结构动力学3课件

结构动力学

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第三章：单自由度体系的自由振动

第3章单自由度体系的自由振动

自由振动：结构受到扰动离开平衡位置以后，不再受任何外力影响的振动过程。

运动方程：扰动的表现：

第3章单自由度体系的自由振动

3.1无阻尼自由振动

无阻尼：c=0

自由振动：p(t)=0运动方程：初始条件：

3.1无阻尼自由振动

设无阻尼自由振动解的形式为：

其中：s为待定系数；A为常数系数方程：两个虚根：

3.1无阻尼自由振动

运动方程的通解为：

指数函数与三角函数的关系：运动方程的解：A，B—待定常数，由初始条件确定。3.1无阻尼自由振动

将位移

和速度带入初始条件：得待定常数为：3.1无阻尼自由振动

体系无阻尼自由振动的解

其中无阻尼振动是一个简谐运动（Simpleharmonicmotion）

ωn——自振频率。

3.1无阻尼自由振动

图3.1

无阻尼体系的自由振动

3.1无阻尼自由振动

结构自振频率和自振周期

自振频率：Naturalfrequency(ofvibration)

自振周期：NaturalPeriod(ofvibration)

——结构的重要动力特性

3.1无阻尼自由振动

结构自振频率和自振周期及其关系

自振圆频率：(单位：弧度/秒,rad/s)自振周期：(单位：秒,sec)自振频率：(单位：周/秒,赫兹,Hz)第3章单自由度体系的自由振动

3.2有阻尼自由振动

运动方程：初始条件：

3.2有阻尼自由振动

令u(t)=est，代入运动方程

得：

3.2有阻尼自由振动

u(t)=est

当：

体系不发生往复的振动当：

体系产生往复的振动

使：成立的阻尼c称为临界阻尼临界阻尼记为ccr：

3.2有阻尼自由振动

图3.2临界阻尼体系的自由振动

3.2有阻尼自由振动

1.临界阻尼和阻尼比

临界阻尼：体系自由振动反应中不出现往复振动所需的最小阻尼值。临界阻尼完全由结构的刚度和质量决定的常数。阻尼比：阻尼系数c和临界阻尼ccr的比值，用ζ表示

3.2有阻尼自由振动

1.临界阻尼和阻尼比

（1）当ζ＜1时，称为低阻尼（Underdamped），结构体系称为低阻尼体系；（2）当ζ＝1时，称为临界阻尼（Criticallydamped）；（3）当ζ＞1时，称为过阻尼（Overdamped），结构体系称为过阻尼体系。

对于钢结构：

钢筋混凝土结构：

3.2有阻尼自由振动

临界阻尼和阻尼比图3.3低阻尼、临界阻尼和高阻尼体系的自由振动曲线3.2有阻尼自由振动

2.低阻尼体系（UnderdampedSystems）

将：代入：得：

低阻尼体系满足初始条件的自由振动解：其中：ωD—阻尼体系的自振频率

3.2有阻尼自由振动

2.低阻尼体系（UnderdampedSystems）ωD—阻尼体系的自振频率

TD—阻尼体系的自振周期ωn和Tn分别为无阻尼体系的自振频率和自振周期(1)阻尼的存在使体系自由振动的自振频率变小(2)阻尼的存在使体系的自振周期变长。当ζ＝1时，自振周期TD=∞。

3.2有阻尼自由振动

2.低阻尼体系（UnderdampedSystems）现场实测：ωD和TD理论计算：ωn和Tn工程中结构的阻尼比ζ在1~5%之间，一般不超过20%，因此可以用有阻尼与无阻尼计算结果接近。图3.5阻尼对自振频率和自振周期的影响3.2有阻尼自由振动

(1)低阻尼体系的阻尼对结构自由振动的影响很大，因而，合理地确定体系的阻尼是结构动力问题研究中的一项重要工作。(2)由于阻尼对体系的衰减自由振动曲线影响大，通过对体系衰减曲线的分析，可以有效地分辨出不同体系的阻尼比。3.2有阻尼自由振动

3.运动的衰减和阻尼比的测量

相邻振动峰值比：

3.2有阻尼自由振动

3.运动的衰减和阻尼比的测量

对数衰减率δ:

阻尼比计算公式：小阻尼时计算公式：3.2有阻尼自由振动

3.运动的衰减和阻尼比的测量

相隔j周的振动峰值比：对数衰减率：阻尼比：J50%

—振幅衰减至50%所需的次数3.2有阻尼自由振动

4.自由振动试验

阻尼比ζ的测量（当ζ＜20%时）：用位移记录：用加速度记录：结构的自振周期TD的测量：用相邻振幅的时间间隔来计算：

3.2有阻尼自由振动

4.自由振动试验

算例3.1

用自由振动法研究一单层框架结构的性质，用一钢索给结构的屋面施加P=73kN的水平力，使框架结构产生Δst=5.0cm的水平位移，突然切断钢索，让结构自由振动，经过2.0sec，结构振动完成了4周循环，振幅变为2.5cm。从以上数据计算：

①

阻尼比ζ；

②

无阻尼自振周期Tn；

③

等效刚度k；

④

等效质量m；

⑤

阻尼系数c；

⑥

位移振幅衰减到0.5cm时所需的振动周数。3.2有阻尼自由振动

4.自由振动试验

解：①

计算阻尼比ζ

ui=5.0cm，j=4，ui+j=2.5cm代入方程：得：结构属于小阻尼体系3.2有阻尼自由振动

4.自由振动试验

解：②计算无阻尼自振周期Tn(振动周次：4；时间：2秒)有阻尼自振周期：无阻尼自振周期：对于小阻尼体系，自振周期近似等于无阻尼自振周期

3.2有阻尼自由振动

4.自由振动试验

解：③

计算等效刚度k(外荷载P=73kN，静位移Δst=0.05m)

④

等效质量m3.2有阻尼自由振动

4.自由振动试验

解：⑤

阻尼系数c

3.2有阻尼自由振动

4.自由振动试验

解：⑥

位移振幅衰减到0.5cm时所需的振动周数

3.3自由振动过程中的能量

SDOF体系中能量来源:初始位移和初始速度体系初始时刻具有的总能量:任意t时刻体系的总能量:其中,质点的动能EK和弹簧的应变能ES

：

3.3自由振动过程中的能量

无阻尼体系中的能量:

无阻尼体系自由振动过程中的总能量守恒，不随时间变化，等于初始时刻输入的能量。

3.3自由振动过程中的能量

有阻尼体系中的能量:

在0至t时刻由粘性阻尼耗散的能量ED为：

阻尼在体系振动过程中始终在消耗能量随着，

t→∞体系中的总能量将完全被阻尼所消耗当t→∞时，ED=EI

3.4库仑（Coulomb）阻尼自由振动

图3.9具有库仑摩擦阻尼的弹簧—质点体系

(b)：(c)：其中

-特解-无阻尼自由振动频率3.4库仑（Coulomb）阻尼自由振动

设在初始时刻t=0初始条件为：在第一个半周循环（0≤t≤Tn/2）：由初始条件：

振动解：一个余弦函数，振幅为u(0)－uF，但其中轴向上偏移uF

当t=π/ωn(=Tn/2)时，质点达到负向最大值：3.4库仑（Coulomb）阻尼自由振动

在第二个半周循环（Tn/2≤t≤Tn）：在时刻t=Tn/2的条件为：由初始条件：

振动解：振动的振幅为u(0)－3uF，但其中轴向下偏移uF

当t=2π/ωn(=Tn)时：3.4库仑（Coulomb）阻尼自由振动

在第三个半周循环（T≤t≤3Tn/2）：○○