结构力学 第5章 静定结构位移计算课件

第五章静定结构位移计算

Chapter5DisplacementCalculation1、概述2、支座移动产生的位移计算3、力的虚设方法4、制造误差产生的位移计算第六章静定结构位移计算

Chapter6DisplacementCalculation

5、温度作用时的计算

6、荷载作用下的位移计算

7、图乘法

8、线性变形体系的互等定理

1、概述结构位移——结构上的任意点由于各种原因产生的移动。例如：工程结构在荷载作用下就会产生变形，由于变形，结构上各点的位置就会发生移动。BCAq——线位移——角位移A点位移：AB相对水平位移：CD相对转角：A,CDBAq

1、概述除了荷载以外，温度改变、支座移动、制造误差和材料收缩等因素，都能使结构产生位移。

计算结构位移的目的：●为了校核结构的刚度，保证它在使用过程中不致于发生过大的变形。●在计算超静定结构时，除利用静力平衡条件外，还必须考虑结构的位移条件，也就是说位移计算是超静定结构计算的基础。●

结构在制作、施工、架设和养护等过程中采取技术措施时，也需要知道结构的位移。

计算所采用的理论——虚功原理

1）复习一下相关概念

●

虚功——力在由其它原因产生的位移上所做的功。其中：——虚功●

虚功原理刚体虚功原理变形体虚功原理

1、概述△11△22△12Fp1AB12Fp2

刚体虚功原理：所有外力所做的虚功等于零，即：虚功原理：虚力原理虚位移原理虚力原理——位移是真的，力是虚设的。用虚设力的办法来求真实的位移。虚位移原理——力是真的，位移是虚设的。用虚设位移的办法来求真实的力。变形体虚功原理：所有外力做的虚功=所有内力做的虚功，即：显然求位移用的是虚功原理中的虚力原理。

显然支座移动产生的位移、制造误差产生的位移应该用刚体的虚力原理计算。荷载作用产生的位移、温度改变产生的位移应该用变形体的虚力原理计算。●支座移动产生的位移——刚体位移●制造误差产生的位移——刚体位移●荷载作用产生的位移——变形体位移●温度改变产生的位移——变形体位移2）静定结构位移的类型支座移动产生的位移应采用刚体的虚力原理来计算。虚设一个力状态，即在结构的A点作用一单位力矩。运用刚体的虚功原理：虚设力状态上的所有外力在真实的位移状态上所做的虚功应该等于零，有：

得：

2、支座移动产生的位移计算虚设的力状态1/L1/LM=1图示简支梁B支座往下位移了，求由此产生的A点转角。真实的位移状态

ABLΔ可以得出由支座移动引起的位移计算公式如下：其中：—由虚设力产生的在有支座位移处的支座反力c

—真实的支座位移解：（1）求C点的竖向位移真实的位移状态

LABCL/2L/2ab【例题1】图示三铰刚架A支座往下位移了b，B支座往右位移了a，求C点的竖向位移，

和C点的相对转角。

在C点作用一个竖向单位力，求出FYA和FXB。

2、支座移动产生的位移计算虚设的力状态ABCFP=11/21/4真实的位移状态

LABCL/2L/2ab虚设的力状态ABCM

=101/L（2）求C点的相对转角真实的位移状态

LABCL/2L/2ab

2、支座移动产生的位移计算【例题2】图示结构发生了支座移动，求铰C的竖向位移及其两侧截面的相对转角。4mBAD2m2m1mC0.01rad0.01m真实的位移状态

解：（1）求C的竖向位移在C点加竖向单位荷载，求出虚设力状态的支座反力，如图所示。则：BADCFP=102虚设的力状态虚设的力状态M

=1BADC1/22在C点的两侧截面上加一对单位力矩，求出虚设力状态的支座反力，如图所示，则：（2）求铰C两侧截面的相对转角4mBAD2m2m1mC0.01rad0.01m真实的位移状态

力的大小——一般虚设单位力。力的位置——作用在需要求位移的点及方向上。力的方向——随意假设，若求出的位移是正的，说明位移与假设的方向一致。若是负的，说明与假设的方向相反。力的性质——求线位移加单位集中力；求转角加单位力矩；求二点的相对水平或竖向位移加一对相反的单位集中力；求二点相对转角加一对单位力矩。

3、力的虚设法FP=1CAB求C点竖向位移FP=1CAB求B点水平位移M=1CAB求C点转角位移AB求A、B两点相对竖向位移FP=1FP=1AB求A、B两点相对水平位移FP=1FP=1M

=1C求C点相对转角位移

3、力的虚设法FP=1/LFP=1/LCD求C、D杆转角位移制造误差产生的位移采用虚力原理计算。【例题3】图示桁架AC杆比要求的短了2cm，求由此产生的C点水平位移。解：在C点作用一水平单位力，方向朝左，求出AC杆的内力，令虚设的力到真实的位移上去做功，由虚力方程有：

4、制造误差产生的位移计算FP=1-2cmBCA虚设的力状态-2cmbBCbA真实的位移状态

利用虚功方程有：abaBCαA啊得：【例题4】图示悬臂梁C点由于制造误差有一转角，求由此引起的B点竖向位移。

abaBCA啊MC=bFP=1解：虚设一力状态：在B点加一竖向单位力，求出C点的弯矩，并把C点的抗弯连系去掉，用弯矩MC表示。利用虚功方程有：得：由制造误差引起的位移计算公式如下：其中：——虚设单位力作用下产生的轴力、剪力和弯矩。正负号规定：虚内力与变形方向一致为正，方向相反为负。——由制造产生的轴向变形、弯曲变形和剪切变形。【例题5】图示桁架DC杆短了2cm,FE杆长了3cm,求C点的竖向位移。解：在C点作用一竖向单位力，求出DC杆、FE杆的轴力：运用位移计算公式得：-2+33×4=12m4mBFECDABFECDAFP=12023/2/221BABA1AB虚功方程：BABA1A

例、悬臂梁在截面B处由于某种原因产生相对转角d，试求A点在i－i方向的位移。

例、悬臂梁在截面B处由于某种原因产生相对剪位移d，试求A点在i－i方向的位移。2023/2/222

例、悬臂梁在截面B处由于某种原因产生轴向位移d试求A点在ｉ－ｉ方向的位移。BABABA1由平衡条件：虚功方程：

当截面B同时产生三种相对位移时，在i－i方向所产生的位移，即是三者的叠加，有：2023/2/2235、结构位移计算的一般公式——变形体的位移计算一、局部变形时的位移计算公式基本思路：dsRdsdsRds（1）三种变形：在刚性杆中，取微段ds设为变形体，分析局部变形所引起的位移。2023/2/224dsRdsdsRds1（2）微段两端相对位移：续基本思路：设

微段的变形以截面B左右两端的相对位移的形式出现，即刚体位移，于是可以利用刚体虚功原理求位移。（3）应用刚体虚功原理求位移d－即前例的结论。或2023/2/225二、结构位移计算的一般公式一根杆件各个微段变形引起的位移总和：如果结构由多个杆件组成，则整个结构变形引起某点的位移为：若结构的支座还有位移，则总的位移为：2023/2/226适用范围与特点：2）形式上是虚功方程，实质是几何方程。关于公式普遍性的讨论：（1）变形类型：轴向变形、剪切变形、弯曲变形。（2）变形原因：荷载与非荷载。（3）结构类型：各种杆件结构。（4）材料种类：各种变形固体材料。1）适于小变形，可用叠加原理。2023/2/227位移计算公式也是变形体虚功原理的一种表达式。dsdsK1dsdsdsdsdsdsds外虚功：内虚功：变形体虚功原理：各微段内力在应变上所作的内虚功总和Wi，等于荷载在位移上以及支座反力在支座位移上所作的外虚功总和We。即：2023/2/228重点在于解决荷载作用下应变的表达式。（1）在荷载作用下建立

的方程，可经由荷载内力应力应变

过程推导应变表达式。（2）由上面的内力计算应变，其表达式由材料力学知k--为截面形状系数1.2(3)荷载作用下的位移计算公式【例题7】求图示简支梁中点C的竖向位移。解：（1）取虚力状态如图所示：（2）写出弯矩、剪力方程：当时：（3）计算FP=1C虚设的力状态

CL/2L/2ABq真实的位移状态

（4）比较弯曲变形与剪切变形的影响弯曲变形：剪切变形：两者的比值：若高跨比为：则：（3）计算

结论：在计算受弯构件时，若截面的高度远小于杆件的长度，一般可以不考虑剪切变形及轴向变形的影响。【例题8】计算图示刚架C点的水平位移和转角，各杆的EI为常数。解：（1）求取虚力状态如图所示：FP=1ACBEIEI虚设的力状态1

LLqACBEIEI真实的位移状态

BC杆：BA杆：（2）求FP=1ACBEIEI虚设的力状态1

ACBEIEIM=1虚设的力状态2

取虚力状态如图所示：BC杆：BA杆：各种静定结构位移的计算公式如下:（1）梁、刚架——只考虑弯曲变形（2）桁架——只有轴向变形（3）组合结构——受弯构件只考虑弯曲变形

6、荷载作用下的位移计算（4）三铰拱—曲杆要考虑弯曲变形和轴向变形,

拉杆只有轴向变形。曲杆的积分计算可用数值计算代替:其中:都应取段上中点的值。FPFPdddddDECAB【例题9】计算图示桁架结C的竖向位移，各杆EA相等。解：（1）求出桁架在荷载作用下各杆的内力。（2）求出桁架在单位力作用下各杆的内力。DECABFPFPFP00FP-FPFP图DECAB1/2-11/2FP=1FＮ图

6、荷载作用下的位移计算（3）计算C点的竖向位移2023/2/237PP1111.51.5-4.74-4.42-0.954.51.53.010.50.5-1.58-1.58001.51.52P2P例2计算屋架顶点的竖向位移。0.25l0.25l0.25l0.25lADCEFGB2023/2/2381111.51.5-4.74-4.42-0.954.51.53.010.50.5-1.58-1.58001.51.5ADDCDE材料杆件lA钢筋砼钢CEAEEGABCDEFG【例题10】求图示半径为R的圆弧形曲梁B点的竖向位移，已知EI为常数。为求取kB隔离体如下：θACRFPROBABAFP=1BA虚设力状态

FPFQPFNPMPOB由：解：取虚力状态如图所示。受弯构件位移计算公式：

若EI为常数，上式变为：

若MP

、M中有一个是直线图，如右图所示，有：是常数可提到积分号外面。

7、图乘法1）计算公式推导

yxABABMP图M

图将代入式中：x——是图的形心到y轴的距离——是图的面积有：

令：——是图形心位置所对图中的竖标

应的得：是图对y轴的面积矩，可写成：其中：

dxyxABABMP图M

图xy0x0形心

2）图乘法应用的前提（1）杆件的EI是常数；（2）杆件是直杆；（3）两个弯矩图中至少有一个是直线图形。——图乘公式按图乘公式计算结构位移的步骤如下：（1）画出结构在荷载及虚设力作用下的弯矩图；

（2）逐杆计算出荷载作用下的弯矩图面积，以及与该弯矩图形心所对应的虚设力弯矩图的竖标，然后把两者相乘；（3）把所有杆的累加起来，并除以EI，即为所求位移。

acdy1y2ω1ω2bABL

3）两个直线图形的图乘公式

正负号确定：同边为正，异边为负。

上述图乘公式适用所有直线图形相乘的情况：×××××S=9/6×（－2×6×2+2×0×3+6×3－0×2）

=－9S=9/6×（2×6×2－2×4×3+6×3－4×2）

=15S=9/6×（2×6×2+2×4×3－6×3－4×2）

=332364（3）9（2）32649（4）2369h5L/8(L+b)/3(L+a)/3bLahL/43L/4h三角形A=hL/2二次抛物线A=hL/3L/2L/2L/54L/5h3L/8h二次抛物线A=2hL/3三次抛物线A=hL/4二次抛物线A=2hL/3

4）几种图形的面积及形心顶点

顶点

顶点

顶点

●如果图形比较复杂，则可将其分解为几个简单图形，分项

计算后再进行叠加。

5）复杂图形的处理方法●一个图形是曲线，另一个图形是折线，则应分段后加辅助线再进行图乘。MP图M

图BMAABMBMAABMBABABMBMAABMBA作MP图如图（b）所示。在A端作用一单位力矩，其M图如图（c）所示。

【例题11】计算图（a）所示梁A端的转角和。解：（1）求6m6mB10kN/m20kNAC（a）AMA=1BC1（c）M

图AB300kN.m45kN.mC（b）MP图

（2）计算C端的竖向位移作MP图如图（b）所示。在C端作用一单位竖向力，其M图如图（d）所示。6m6mB10kN/m20kNAC（a）AB300kN.m45kN.mC（b）MP图ACB6（d）M

图1P=1MPql2/2

ll/2AB2EIEIl/2求B点的竖向位移。EIql256174=lllqlEI25.023232212+·-lqllqllqllqllEI8222822265.0212222úûù++êëé++lqlEIlB432831122··=DEIqlllqlEIB843231142=·=DylqlEIB283312102+·=DLq↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓？ql2/8l/2？ql2/32y0CABF=1L2L（c）M

图MC=qL2/2EIBqCFQC=qL（d）【例题12】求图示变截面梁B点的竖向位移。2EIEILLCqAB（a）解：（1）做出MP图见图（b）。（2）在B端加单位荷载后

求出M图见图（c）。（3）先将梁AB分成AC和

CB两段，再将AC段按图（b）化分。求C点的弯矩，取隔离体见（d）图。qL2/22qL2ω3ω1ω2ω4qL2/8CAB（b）MP图（5）B点的竖向位移（4）各部分的面积及形心位置对应的M图竖坐标分别为:

E=3.3×1010N/m2

I=1/12×100×2.53cm4=1.3×10-6m4

折减抗弯刚度

0.85EI=0.85×1.30×10-6×3.3×1010=3.6465×104Nm2例：预应力钢筋混凝土墙板单点起吊过程中的计算简图。已知：板宽1m，厚2.5cm，混凝土容重为25000N/m3，求C点的挠度。↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q=625N/m2.2m0.8mABC解：q=25000×1×0.025＝625N/m200378P=10.8MP↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q=625N/m2.2m0.8mABCω1y1ω3y3ω2y2【例题13】求图示结构D点的竖向位移。（1）求支座反力见图（b）。（2）荷载作用下各杆的轴力及

弯矩见图（c）。qFYA=6qFXA=6qFXB=6q（b）荷载作用下支座反力解：1.5q7.5q2q2q（c）FNP及MP图3mC2m4mEADBEAAEIq（a）原结构（3）在D点加单位荷载，各杆的轴力

及弯矩图如图（d）所示（4）求D点的竖向位移（5）求均布荷载q令ΔDY≤0.01m，即可求得：q≤32.04kN/m。-1/25/22F=1（d）FN及MP图1.5q7.5q2q2q（c）FNP及MP图【例题14】求图示三铰刚架C点的相对转角

，杆件的EI为常数。αABDEC8m2m6m20kN.m解：荷载作用下的弯矩图如下所示。ABDEC1201204040Mp图两图的图乘结果即为

：荷载作用下的弯矩图和虚设力作用下的弯矩图如下所示。4040ABDEC120120MP图B13/4M=1EA3/4DMC图求AB两点的相对水平位移。36189MPP=1P=163)()®¬=EI-756øö×××+3322318çèæ××××-+EI643636311øö+×××-2639632(çèæ×+×-××+××-=DEI61833631826362661↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓6kN2kN/m2kN/m

6m3m3mABEI=常数99999998、温度改变而产生的位移计算1）温度改变对静定结构不产生内力，变形和位移是材料自由膨胀、收缩的结果。2）假设：温度沿截面高度为线性分布。t1t2t0hh1h23）微段的变形

dsdθat0ds

=

aΔt/hγ=0Δ±Δit=MNh

ttwawa0∫∫Δ±=Δitdsh

tMdstNaa0该公式仅适用于静定结构ε=at0at1dsat2ds正负号的规定：虚力状态中的变形与温度改变产生的变形方向一致时取正号，反之取负号。【例题6】图示三铰刚架，室内温度比原来升高了300，室外温度没有变化，求C点的竖向位移，杆件的截面为矩形，高度h为常数，材料的膨胀系数为。6m5m5mBAC2m+3000000（2）运用公式求BAC1.861.86FP=10.50.50.310.31M1图解：（1）在C点作用一竖向单位力画出M和FN图。BAC0.470.47FP=10.500.50FN图求图示桁架温度改变引起的AB杆转角.解：构造虚拟状态Ni

9、线性变形体系的互等定理

在超静定结构的内力分析中，常常用到弹性体系的四个互等定理，即功的互等定理、位移互等定理、反力互等定理和反力与位移互等定理。其中最基本的是功的互等定理，另外三个定理则可由功的互等定理推导而得。设有两组外力FP1和FP2分别作用于同一线弹性结构上，如图所示，（a）、（b）分别称为结构的第一状态和第二状态。1）功的互等定理FP112Δ11（a）状态ⅠΔ2112Δ12（b）状态ⅡΔ22FP2这两组力按不同次序先后作用于同一结构上时所作的总功分别为：●在结构上先加FP1后再加FP2，结构变形情况如图（c）所示，则外力所做总功为：●在结构上先加FP2后再加FP1，结构变形情况如图（d）所示，则外力所做总功为：（d）先加FP2后加FP1Δ22Δ21Δ11FP1FP2Δ11Δ22Δ12FP1FP2（c）先加FP1后加FP2在上述两种加载过程中，外力作用的先后次序虽然不同，但是最后的荷载和变形情况是一样的。因此，两种加载情况所做的总功应该相等，即外力所做总功与加载次序无关，故：将两式代入上式得：由此可得：功的互等定理：

第一状态的外力在第二状态的位移上所作的虚功，等于第二状态的外力在第一状态的位移上所作的虚功。令功的互等定理中：FP1=FP2=12）位移互等定理则由功的互等定理可得：FP1=112（a）状态Ⅰ12（b）状