定理得：

注意：①由于连续梁容易给出所有的破坏机构，求极限荷载用穷举法比用试算法简单。②同一结构在同一荷载作用下，其极限内力状态可能不止一种，但与各极限内力状态相应的极限荷载值是相同的。也就是说极限荷载值是唯一的，而极限内力状态则不一定是唯一的。在刚架中塑性铰的形成还要受到轴力的影响。不过在轴力较小时，可忽略其影响。Pu2lABDCPlMuMuMuMuθθ三次超静定结构，形成四个塑性铰，进入极限状态，破坏机构只有一种可能列虚功方程：或列水平投影平衡：Pu2Mu/l2Mu/l§15-5刚架的极限荷载如能完备的列出来可能的破坏机构，并求出各机构相应的可破坏荷载刚架各种可能破坏机构基本机构：梁机构、

梁机构侧移机构、侧移机构结点机构结点机构组合机构：将两种或两种以上的基本机构组合。刚架的基本机构数m=h－n超静定次数可能出现的塑性铰总数在不同基本机构中，如某塑性铰转向相反，组合后该塑性铰闭合。这种求Pu方法称为穷举法。一般情况下，n次超静定结构出现（n+1）个塑性铰后，形成破坏机构。MuMu2Mu例：求图示结构的极限荷载。PuMuMuMuMuθθ2PuABDCP2PABDCP2P梁机构侧移机构结合机构塑性铰C闭合对侧移机构对梁机构θθ2θ对组合机构θθ2θθθABDCP1.5l2PllE基本机构数：MuP2PMuMu0.44Mu2Mu由上例可知：当不考虑轴力影响时，只要能完备地定出刚架的各种可能的破坏机构，则不难根据上限定理求出其极限荷载。但是，在复杂情况下，欲无遗漏地定出所有可能的破坏机构是比较困难，而且一一寻求各自的可破坏荷载，再去进行比较也是相当麻烦。为此，可采用试算法：求出与它相应的可破坏荷载并绘出刚架的弯矩图，先假定一破坏机构，如果满足，则此可破坏荷载也是可接受荷载，由唯一性定理知它就是极限荷载。然后再检查它的弯矩图分布是否满足屈服条件，选择破坏机构和进行机构组合时，应使外荷载作的功尽可能的大些，而塑性铰处极限弯矩所作的功尽可能的小些。为此，在挑选基本机构进行组合时，应尽量使较多的塑性铰闭合，而达到塑性铰处极限弯矩所作的功较小，由这样的破坏机构求得的可破坏荷载就会较小，有可能是极限荷载。试算法对梁机构MuMu2MuABDCP2P梁机构θθ2θ2MuMuMuABDC2P(4.5－x)Mu设MB=xMu则：必有MB或MA>MuxMu1.5lllMuNCD=-QDBCA对组合机构ABDCP2P结合机构θθ2θθθMu2MuMuMu前例求出MCE=0.44Mu。

各截面弯矩≤Mu1.5lllABDC2PE2PMuMCE所以:既是可破坏荷载又是可接受荷载？P2P3m3m3m3m