单自由度系统振动(上课用)

第4章单自由度系统的振动1

振动是日常生活和工程实际中常见的现象。例如：钟摆的往复摆动,汽车行驶时的颠簸，电动机、机床等工作时的振动，以及地震时引起的建筑物的振动等。

利：振动给料机弊：磨损，减少寿命，影响强度振动筛引起噪声，影响劳动条件振动沉拔桩机等消耗能量，降低精度等。3.研究振动的目的：消除或减小有害的振动，充分利用振动为人类服务。2.振动的利弊：1.所谓振动就是系统在平衡位置附近作往复运动。2

4.振动的分类：单自由度系统的振动

按振动系统的自由度分类多自由度系统的振动弹性体的振动

按系统的输入（激励）分类：

自由振动：无阻尼的自由振动有阻尼的自由振动，衰减振动强迫振动：无阻尼的强迫振动有阻尼的强迫振动自激振动本章重点讨论单自由度系统的自由振动和强迫振动。3按系统的输出（响应）分类简谐振动周期性振动瞬态振动随机振动按描述系统的微分方程的性质分类线形振动非线形振动4振动问题的求解步骤：1、建立振动系统的力学模型抓住系统振动的主要特征，忽略次要因素，抽象出来一个简化的理论模型。一个振动系统必须具有弹性元件和质量元件。振动三要素：质量、弹簧、阻尼2、建立振动系统的数学模型牛顿第二定律、定轴转动方程、拉格朗日方程等3、求解运动微分方程解析法、数值法5678振动系统模型及其简化9电动机和梁组成的振动系统10连杆飞轮的扭转振动11单自由度系统的自由振动1、单自由度线形系统的运动微分方程及其系统特性牛顿运动定律法121314拉格朗日方程法15振动系统的线性化处理1617用于流体力学实验的压力表，具有均匀内经，截面积为。内有长度为、密度为的液体，在静止液面附近做微幅摆动，假设液体运动时均匀的，壁管的摩擦力忽略不计，试建立其运动微分方程18一个质量为的均匀半圆柱体在水平面上做无滑动的往复运动，圆柱体半径为，重心在点，物体对重心的回转半径为，试导出系统的运动微分方程1920

§4-1单自由度系统无阻尼自由振动

一、自由振动的概念：211、自由振动微分方程及其解22正弦和余弦函数是周期函数这表明物体的运动是振动，周期为232.无阻尼自由振动的特性（1）单自由度无阻尼系统的自由振动是以正弦或余弦函数，即谐波函数表示，故称为谐波振动，该系统称为谐振子。（2）自由振动的角频率，即系统的自然频率，仅由系统本身的参数确定，与外界激励和初始条件无关。（3）无阻尼自由振动具有“等时性”，即线形系统自由振动的周期由系统本身的参数所确定，与外界激励和初始条件无关。（4）自由振动的振幅A和初相角y由初始条件所决定24谐波振动的几种表示方法三角函数表示法：25旋转矢量表示法：2627复数表示法：28等效刚度刚度是指系统在某点沿指定方向产生单位位移（角位移）时，在该点沿同一方向所要施加的力（力矩）。单位位移所需要的力。29设杆长为l，截面积为A，截面惯性矩为I，截面极惯性矩为Ip，材料的弹性模量为E，切面模量为G，确定端点B处在x方向、y方向和轴转动方向的刚度。1)拉压刚度2）弯曲刚度3）扭转刚度30例：简支梁横向振动均匀简支梁的横向振动假设系统的质量全部集中在梁的中部，且假定为m。取梁的中部挠度Δ作为系统位移，根据材料力学得静挠度为31组合刚度

弹簧并联系统和弹簧串联系统的等效刚度并联串联并联串联32

弹簧并联系统和弹簧串联系统的等效刚度并联串联并联串联33求图中所示各振动系统的自然频率3435等效质量1）弹簧的等效质量弹簧在平衡时的长度为l，线密度为ρ（kg/m

），试求系统的等效质量。36从能量守恒出发，讨论弹簧的等效质量问题振动位移x（t）最大时在平衡位置从而有37因此系统的等效质量为382)弹性梁的等效质量如图所示的弹性梁系统，其长度为L，弯曲刚度为EI，在梁的悬伸端放一质量为m的物体，梁的质量为m’，密度为ρ=m’/L

，试确定系统的等效质量。39假定梁的挠曲线与不计其质量的相同，由材料力学，在距O点为l处的静挠度为40414243

44

运动过程中，总指向物体平衡位置的力称为恢复力。物体受到初干扰后，仅在系统的恢复力作用下在其平衡位置附近的振动称为无阻尼自由振动。质量—弹簧系统：单摆：复摆：45二、单自由度系统无阻尼自由振动微分方程及其解

对于任何一个单自由度系统，以q为广义坐标（从平衡位置开始量取），则自由振动的运动微分方程必将是：

a,c是与系统的物理参数有关的常数。令则自由振动的微分方程的标准形式：

解为：46

设t=0时，则可求得：或：C1，C2由初始条件决定为47

三、自由振动的特点：

A——物块离开平衡位置的最大位移，称为振幅。

nt+——相位，决定振体在某瞬时t的位置

——初相位，决定振体运动的起始位置。

T——周期，每振动一次所经历的时间。

f——频率，每秒钟振动的次数，f=1/T。——固有频率，振体在2秒内振动的次数。反映振动系统的动力学特性，只与系统本身的固有参数有关。48

无阻尼自由振动的特点是：(2)振幅A和初相位取决于运动的初始条件(初位移和初速度)；(1)振动规律为简谐振动；(3)周期T和固有频率仅决定于系统本身的固有参数(m,k,I)。四、其它

1.如果系统在振动方向上受到某个常力的作用，该常力只影响静平衡点O的位置，而不影响系统的振动规律，如振动频率、振幅和相位等。491.

由系统的振动微分方程的标准形式2.

静变形法：3.能量法：

§4-2求系统固有频率的方法：集中质量在全部重力作用下的静变形由Tmax=Umax,求出50

无阻尼自由振动系统为保守系统，机械能守恒。当振体运动到距静平衡位置最远时，速度为零，即系统动能等于零，势能达到最大值（取系统的静平衡位置为零势能点）。当振体运动到静平衡位置时，系统的势能为零，动能达到最大值。如：51

能量法是从机械能守恒定律出发，对于计算较复杂的振动系统的固有频率来得更为简便的一种方法。

例1图示系统。设轮子无侧向摆动，且轮子与绳子间无滑动，不计绳子和弹簧的质量，轮子是均质的，半径为R，质量为M，重物质量m，试列出系统微幅振动微分方程，求出其固有频率。52

解：以x为广义坐标（静平衡位置为坐标原点）则任意位置x时：静平衡时：53

机械动力学应用动量矩定理：由，有振动微分方程：固有频率：54

机械动力学解2：用机械能守恒定律以x为广义坐标（取静平衡位置为原点）以平衡位置为计算势能的零位置，并注意轮心位移x时，弹簧伸长2x因平衡时55

动力学由T+U=有：对时间t求导，再消去公因子，得56575859606162636465666768697071

动力学例：

鼓轮：质量M，对轮心回转半径，在水平面上只滚不滑，大轮半径R，小轮半径r，弹簧刚度k1，k2，重物质量为m,不计轮D和弹簧质量，且绳索不可伸长。求系统微振动的固有频率。

解：取静平衡位置O为坐标原点，取C偏离平衡位置x为广义坐标。系统的最大动能为：72

动力学系统的最大势能为：73

动力学设则有根据Tmax=Umax,解得74等效单自由度系统（1）单自由度扭振系统假定盘和轴都为均质体，不考虑轴的质量。设扭矩T作用在盘面。根据材料力学可知：75（2）单摆回复力由摆锤重力提供以角度θ为位移，不计摆线质量，建立系统运动方程：76（3）简支梁横向振动均匀简支梁的横向振动假设系统的质量全部集中在梁的中部，且假定为m。取梁的中部挠度Δ作为系统位移，根据材料力学得静挠度为77

动力学§4-3单自由度系统的有阻尼自由振动一、阻尼的概念：

阻尼：振动过程中，系统所受的阻力。例如粘性阻尼、干摩擦阻尼和材料阻尼。

粘性阻尼：在很多情况下，振体速度不大时，由于介质粘性引起的阻尼认为阻力与速度成正比，这种阻尼称为粘性阻尼。投影式：c——粘性阻尼系数，简称阻尼系数。78

动力学二、有阻尼自由振动微分方程及其解：

质量—弹簧系统存在粘性阻尼：有阻尼自由振动微分方程的标准形式。79当系统存在阻尼时，自由振动方程为如下形式的齐次方程（1）（2）阻尼率其中s为待定方程，代入上式80则有这就是系统的特征方程，它是s的二次方程，有两个解：

（3）（4）81

很明显，s1、s2的性质取决于阻尼因子ξ，其相互关系可以从s平面，即复平面上得到反映（如图）。s1、s2作为阻尼因子ξ的函数在复平面上描绘出一条曲线，图中可直观地了解参数ξ对系统运动行为的影响，或者说对系统响应的影响。、82下面分别讨论对于ξ的不同取值的情况1、无阻尼（ξ=0）情况得到两个复根±iωn，此时系统就是简谐振子。应用欧拉方程将上式展开并整理，有83此式和单自由度无阻尼自由振动方程完全一致其中常数X和ψ由初始条件决定842、小阻尼情况（0＜ξ＜1）由式（4）得85868788

动力学——阻尼比有阻尼自由振动：当时，可以认为系统的运动为周期性的振动，其振动频率wd，它比无阻尼自由振动的固有频率wn略小，振幅Xe-zwnt随时间成指数形式衰减。893、过阻尼（ξ＞1）情况90914临界阻尼（ξ=1）921、当ξ=0时，得到两个复根±iωn，此时系统就是简谐振子。2、当0＜ξ＜1时，s1、s2为复共轭，在图中对称地位于实轴的两侧，并位于半径为ωn的圆上。3、当ξ=1时，特征方程的根s1、s2为-ωn落在实轴。4、当ξ＞1时，特征方程的根始终在实轴上，且随着、、

x(t)表现为一种增幅运动，是自激振动93例：试求单自由度小阻尼系统对初始速度的响应。解：当系统受到初速度v0作用时，x0=0,由上式有例：试求单自由度小阻尼系统对初始位移的响应。解：当系统受到初速度x0作用时，v0=0,由上式有94综合以上两例的结果，当初始位移和初始速度作用时，系统响应为95

动力学对数衰减率对数衰减率相邻两次振幅之比9697

动力学例3质量弹簧系统，W=150N，st=1cm,A1=0.8cm,A21=0.16cm。求阻尼系数c。解：由于很小，98例：龙门起重机设计中，为避免连续启动和制动过程中引起振动，要求由启动和制动引起的衰减时间不得过长。若有一15t龙门起重机，在作水平纵向振动时，其等效质量meq=275N·s2/cm，水平方向的刚度为19.8kN/cm,实测对数衰减率为d=0.10，若要求振幅衰减到最大振幅的5%，所需的衰减时间应小于30s，试校核该设计是否满足要求。99例

实验观察到一有阻尼单自由度系统的振动幅值在5个完整的周期后衰减了50%,设系统阻尼为粘性阻尼，试计算系统的阻尼因子。

设，则

（c）（a）

（b）1004.4谐波激励下的强迫振动谐波激励是最简单的激励。特点：系统对于谐波激励的响应仍然是频率相同的谐波。由于线形系统满足叠加原理，各种复杂激励可先分解为一系列的谐波激励，而系统总的响应可由叠加各谐波响应得到。4.4.1谐波激励下系统振动的求解方法单自由度线性系统强迫振动的运动方程为1011.解析法1021032.图解法104利用直角三角形ODE，可以求出常数X和j，如果对各矢量都除以wn2,那么这些矢量便成为无量纲的量，从中可直接求出X和j。3、系统的运动特性（1）在谐波激励作用下，强迫振动是谐波振动，振动的频率与激励力的频率相同。（2）强迫振动稳态振幅X和相位角j都只取决于系统本身的物理特性（x,wn）和激励力的大小与频率有关（A,w），而与初始条件无关。初始条件只影响系统的瞬态振动。（3）响应的振幅X与激励的振幅A成正比。(4)相位差j表示响应滞后于激励的相位角。1054.振动系统的全部响应方程的解包括两部分：一部分是响应的齐次微分方程的通解，即有阻尼系统的自由振动；另一部分是非齐次微分方程的一个特解。综合这两部分，谐波激励下的强迫振动的全部解为：第一项对应于自由振动，随着时间的增长，此项将趋近于零，称为瞬态振动；第二项对应于稳态的强迫振动，是一种持续的振动，为方程的稳态解。1061074.4.2谐波激励下的无阻尼强迫振动无阻尼强迫振动的运动规律108初始条件：109稳态振动部分的振幅记为2、动力系数的特性（1）动力系数b是无量纲的。（2）动力系数b只与激励频率和系统的自然频率之比w/wn有关，而与其它因素无关。（3）动力系数b可大于或小于1，可正可负，正号表示位移与激励同步，相位差为0，负号表示位移与激励反相，位移落后激励的相位差为180。110动力系数绝对值与频率比的关系曲线如图（1）频率比w/wn→0时，激励频率与系统的自然频率相比很小，激励变化很慢，接近静载荷情况，动力系数b→1。（2）频率比w/wn→∞时，激励频率与系统的自然频率相比很大，激励变化很快，系统来不及响应，动力系数b→0。（3）频率比w/wn→1时，激励频率与系统的自然频率相接近，动力系数b→∞，系统发生共振。1113、共振现象如上所述，当频率比w/wn→1，动力系数b→∞。动力系数理论上接近于无穷大，系统将发生共振现象。此时，1124、“拍振”现象在初始条件为：113114115由于瞬态解是自由振动很快就衰减掉了，故只考虑强迫振动的稳态解。设稳态解为：116117118119谐波激励下的有阻尼强迫振动1、幅频曲线及其特性1201211221232.相频曲线及其特性公式描述了振动位移、激励两信号间的相位差与激励频率之间的函数关系，故称j(w)为系统的相频特性。相频特性曲线具有如下特点：1241253、稳态强迫振动中的能量平衡从能量的角度来看，在稳态强迫振动过程中，外界激励持续地向系统输入能量，这部分能量由粘性阻尼器所消耗。现考虑一个单自由度系统，在谐波F(t)=kAcoswt激励下的稳态响应为126127128在一个周期内，振动系统净增加的能量为129

动力学x1是齐次方程的通解小阻尼：（A、积分常数，取决于初始条件）x2是特解：代入标准形式方程并整理—强迫振动的振幅—强迫振动相位滞后激振力相位角振动微分方程的全解为衰减振动强迫振动130

动力学振动开始时，二者同时存在的过程——瞬态过程。仅剩下强迫振动部分的过程——稳态过程。需着重讨论部分。频率比振幅比阻尼比因此：二、阻尼对强迫振动的影响1、振动规律简谐振动。2、频率：有阻尼强迫振动的频率，等于激振力的频率。3、振幅131

动力学(1)(2)阻尼也可忽略。(3)阻尼对振幅影响显著。一定时，阻尼增大，振幅显著下降。—共振频率此时：132

机械动力学4、相位差有阻尼强迫振动相位总比激振力滞后一相位角，称为相位差。(1)总在0至区间内变化。(2)相频曲线（-曲线）是一条单调上升的曲线。随增大而增大。(3)共振时=1，，曲线上升最快，阻尼值不同的曲线，均交于这一点。(4)>1时，随增大而增大。当》1时，反相。133

机械动力学例1已知P=3500N，k=20000N/m,H=100N,f=2.5Hz

,c=1600N·s/m,求b,,强迫振动方程。解：134

机械动力学135单自由度系统振动的应用自由振动的应用1、转动惯量的确定1）物理摆振动法1362）滚动摆振动法有些零、部件不适合于悬挂而宜于摆动，则可采用下图所示的方法，将一轮和轴的装配体置于两平行的轨道上，让其作为小范围的往复滚动，并用秒表测量其滚动的频率或周期T。1373）扭转振动法1382、摩擦系数的确定1）求固体摩擦系数1392）求液体的黏性阻尼系数1403.特定条件下动载荷系数的确定起重机以等速v0下降货物m，试求一旦紧急刹车时钢绳所受的最大拉力和动载荷系数。在刹车瞬间吊重mg离其静平衡位置的初位移为x0=0，初速度为v0。振幅为v0/wn,141142

机械动力学强迫振动的应用引起转子剧烈振动的特定转速称为临界转速。这种现象是由共振引起的，在轴的设计中对高速轴应进行该项验算。单圆盘转子：圆盘：质量m,质心C点；转轴过盘的几何中心A点，AC=e，盘和轴共同以匀角速度转动。当<n（n为圆盘转轴所组成的系统横向振动的固有频率）时，OC=f+e(f为轴中点A的弯曲变形）。

一、转子的临界转速143

机械动力学（k为转轴相当刚度系数）144145146147148旋转机械偏心质量引起的强迫振动在工程中旋转机械是很多的，如通风机、电动机、水泵、离心压缩机以及发动机等等，由于其制造中的误差，导致偏心不平衡质量引起强迫振动是很普遍的现象。如图安装在简支梁上的电动机系统，由于转子偏心引起系统振动，其振动系统简化如右下图149150151

机械动力学2、减振与隔振的概念剧烈的振动不但影响机器本身的正常工作，还会影响周围的仪器设备的正常工作。减小振动的危害的根本措施是合理设计，尽量减小振动，避免在共振区内工作。许多引发振动的因素防不胜防，或难以避免，这时，可以采用减振或隔振的措施。

减振：在振体上安装各种减振器，使振体的振动减弱。例如，利用各种阻尼减振器消耗能量达到减振目的。152

机械动力学隔振：将需要隔离的仪器、设备安装在适当的隔振器（弹性装置）上，使大部分振动被隔振器所吸收。隔振主动隔振：将振源与基础隔离开。被动隔振：将需防振动的仪器、设备单独与振源隔离开。1531）主动隔振主动隔振也叫力隔振，机器本身是振源，使它与基础隔离开来，以减少它对周围设备的影响，隔掉传到基础上的力。如图：外力按谐波规律变化，则154155Tr与l的关系曲线与支承运动的幅频响应特性曲线是一样的。要想使Ft<F0即Tr<1隔振有效果，必须使