函数的平均变化率2

变化率问一教设意客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着，因此，在数学中引入变量的概念（函数）后，就有可能把运动现象用数学来加以描述.随着对函数的研究的不断深化产生了微积分它数学发展史上重要的里程碑数是微积分的核心概念之一数究的问题即变化率问题究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度。变化率问题的发展具有丰富的历史背景，涉及类比符化等重要的数学思想，是典型的数学抽象过教材分“变化率问题”是高中导数教学的开始，是导数概念建立的核心，是研究瞬时变化率及其导数概念的基础，在整个导数学习中占有极其重要的地教通过研究学生熟悉的“气球膨胀率水这个活实例，归纳出它们的共同特征，抽象出一般函数平均变化率概念使学生理解平均变化刻画了函数在某一区间上的变化情况掌握求平均变化率的一般步骤在一过程中渗从特殊到一般的化归思想，数形结合思想，让学生体会数学抽象的过程.学情分学习本节内容之前，学生具备了一定的函数知识，可以通过表格、图像、关系式三种不同的函数表现形式，求解函数在某一区间内“因变量的增量与自变量的增量的比值，并能从图像中看出函数变化的快与慢同时学生已在物理中学习平均速度、瞬时速度、加速度等概念，比较容易理解可以用“平均速度”刻画物体在一段时间内的速.教学任教学目标）知识与技能通过丰富的实例，让学生经历平均变化率概念的形成过程，体会平均变化率是刻画变量变化快慢程度的一种数学模型.（2过程与方法理解平均变化率的概念了解平均变化率的几何意义计算函数在某个区间上的平均变化率（3情感、态度与价值观感受数学模型刻画客观世界的作用数抽象的过程步领会变量数学的思想，提高分析问题、解决问题的能.oooo教学重点：函数平均变化率的概.教学难点：函数平均变化率的概念形成过程的抽.二教过设【题境情境：在经营某商品中，甲挣到10万，乙挣到2万，如何比较和评价甲、乙两人的经营成果；在经营某商品中，甲用5年间挣到万元，乙用5个月时间挣到元，如何比较和评价甲、乙两人的经营成师生活动：学生小组讨论后一致认为，问题）不能很好的评价两人的经营成果，因为只有一个变量，而问题）两个变量，通过计算、乙两人的月平均收入，发现乙的经营成果好于甲.设计意图通两个实例分析让学生明白仅仅比较一个变量的变化是不科学的，引导学生从平均变化去分析问题情境：现有株洲市某年3月18日4月20日每天气温最高温度统计图：（注：月日为第一天）你从图中获得了哪些信息？在4月18日20日株市市民普遍感“气温骤”而在3月18日4月18日却没有这样的感觉，这是什么原因怎样从数学的角度描气温变化的快慢程度呢师生讨论，教师板书总结：分析：这一问题中，存在两个变时和气，当时间从到32气温从3.5C增加到18.6，气温平均变化

18.63.532

，oooo当时间从32到气温从C增加到气温平均变化

33.434

，因为7.4>0.5,所以，从32日日气温变化的更快教师过渡:“

3.532

表示时间从3月18日4月”时，气温的平均变化率提出问题：先说一说“平均”的含义，再说一说你对“温平均变化率”的理解。设计意图：让学生经历讨论、计算后，能从数学的角度去分温增，会在不同的区间内平均变化率的不同，潜意识地让学生能抽象出平均变化率这一概念。【作究探究一：高台跳水人们把高台跳水称之中芭蕾水中动相对于水面的高度位：）起跳后的时间t（位：）存在函数关系：t)6.5

（单如果我们用该运动员在某段时间内的平均速度

v

描述其运动状态，则：（1该运动员在

0.5

这段时间里的平均速度是多少？（2该运动员在

这段时间里的平均速度是多少？师生活动：学生独立的计算出：在

0.5

这段时间里v

h(0)

4.05(/s)

；在

这段时间里v

h(1)2

/s)思考：当时间t增加到时该运动员的平均速度怎么计算？师生活动：学生通过问题1解决，讨论后自然得出ht)(t)v1t21设计意图学动手计算平均速在计算的过程中感受求平均速度的方法一步为平均变化率的的概念的发生作准备探究二：曲线割线的斜率已知曲线

f(x)x

3

（1过曲线上两点

O(0,f

和

f(2))

的割线的斜率是多少？（2过曲线上两点

Q(1,f(1))

和

f(2)

的割线的斜率是多少？（3过曲线上两点

f和Pf(2))

的割线的斜率是多少？师生活动：学生利用求直线斜率公式很容易算出：（1

k

OP

f(2)f(0)82

；

kk

MP

f(2)f2ff272思考：过曲线上两点

P

和

Q(1

作曲线的割线，则割线的斜率是多少？师生活动：通过前面的活动，结合求直线斜率的公式，学生容易得出：k

(1设计意图通问题的解决，能学生用平均变化率的大小来描述曲线之陡”的变化程度，为阐述平均变化率的几何意义作准.【构识问题通过上面的问题的解决，你认为可用怎样的数学模型刻画变量变化快慢的程度？学生回答：用平均变化率来刻画变量变化快慢的程度。问题：如果上面的问题中的函关系用可以用什么样的式子表示？fx)fx)1学生回答：x1师生一起归纳：．平均变化率的定义：

yf(x

表示，那么，问题中的平均变化率对于函数

yf(x

，给定自变量的两个值x和x，当自变量从变为x时函数22值从

fx)

变为

f(x)

，我们把式子

fx)fx)1x1

称为函数

f()

从

x到x

的平均变化率。习惯上用表示，即x，把作是相对于x的个增量”，121可用

代替

；类似地，

fx)f()1

，于是，平均变化率可表示为

。．求平均变化率的步骤：(1)求自变量的增量

x

；(2)求函数值的增量

(x)fx)1

；(3)计算平均变化率

f()(x)21

。计算，时注意“被减数”和“减数”的前后对应关系，比如：若函数值的增量为

(xfx00

，则相应的自变量的增量为(200

。设计意图：让学生能从问题情景中抽象出平均变化率的概念，体会知识的产生、发展，并潜移默化的渗透从具体背景中抽象出一般规律和结构，并用数学语言予以表征。【识用例1：已知某物体的运动方程为

t（的位，的位：s）求（）物体在

t00

这段时间里的平均速度；（）断该物体在

0

和

2

这两段时间里哪一段的平均速度大。师生活动：学生先独立完成，然后小组讨论，每组派一名代表汇报本组成果。解）

v

[(t

2(t)](t0

t)

2(/

；（2在

这段时间的平均速度是

v5(/)1

，在

这段时间的平均速度是

v7(m)2

，因此，在

这段时间的平均速度大例2：已知函数

f()2x2x

。（）当

且

时，函数的平均变化率

；（）当

且

时，函数的平均变化率

；（）设

x

，分析（1）问中的平均变率的几何意义。解：函数的平均变化率

f((x)11x

，xx所以）

21

；（2

设计意图通过练习让生从不同的角度再一次认识函数的平均变化率且化学生应用知识解决问题.【识建】问题：结合前面所学的数学知识，你认为函数平均变化率的几何意义是什么？师生活动：学生小组讨论，每个小组派代表发言。

yy

f

f

f

x

师生归纳：函数平均变化率的几何意义：

x设

(x,f(x

，

(x,x2

是曲线

yf()

上任意不同的两点，函数

f()

的平均变化率

f(x)f()f(xf()22

为割线

的斜率。设计意图：体现数形结合的数学思想，让学生不要“得数忘形【础测检效】在平均变化率中，自变量的增量应足（）

C.

0

2设函数

yf()

，当自变量x由x改到x00

时，函数值的改变量）

f(x0

f(x)0

C.

f()0

ff()0一点的运动方程是

t

，则在时间段

1,1

内相应的平均速度为（）

2

C.

2

已函数

fx)2

2

图像上一点

及邻近一点

(1

，则

设计意图：落实课堂效果.【堂结从知识角度分析：．函数的平均变化率可以表示函数值在某个范围内变化的快慢；平均变化率的几何意义是曲线割线的斜率，是曲线陡峭程度的“数量化际问题中表示事物变化的快慢．．求函数fx)的平均变化率的步骤：(1)求函数值的增Δy＝f)－(x)22121Δyf（）fx）(2)计算平均变化率＝.Δx－x21从数学思想方法角度分析：从实例出发，抽象出函数平均变化率的概念、计算方法，体现了归纳猜想，数学抽象，数形结合等数学思想。设计意图：梳理知识，归纳方法、体会思【识探】探究：在高台跳水问题中，请完成下列问题（1计算该运动员在

0

6549

这段时间里的平均速度；运动员在这段时间里是静止的吗？你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题？师生活动：学生经过计算惊讶的发现在

0

6549

这段时间里的平均速度是v

()(0)

。但运动员又是不可能静止的，这是为什么呢？师生讨论后得出结论平均速度不能反映出运动状态别是当运动方向改变时平均速度反映不出物体的运动状态。设计意图学知道均速度只能粗略地描述运动状态能反映物体的瞬时运动状态，要反映每一时刻的运动状态需学习后面的内容才能做到学生后续学习起到承前启后的作用。【学思数学概的形成是水到渠成的函数平均变化率概念的发现过程是典型的数学抽象过程过问题情景合作探究在学生活动思过程中不断的提供契机让学生再创造函数平均变化率概念让学生积累从具体到抽象的活动经验.数学核