泰勒展开式与洛朗展开式

泰勒展开式与洛朗展开式§1复数项级数

§2幂级数

—幂级数的收敛域

—幂级数的运算性质

§3泰勒(Taylor)级数

§4洛朗(Laurent)级数上次课主要内容回顾——关于的幂级数，其中为常数.定理1（Abel第一定理）若幂级数（1）在处收敛，则它在圆内每一点处绝对收敛.推论若幂级数（1）在处发散，则它在内每一点处发散.定理3

对幂级数（1），若下述极限之一成立，则幂级数（1）的收敛半径为定理4

设幂级数（1）的收敛半径为，它在圆盘内的和函数为，则（1）在内解析；（2）在内可逐项求导数，即（3）在内可逐项积分，即推论

在定理4条件下，有或提问:幂级数在收敛圆内的性质是什么?上次课主要内容回顾思考下列问题:(1)函数满足怎样的条件才能展开为幂级数?(2)如果函数能够展开为幂级数,

那么它的系数应如何确定?(3)函数的幂级数展开式是否唯一?(4)如何确定展开式的收敛半径?§3泰勒级数§3泰勒级数定理（Taylor)

设函数在圆盘内解析，则证明过程:人物简介18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒（BrookTaylor）,于1685年8月18日在米德尔塞克斯的埃德蒙顿出生。

1709年后移居伦敦，获法学硕士学位。1712年当选为英国皇家学会会员，并于两年后获法学博士学位。同年(即1714年)出任英国皇家学会秘书，四年后因健康理由辞退职务。他是有限差分理论的奠基人。1717年，他以泰勒定理求解了数值方程,他提出的泰勒定理使任意单变量函数可展为幂级数。最后在1731年12月29日于伦敦逝世。泰勒定理情况一:找到区域边界最短距离.情况二:找与函数离最近的一个奇点之间的距离.§3泰勒级数推论

函数在处解析的充要条件是可在的某邻域内展开成幂级数.Note.实际上该推论是从级数的角度深刻地反映出解析函数的本质.wecanuseTaylor’stheoremandpropertyofthepowerseriestoobtainthiscorollary.提问:当已知函数在某个区域内解析若要将函数

展开成幂级数,则如何确定收敛半径R值?Note.WecanuseTaylor’stheoremandcorollaryto

obtainthisresult.§3泰勒级数基本结论:函数在某一点的泰勒展开式是唯一的.Example1.2)泰勒公式法1)代换运算几个例题Example2.几个例题Example3.Note.

我们考虑的对象是单值函数所以应取幂函数的主值分支.Example4.§3泰勒级数3)逐项积分法与逐项求导法§3泰勒级数Example2.同理可得余弦函数在原点的泰勒级数.4)其它方法§3泰勒级数基本初等函数在原点处的泰勒级数:利用MATHEMATICA求幂级数展开**§3泰勒级数Exercise1.Exercise2.(1)利用幂级数的运算性质

(2)利用逐项求导逐项积分的性质

(3)利用代换运算

(4)利用以知的结论即基本函数的展开式间接展开法泰勒公式法总结函数在某一点展开的方法:§4洛朗级数——关于的双边幂级数（或洛朗级数），其中为常数.负幂部分在区域内收敛到解析函数在区域内收敛到解析函数正幂部分§4洛朗级数负幂部分在区域内收敛到解析函数设负幂部分在收敛圆内的和函数为,则由定理4可得该和函数必解析.事实上负幂部分是我们主要研究的对象所以也称之为主要部分.

原因就在于:Note.

事实上正幂部分就是个幂级数,由定理4可得该结论.由于它在这一点解析我们也称它为解析部分.§4洛朗级数在区域内收敛到解析函数结论:在圆环域内收敛到解析函数定理4

设双边幂级数在收敛圆环域内的和函数为，则（1）该和函数在收敛圆环域内解析；（2）该和函数在收敛圆环域内可逐项求导数可逐项积分.正幂部分

提问:既然洛朗级数在收敛圆环域内的和函数是解析的,那么反过来是否成立呢?即一个在圆环域内解析的函数是否可以展开成洛朗级数?§4洛朗级数§4洛朗级数定理（Laurent）设在圆环域内解析，则对有其中这里为圆环域内绕的任何一条正向简单闭曲线.利用柯西积分公式的推广式称(1)为在圆环内的洛朗展开式§4洛朗级数定理（Laurent）设在圆环域内解析，则对有其中这里为圆环域内绕的任何一条正向简单闭曲线.证明思路:右边的第一式利用泰勒定理中的证明技巧可得:右边的第二式中先利用代换运算来展开成级数:§4洛朗级数推论圆环内的解析函数在该圆环内的洛朗展开式唯一.Example.例题I公式法.II间接展开法.第四章级数§1复数项级数