质点力学运动定律与守恒定律

1第2章质点力学的运动定律守恒定律（Newton’slawsofmotion）§2.1

质点力学的基本定律§2.2动量动量守恒定律§2.3功动能势能机械能守恒定律§2.4角动量角动量守恒定律§2.5刚体定轴转动

§2.1

质点力学的基本定律1、第一定律（惯性定律）惯性力

物体总是要保持静止或匀速直线运动的状态，直到受到力的作用迫使它改变这种状态为止。

物体的惯性：物体具有保持其运动状态不变的性质。

力与运动的关系：力的作用是改变物体的运动状态（运动速度），而不是维持物体的运动状态（运动速度）；力是使物体运动状态发生变化的物体间的相互作用。23直角坐标系：曲线坐标系：法向：切向：（圆周运动：=R）对惯性系成立

牛顿第二定律的微分形式是基本的普遍形式，适用于高速运动情况与变质量问题。中学：大学：2.牛顿第二定律（1）质量是惯性的量度（2）瞬时性（3）矢量性43.第三定律两物体间的作用力和反作用力大小相等，方向相反，沿同一直线，分别作用在两个不同的物体上。12F21第三定律的数学表达式:注意:1.作用力与反作用力同生同灭。2.作用力与反作用分别作用于两个不同的物体,各产生其效果。3.作用力与反作用力性质相同。F12物体受到绳的拉力和受到的重力是否是作用力与反作用力？问题:PT54.常见的几种力弹力的三种形式：正压力或支持力:物体通过一定面积相接触而产生的相互作用力。拉力和张力:拉力是绳或线对物体的作用力;张力是绳子内部各段之间的作用力。弹簧的弹力:(1)

重力：地球表面附近的物体受地球的引力作用。(2)

弹力：发生形变的物体,由于要恢复原状,对与它接触的物体产生的作用力。地球重力：弹力支持力正压力张力拉力6例:如图，质量均匀分布的粗绳拉重物，已知：F

=150N，a

=

0.2m/s2，l=

4m，m

=

2kg.求：距顶端为x米处绳中的张力.拉紧的绳中任一截面两侧的两部分之间相互作用力称该截面处的张力.解：从顶端向下取x米绳，由牛顿第二定律若若绳的质量忽略，则张力等于外力7质点动力学的基本问题：质点动力学问题可分为两类：(1)

已知质点的运动，求作用于质点的力。由求：F一维直线运动，运动方程

x=x

(t)例：一质点质量为m=2kg，作直线运动，运动方程x=10t2+2t+1（SI）求质点所受的合外力。解：5.应用牛顿定律解题8解：例：一质点质量m，运动方程，求作用于质点的合外力。9例:如图所示，单摆运动为=0sint,为细绳与铅直线所成的角,

0和均为常数。设摆锤质量为m，绳长为R，求绳子的张力。解：质点绕

c

点作变速圆周运动，其法向加速度为：m0RcmgT求得：10例：一质点m=1kg，直线运动，受力f=2t，设t=0

时，x0=

0，v0=1m/s，求质点的运动方程。解：(2)

已知作用于质点的力，求质点的运动。a.

选择好坐标系；b.根据F

=

mdv/dt

的分量形式建立运动微分方程式；c.对微分方程求解，得到运动方程。11解：x0mvF阻力沿x轴负方向，表示为：F=–kv

，k为常数。

将代入上式，得：当t=0时，x=0；例：质量为m

的物体，以初速度v0沿水平方向向右运动，所受到的阻力与速度v

成正比，求物体的运动方程。当t=0时，v

=v012a惯性系非惯性系6.非惯性系

惯性力问题:1.在地面的站台上观察金杯的运动状态如何?2.在加速行驶的车内观察金杯的运动状态又如何?(答:静止)(答:加速向左运动。)13

牛顿第二定律仅仅适用于惯性系(相对于地球静止或作匀速直线运动的物体),怎样把牛顿第二定律推广到非惯性系呢?非惯性系：相对地面惯性系做加速运动的物体。平动加速系：相对于惯性系作变速直线运动，但是本身没有转动的物体。例如：在平直轨道上加速运动的火车。转动参考系：相对惯性系转动的物体。例如：转盘在水平面匀速转动。惯性力:在非惯性系中观察和处理物体的运动现象时,为了应用牛顿定律而引入的一种虚拟力。观察：处理：14在平动加速参考系中惯性力:在非惯性系中牛顿第二定律的形式为惯性力不是物体间的相互作用，它没有反作用力。

本质上是物体惯性的体现，有真实的作用效果。

15问题：在转动参考系中，如何引入惯性力对牛顿第二定律进行推广？大小方向沿着圆的半径向外在转盘上(非惯性系)观察:小球静止。在转动参考系中惯性力:在地面上(惯性系)观察:小球受弹簧拉力做圆周运动；处理：弹簧拉力客观存在(惯性离心力)16例：在加速运动的车上分析单摆与竖直方向的夹角。(1)

确定研究对象：物体m(2)

选参照系——

车（非惯性系）(3)

在参照系上建立直角坐标系如图；(4)

隔离物体分析力:解：运用牛顿第二定律列方程：x方向：y方向：解出:17例如图m与M保持接触,各接触面处处光滑.求：m下滑过程中，相对M的加速度amM解：画隔离体受力图M相对地面加速运动，运动加速度设为以M为参考系画m

的受力图以地面为参考系画M的受力图18以地面为参考系对M列方程以M为参考系（非惯性系）对m

列方程结果为：x方向：x'方向：y'方向：19求积分有：—

动量定理物体在运动过程中所受到的合外力的冲量，等于该物体动量的增量。比较：中学Ft=mv2

-mv1直线运动，F—恒力普遍性，直线，曲线，直角坐标系，分量式：§2

动量动量守恒定律1.质点的动量定理力对时间过程的积累效应，冲量。20mF（a）0t(s)F(N)4730（b）解:由动量定理:(1)上式中F=30N,v0=0m/s,解出v4=4.16m/s(2)上式中F=70–10t,解出v7=2.78m/s(3)解出v6=4.24m/s例：如图

a所示，质量为m=10kg的木箱，在水平拉力F

的作用下，由静止开始运动，若拉力的大小随时间变化的关系如图b所示，已知木箱与地面间的摩擦系数=0.2，求：t=4、7、6s时木箱速度的大小。212.质点组（系）的动量定理m1m2mn内力成对产生，矢量和为零;推广到系统的所有内力矢量和为零。对第i个质点，一共有n个这样的方程，求和：22

由n个质点组成的力学系统所受合外力的冲量等于系统总动量的增量。注意：内力不能改变系统的总动量；内力能改变每一个质点的动量。23

汽车发动机内气体对活塞的推力以及各种传动部件之间的作用力能使汽车前进吗？使汽车前进的力是什么力？

参考解答：汽车发动机内气体对活塞的推力以及各种传动部件之间的作用力都是汽车系统的内力，内力只会改变内部各质点的运动状态，不会改变系统的总动量，所以不能使汽车前进。使汽车前进的力只能是外力，这个外力就是地面给汽车的摩擦力。粗略分析如下：当汽车发动机内气体对活塞的推力带动传动部件使主动轮（一般为汽车的后轮）绕轮轴转动时，使主动轮与地面的接触部分相对地面有向后滑动的趋势，从而使地面对汽车施以向前的摩擦力，使汽车整体向前加速运动。

由于汽车前进使从动轮（汽车的前轮）相对地面有向前的运动趋势，因此从动轮受到地面施以的方向向后的摩擦力，该摩擦力对从动轮轴的力矩使从动轮滚动起来。所以汽车的运动最终靠的是地面施加的摩擦力。24=常矢量如果系统所受的外力之和为零（即），则系统的总动量保持不变。这个结论叫做动量守恒定律。条件3.动量守恒定律直角坐标系下的分量形式=常量=常量=常量25关于动量守恒定律，注意几点：开始静止，加上一对力后，转动；动量守恒吗？每一对对应点的动量矢量和还是为零。(2)碰撞、打击—摩擦力、重力作用，外力矢量和不为零(因t很短,碰撞、打击的内力远大于外力),仍有动量守恒.(3)外力矢量和不为零,但沿着某一方向分量的代数和为零,总动量在该方向的分量守恒.(1)动量是矢量，是矢量守恒。26例：车(M)长l,人(m)，车对地光滑,问人从车的一端走到另一端时,人和车各对地移动了多少?x人x车解:(人,车)—

系统沿水平方向,动量守恒.一维直线运动,27

物体m与质元dm在

t

时刻的速度以及在

t

+

dt

时刻合并后的共同速度如图所示：mdmm+dm

把物体与质元作为系统考虑，初始时刻与末时刻的动量分别为：初始时刻末时刻4.变质量物体的运动方程28对系统利用动量定理略去二阶小量，两端除d

t值得注意的是，dm可正可负，当dm取负时，表明物体质量减小，对于火箭之类喷射问题，为尾气推力。变质量物体运动微分方程29(1)确定研究系统,取定坐标系(2)写出系统动量表达式(3)求出系统动量变化率(4)分析系统受力(5)应用动量定理求解变质量问题的处理方法例1：装煤车的牵引力例2：匀速提柔软链条30例：柔软的绳盘在桌面上，总质量为m0，总长度l,质量均匀分布，均匀地以速度v0提绳。求：绳子被拉上任一段后，绳端的拉力F。解：(方法一)取整个绳子为研究对象(系统)受力图t

时刻绳子被拉上x,

t+dt

时刻绳子被拉上x+dx

t

时刻和t+dt时刻系统总动量分别为:31例：一辆煤车以v

=3m/s的速率从煤斗下面通过,每秒钟落入车厢的煤为

△m=500kg。如果车厢的速率保持不变,应用多大的牵引力拉车厢?设以地面为参考系，建立坐标系如图，解:

研究对象：

t时刻车中煤的总质量m和

t+dt

时刻落入车厢的煤的质量dm

t

时刻和t+dt时刻系统水平总动量分别为:dt时间内系统水平总动量增量为:由动量定理可得:mdmOx32

质点系的质量中心，简称质心。具有长度的量纲，描述与质点系有关的某一空间点的位置。

质心运动反映了质点系的整体运动趋势。5.

质心质心运动定理抛手榴弹的过程COxy33质心(质量中心)定义对于分立体系：直角坐标系下：xzyOm2m1mimNc34M对于连续体：直角坐标系下：(xcyczc)cxzyOdm35dxx例:求腰长为a等腰直角三角形均匀薄板的质心位置。这个结果和熟知的三角形重心位置一致。三角形质心坐标xc是解:因为等腰直角三角形对于直角的平分线对称，所以质心位于此分角线上。以此分角线为x轴，作坐标轴如图所示。Oxy在离原点处取宽度为dx的面积元，由于面积元的高度为2y，所以其面积为2ydx=2xdx。设薄板每单位面积的质量为，则此面积元的质量dm=2xdx。36——

质心运动定理表明：不管物体的质量如何分布，也不管外力作用在物体的什么位置上，质心的运动就象是物体的质量全部都集中于此，而且所有外力也都集中作用其上的一个质点的运动一样。质心的运动只由合外力决定，内力不能改变质心的运动情况。质心运动反映了质点系的整体运动趋势。37动量守恒定律=常矢量=常矢量系统所受合外力矢量和为零，动量守恒。即质心速度保持不变！38

天安门前放焰火时，一朵五彩缤纷的焰火的质心的运动轨迹如何？（忽略空气阻力与风力）为什么在空中焰火总是以球形逐渐扩大？答：由质心运动定理F=mac可知，系统的外力决定质心的运动。天安门前放焰火时，若不计阻力和风力，焰火受到的外力只有重力，所以焰火质心的运动轨迹就是一条抛物线。

焰火在空中炸开时，由于爆炸力远远大于重力，可近似认为焰火系统动量守恒，焰火各质点的动量之和必须保持为零，所以各方向的动量都有，且相反方向的动量大小必定相等，从而使空中的焰火大致以球形逐渐扩大。39例：

一质量m1=50kg的人站在一条质量

m2=200kg,长度l=4m的船头上。开始时船静止,求当人从船头走到船尾时船移动的距离d=？x0yC船C船解:取人和船为系统,该系统在水平方向不受外力,因而水平方向的质心速度不变,即质心始终静止不动。当人在船左端时,人和船这个系统的质心坐标为当人在船右端时,人和船这个系统的质心坐标为由于所以即:求当人从船头走到船尾时船移动的距离401.功（定义）、变力做功的计算.轨道分成N个小段,每个小段足够小,其上F大小、方向均一定，按恒力作功，有：取第i小段,有:§3功动能

势能机械能守恒定律

牛顿定律——瞬时作用关系。力的空间积累对质点运动的影响。ab41直角坐标系：功率：t内作功A，平均功率：瞬时功率：或ab42例：已知力质点从原点移动到

x

=

8,y

=

6处该力做功多少?43系统中一对内力的功

设有两个质点1和2，质量分别为m1和m2，f1为质点1受到质点2的作用力，f2为质点2受到质点1的作用力，它们是一对作用力和反作用力。思考:这样一对内力的功与参照系有关吗?0dt时间质点2对质点1的相对位移表明：任何一对作用力和反作用力所作的总功具有与参考系选择无关的不变性质。

由此可见，一对作用力与反作用力所作的总功只与作用力

及相对位移

有关。44(1)直线运动：(2)曲线运动：代入上式，有：合外力对物体所作的功等于物体动能的增量。2.质点的动能定理

不仅产生于

方向的改变，而且也决定于

大小的变化。453.保守力势能

Ep重力势能弹力势能引力势能定义：力F

作功与始末位置有关，与路径无关。F—保守力功的大小只与物体的始末位置有关，而与所经历的路径无关，这类力叫做保守力。不具备这种性质的力叫做非保守力。保守力

以保守力相互作用的物体系统，在一定的相对位置状态下所具有的能量称势能。460xybacy1y2h如果质点沿a-d-c下落，计算过程与结果与此完全一样。d重力作功与始末位置有关，与路径无关。如果m沿c-b-a运动，则所以，adcba一周，重力势能,(重力势能——重力作功）任取一中间元过程m在重力

的作用下从a-b-c，重力

作的功。47弹性势能（弹性力作功）x0mkm：x1—x2弹性力势能与保守力作功的一般关系：保守力作正功，势能减少。保守力作负功（外力反抗保守力作功），势能增加。弹性力作功也仅仅与质点的始末位置有关，与具体路径无关。48引力势能(计算一对万有引力的功)由此可见，万有引力作功也仅仅与质点的始末位置有关，与具体路径无关。

两个物体的质量分别为M和m，它们之间有万有引力作用。这一对万有引力作功之和只取决于它们间的相对运动，选择不同的坐标系计算这一对力作功之和都会得出相同的结果。M

静止，以M为原点O建立坐标系，研究m

相对M

的运动。49重力势能弹性势能引力势能势能曲线50势能曲线的作用：保守力沿某坐标轴的分量等于势能对此坐标的导数的负值。(1)根据势能曲线的形状可以讨论物体的运动。(2)利用势能曲线，可以判断物体在各个位置所受保守力的大小和方向。例：双原子分子势能曲线

rEp

r0or=r0时，

有

fr

=0平衡位置r>r0时，

有

fr<0，指向r的减小方向，是引力。

r<r0时，有

fr

>0，指向r增大的方向，是斥力。51123外力外力外力内力内力内力内力和外力内力：系统内各质点之间的相互作用力。N个质点组成系统——质点组。对第i个质点：(i=1,2,3……N)把

N

个方程加起来:4.质点组的动能定理所有外力作的功与所有内力作的功的代数和等于系统总动能的增量质点组的动能定理.52内力：保守内力或非保守内力。质点组的动能定理功能原理：系统外力与非保守内力作功之和等于系统机械能的增量。机械能守恒定律：如果一个系统内只有保守内力做功，或者非保守内力与外力的总功为零，则系统内各物体的动能和势能可以互相转换，但机械能的总值保持不变。这一结论称为机械能守恒定律。53运用功能原理解题步骤:(1)确定研究对象——“系统”（保守力的施力体划在系统内）;(2)分析系统所受的力及力所做的功；(3)选择惯性系建坐标；(4)选择零势能点；(5)计算始末态的机械能及各力所做的功;(6)应用功能原理列方程解方程。54例:一根质量为m长为

L的匀质链条,放在摩擦系数为

的水平桌面上,其一端下垂,长度为a,如图所示,设链条由静止开始运动,求:⑴链条离开桌面过程中摩擦力所做的功;⑵链条刚刚离开桌面时的速率。L-aa(1)确定研究对象——“系统”=链条+桌面+地球;(2)分析系统所受的力及力所做的功；(3)选择地球惯性系建立坐标系；(4)选择零势能点；(原点所在水平位置)摩擦力ox零势能点关键：链条离开桌面过程中摩擦力所做的功:任取一中间元过程55(5)计算始末态的机械能(6)应用功能原理列方程解方程链条刚刚离开桌面时的速率：零势能点L-aa零势能点始末56定义：质点对定点的角动量(又称动量矩)为角动量大小（面积）角动量方向§4角动量，角动量守恒定律1.角动量做圆周运动时，由于，质点对圆心的