哈工大建筑力学第4章(第3-6节) 平面力系的简化及平衡方程

第四章平面力系的简化与平衡方程林国昌§4-3平面任意力系的平衡条件•平衡方程§4-3平面任意力系的平衡条件平衡方程

如果平面任意力系向任一点简化后的主矢和主矩都等于零，表明简化后的汇交力系和附加力偶系都自成平衡，则原力系必为平衡力系。平面任意力系平衡的充要条件是：力系的主矢和力系对任一点的主矩都等于零。即：(4-8)主矢：主矩：§4-3平面任意力系的平衡条件平衡方程

和等价主矢：主矩：等价(4-9)称为平面任意力系的平衡方程。(4-9)等价平面任意力系的平衡方程实际上就是平面任意力系平衡的解析条件：即所有各力在两个任选的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以及各力对于任意一点的矩的代数和也等于零。有三个独立方程，只能求解三个未知数这是平面任意力系平衡方程的基本形式。§4-3平面任意力系的平衡条件平衡方程

(4-9)例已知：尺寸如图。解：取起重机，画受力图.3个未知量§4-3平面任意力系的平衡条件平衡方程

A点固定铰支座约束，B点光滑面约束，求轴承A和B处的约束力.例

两根直径为d的圆钢，每根重P=2kN，搁置在槽内。忽略接触面的摩擦，求A、B、C三点的约束力。O1O2ⅠⅡPPABC45o解：3个未知量NCNBNA解方程。（略）研究对象：两根圆钢NA－NC＝0NB－P－P＝0

NC

dsin45°－Pdcos45=0xy§4-3平面任意力系的平衡条件平衡方程

例4-3刚架AB受均匀分布的风荷载的作用，单位长度上承受的风压为q(N/m)，给定q和刚架尺寸，求支座A和B的约束力。L1.5LAB解：取

刚架，画受力图.FAx+FR=0ABxyFRFAxFAyFByFAx=-FR=-qLFAy+FBy=01.5FByL-FRL/2=0FAx=-FBy=-qL/3§4-3平面任意力系的平衡条件平衡方程

3个未知量yx2Faa/2FFAxFAyMA例4-4构件受力如图所示，求固定端A的约束。解：取整体构件，画受力图FAx-F=0FAy-2F=0MA-2Fa-Fa/2=0FAx=FFAy=2FMA=2.5Fa3个未知量§4-3平面任意力系的平衡条件平衡方程

利用平衡方程，求解平衡问题的步骤为：1）选—选取研究对象。应既受已知力，又受要求的力或与要求力相关的力。2）画—画受力图。3）建—建立坐标系。原点可任意，使坐标轴与较多的未知力平行。4）列—列平衡方程。注意：矩心最好在多个未知力作用线的交点上。5）解—解平衡方程。6）答—答案，必要时作出讨论或说明。§4-3平面任意力系的平衡条件平衡方程

yx2Faa/2FFAxFAyMA3个未知量二矩式：三矩式：x轴不得垂直于A、B连线。A、B、C三点不共线。三组方程都可用来解决平面任意力系的平衡问题。究竟选用哪一组方程，须根据具体条件确定。

对于受平面任意力系作用的单个刚体的平衡问题，只可以写出三个独立的平衡方程，求解三个未知量。任何第四个方程只是前三个方程的线性组合，因而不是独立的。§4-3平面任意力系的平衡条件平衡方程

例4-8如图所示，十字交叉梁用三个链杆支座固定，求在水平力F作用下各支座的约束力。二矩式：yxFaaaa30oFBFCFAABCLFa+FB2a-FCa=0矩心A矩心BFa+FA2acos30o-FCa=0∑MB=0∑MA=0FAsin30o-F-FC=0FA=-1.62FFB=-1.40FFC=-1.81F§4-3平面任意力系的平衡条件平衡方程

x轴不得垂直于A、B连线。三矩式：Fa+FB2a-FCa=0矩心A矩心BFa+FA2acos30o-FCa=0∑MB=0∑MA=0yxFaaaa30oFBFCFAABCL矩心C∑MC=0FA=-1.62FFB=-1.40FFC=-1.81FFAcos30oa+F2a+FBa-FAsin30oa=0§4-3平面任意力系的平衡条件平衡方程

A、B、C三点不共线。ACBPFC45yx解得：FC＝28.28kN例已知如图AC＝CB＝l，载荷P＝10kN。设梁和杆的自重不计，求铰链A的约束力和杆DC所受的力。DCF’DF’CPABD45解：研究对象：AB梁。XA＋FCcos45＝0

YA＋FCsin45－P＝0

FCsin45l－P2l＝0ll由作用反作用公理，CD杆受压力28.28kNXA＝－20kNYA＝－10kN(负号表明约束力方向与图示相反)CXAYA§4-3平面任意力系的平衡条件平衡方程

3个未知量PABCD45yxllAXAYAFCC45PBDl如果写出对A、C两点的力矩方程和对x轴的投影方程：如果写出对A、D、C三点的力矩方程？——作业1§4-3平面任意力系的平衡条件平衡方程

二矩式例：

水平梁长为4m，重P=10kN，作用在梁的中点C。承受均布载荷q=6kN/m，力偶矩m＝8kNm。试求A、B处的约束力。解：研究对象：水平梁AB。－8解得：P4m2mqmCBA45°XAYARBq×2§4-3平面任意力系的平衡条件平衡方程

§4-4平面平行力系的平衡方程只有两个独立平衡方程，只能求解两个未知数。

上式是平面平行力系平衡方程的基本形式，它的二矩式是

若力系中所有力的作用线都在同一平面内且平行，称为平面平行力系，它是平面任意力系的特殊情况，如图所示。当取x轴与力系中各力垂直，则自然满足。则平面平行力系平衡方程为:§4-4平面平行力系的平衡方程

P2P1P3PAB3.0m2.5m1.8m2.0m例：

一种车载式起重机，车重P1=26kN，起重机伸臂重P2=4.5kN，起重机的旋转与固定部分共重P3

=31kN。尺寸如图所示。设伸臂在起重机对称面内，且放在图示位置，试求车子不致翻倒的最大起吊重量Pmax。§4-4平面平行力系的平衡方程

解：(1)取汽车及起重机为研究对象，受力分析如图。PP2FAP1P3FBAB3.0m2.5m1.8m2.0m不翻倒的条件是：FA≥0，故最大起吊重量为Pmax=7.5kN联立求解

所以由上式可得§4-4平面平行力系的平衡方程

(2)列平衡方程。塔式起重机如图所示，机架自重W=700KN，作用线通过塔架轴线。最大起重量W1=200KN，最大吊臂长为12m，平衡块重W2，它到塔架轴线的距离为6m。为保证起重机在满载和空载时都不翻倒，试求平衡块的重量应为多大。例4-9§4-4平面平行力系的平衡方程

FAFB§4-4平面平行力系的平衡方程

解：(1)取起重机为研究对象，受力分析如图。起重机底部是由滚动铰支座约束，故有两个约束力FA和FB。平面平行力系！FAFB§4-4平面平行力系的平衡方程

(2)列平衡方程。未知数：FA、FB、W2。平面平行力系的平衡方程只有两个，只能求解2个未知数，因此，需要补充方程。分析：(1)起重机满载时，W1=200kN。此时平衡块W2保证起重机不会饶B轮发生翻到。当处于翻到和未翻到的临界状态时，FA=0。此时W2是起重机满载时不翻到的最小值，用W2min表示。FAFB§4-4平面平行力系的平衡方程

分析：(2)起重机空载时，W1=0kN。此时平衡块W2保证起重机不会饶A轮发生翻到。当处于翻到和未翻到的临界状态时，FB=0。此时W2是起重机空载时不翻到的最大值，用W2max表示。例已知F=40KN，M=150KNm。求支座A、B处的反力。ABFM解：研究对象：AB梁.

画受力图.6m3mABFMFBFA解略！§4-4平面平行力系的平衡方程

§4-5物体系的平衡问题§4-5物体系的平衡问题

物体系:是指由若干个物体通过适当的约束相互连接而组成的系统。PACBQQBqEDCA讨论物体系平衡时，不仅要考虑系统的外力，还要考虑系统内部各物体之间的相互作用力（内力）。物体系若由n个物体组成，则可以写出3n个独立的平衡方程，可求解3n个未知数。例4-7：三铰拱ABC的支承及荷载情况如图所示。已知P=20kN,均布荷载q=4kN/m.求铰链支座A和B的约束反力。1m2m2m3mABCqPXAYAXBYB解：1）研究对象：整体MA(Fi)=0-q×3×1.5-P×3+4×YB=0YB=19.5kN

YA-P+YB=0YA=0.5kN§4-5物体系的平衡问题

xy2）研究对象：BCXCYCMC(Fi)=0-1×P+2×YB+3×XB=0XB=-6.33kN§4-5物体系的平衡问题

1m3mBCPXBYB2mXA=-5.67kN

q×3+XA+XB=0整体分析：§4-5物体系的平衡问题

1m2m2m3mABCqPXAYAXBYBYA=0.5kNYB=19.5kNXB=-6.33kN已经求出：解静定物体系统平衡问题的一般步骤:1)分析系统由几个物体组成；2)按照便于求解的原则,适当选取整体或个体为研究对象进行受力分析并画受力图；3)列平衡方程并解出未知量。※一般需取多次研究对象。§4-5物体系的平衡问题

例已知三角拱的重力及载荷和几何尺寸，求A、B的约束力。PACBQQ研究对象的选取方案：（1）整体和BC（2）AC和BC（3）整体和AC§4-5物体系的平衡问题

解：选取研究对象XBXAYAYB解一（1）研究对象：整体YBYA（2）研究对象：BCXB代入（1）式，可解得XA。XCBXBYBCYCQPACBQQ§4-5物体系的平衡问题

PACBSQQ（1）研究对象：AC（2）研究对象：BC方程含X'C、Y'C方程含XA、YA方程含XA、XC方程含XC、YC方程含XB、YB方程含XB、XCPQACY'CX'CXAYAXCBXBYBCYCQ6个方程、6个未知力，联立可解研究对象不同计算量相差很大。解二§4-5物体系的平衡问题

例

已知M=10kNm，q=2kN/m，求A、B、C三处的约束力。qCAB1mM1m1m1m解：全面进行受力分析，选取合适的研究对象:整体受力分析§4-5物体系的平衡问题

qCAB1mM1m1m1mYAXAMAYCYC=0.5kNCBABmqqYCYBXBYBXBYAXAmAXB=01）研究对象：BCYB=1.5kN§4-5物体系的平衡问题

XA=02）研究对象：AB①根据求解的问题，恰当的选取研究对象：要使所取物体上既包含已知条件，又包含待求的未知量。②对选取的研究对象进行受力分析，正确地画出受力图。③建立平衡方程式，求解未知量：a)根据所研究的力系选择平衡方程式的类别（如汇交力系、平行力系、任意力系等）和形式（如基本式、二矩式、三矩式等等）。b)建立投影方程时，投影轴的选取原则上是任意的，并非一定取水平或铅垂方向，应根据具体问题从解题方便入手去考虑。c)建立力矩方程时，矩心的选取也应从解题方便的角度加以考虑。§4-5物体系的平衡问题

§4-6考虑摩擦的平衡问题前几章我们把接触表面都看成是绝对光滑的，忽略了物体之间的摩擦，事实上完全光滑的表面是不存在的，一般情况下都存在有摩擦。两个相互接触的物体产生相对运动或具有相对运动的趋势时，彼此在接触部位会产生一种阻碍对方相对运动的作用，这种现象称为摩擦，这种阻碍作用，称为摩擦阻力。§4-6考虑摩擦的平衡问题

何时可以不考虑摩擦？答：当摩擦对所研究的问题是次要因素，可以略去不计。摩擦的有利之处：§4-6考虑摩擦的平衡问题

摩擦的不利之处：机械零件的磨损！摩擦滑动摩擦滚动摩擦静滑动摩擦动滑动摩擦静滚动摩擦动滚动摩擦摩擦干摩擦湿摩擦滑动趋势滑动滚动趋势滚动接触面间无润滑介质接触面间有润滑介质§4-6考虑摩擦的平衡问题

摩擦的分类：4-6-1静滑动摩擦力F(2)此刻，在物体上再施加一个水平拉力F,只要F值不超过一定限度，则物体仍处于平衡状态。§4-6考虑摩擦的平衡问题

AFNWFs(1)重W的物体放在粗糙的水平面上,

平衡状态。此时只受W和FN作用，FN是接触面对物体施加的约束力。(3)这表明：必定有一个阻碍物体沿水平方向滑动的力Fs，Fs称为静滑动摩擦力。Fs的方向：与物体的相对滑动的趋势相反，沿接触处的公切线(“相对滑动的趋势”指的是假设不存在摩擦时，物体在主动力作用下的相对滑动方向)。Fs的大小：4-6-2最大静摩擦力，静滑动摩擦定律1）最大静摩擦力作用在物体水平拉力F,增大到某一限度时，如果继续增大，物体将会产生滑动，而不再保持平衡。将物体即将滑动而尚未滑动的平衡状态称为临界平衡状态。此时静摩擦力达到最大值Fmax

,称为最大静摩擦力。§4-6考虑摩擦的平衡问题

AFFNWFs(4-14)平衡时，静滑动摩擦力的取值范围为：2）静滑动摩擦定律fs—静摩擦因数，它是无量纲，与接触物体材料、接触面粗糙度、温度、湿度等有关。fs通常有一定的取值范围，但是当材料和表面情况确定的条件下，fs可以看做是常数。§4-6考虑摩擦的平衡问题

法国物理学家库伦通过对干燥接触面的试验发现：(1)最大静摩擦力的方向与物体的相对滑动的趋势相反，沿接触处的公切线；(2)最大静摩擦力的大小与相互接触两物体间的正压力(法向反力)成正比。AFFNWFs(4-15)式(4-15)称为静滑动摩擦定律，或库伦定律。4-6-3动滑动摩擦力(2)此刻，静滑动摩擦力称已经不能阻碍物体相对滑动的发生，只能起到一个阻力作用，称之为动滑动摩擦力，用Fm表示。§4-6考虑摩擦的平衡问题

AFFNWFmax(1)设物体在FN作用处于临界平衡状态，当FN继续增大时，物体将发生滑动。AFFNWFm临界平衡状态滑动状态4-6-3动滑动摩擦力§4-6考虑摩擦的平衡问题

f—动摩擦因数，它是无量纲，与接触物体材料和表面情况有关，还与接触物体间相对滑动的速度大小有关。当滑动速度不大时，动摩擦系数可近似认为是个常数。试验表明：(1)动滑动摩擦力的方向与物体的相对滑动的方向相反；(2)动滑动摩擦力的大小与相互接触两物体间的正压力(法向反力)成正比。(4-16)式(4-16)称为动滑动摩擦定律。AFFNWFm滑动状态通常动摩擦因数小于静摩擦因数，即：47状态：①静止：②临界：（将滑未滑）

③滑动：增大摩擦力的途径为：①加大正压力FN,②加大摩擦因数。

（fs

—静摩擦因数）（f‘—动摩擦因数）§4-6考虑摩擦的平衡问题

AFFNWFs通常动摩擦因数小于静摩擦因数，即：当有摩擦时，接触面的