【创新设计】2011届高三数学一轮复习 8-9曲线与方程课件 理 苏教版

了解曲线与方程的对应关系【命题预测】

1．本节重点考查曲线与方程的关系，考查曲线方程的探求方法．2．本部分在高考试题中主要以解答题的形式出现，属中高档题目．【应试对策】

1．判断曲线与方程的对应关系有两种方法：等价转化和赋值讨论，它们使用的依据是曲线的纯粹性和完备性，因此，处理“曲线与方程”的概念题，可采用直接法(也可采用赋值法)．第9课时曲线与方程2．(1)直接法求曲线方程的一般步骤： ①建立恰当的坐标系，设动点坐标(x，y)． ②列出几何等量关系式． ③用坐标条件变为方程f(x，y)＝0. ④变方程为最简方程． ⑤检验，就是要检验点轨迹的纯粹性与完备性． (2)求动点轨迹时要注意它的完备性与纯粹性．化简过程破坏了方程的同解性，因此要注意补上遗漏的点或挖去多余的点．“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念，前者要指出曲线的形状、位置、大小等特征，后者指方程(包括范围)． (3)如果题目中的条件有明显的等量关系，或者可以利用平面几何知识推出等量关系，求方程时可用直接法． (4)如果求出方程要求画出方程的曲线时，要保持方程变形的等价性． (5)求曲线方程的重要方法——定义法．利用曲线的定义，求出曲线的方程．3. 由曲线的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程组成方程组的解．反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点；即两条曲线有交点的充要条件是它们的方程组成的方程组有实数解．可见，求曲线的交点问题，就是求由它们组成方程组的实数解问题．【知识拓展】求轨迹方程的常用方法(1)常用方法①直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，易于表述成含x、y的等式，得到轨迹方程，这种方法称之为直接法．用直接法求动点轨迹的方程一般有建系设点、列式、代换、化简、证明五个步骤，但最后的证明可以省略．②定义法：运用解析几何中一些常用定义(例如圆锥曲线的定义)，可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程．③代入法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P(x，y)却随另一动点Q(x′，y′)的运动而有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得，则可先将x′、y′表示为x、y的式子，再代入Q的轨迹方程，然后整理得P的轨迹方程，代入法也称相关点法．(2)求轨迹应注意的几个问题①直接法是求轨迹方程的基本方法；定义法求轨迹的关键是紧扣解析几何中有关曲线的定义，灵活应用定义；用代入法即相关点法求轨迹的关键是寻求关系式：x′＝f(x，y)，y′＝g(x，y)，然后代入已知曲线．而求对称曲线(轴对称、中心对称等)方程实质上也是用代入法(相关点法)解题．②无论用哪种方法求轨迹方程，都应注意轨迹方程的完备性与纯粹性．求出的轨迹方程中若有的解不合轨迹条件，从而使轨迹图形上有不合轨迹条件的点存在，则该方程及其曲线不满足纯粹性；求出的轨迹方程所表示的曲线若不是所有适合条件的点的集合，即曲线之外还有适合条件的点存在，则该方程及其曲线不满足完备性．求解轨迹问题时要避免轨迹方程不满足纯粹性和完备性的错误．1．曲线与方程

如果曲线C上的点的坐标(x，y)都是方程f(x，y)＝0的解，且以方程f(x，y)＝0的解(x，y)为坐标的点都在曲线C上，那么

叫做曲线C的方程， 曲线C叫做

的曲线． 思考：如果以方程f(x，y)＝0的解(x，y)为坐标的点都是曲线上的点，那么方程f(x，y)＝0就是曲线的方程，这种说法正确吗？ 提示：不正确，这个方程可能只是曲线的某一部分的方程，如分段函数的解析式．方程f(x，y)＝0方程f(x，y)＝02．求曲线方程的五个步骤 (1)

：建立适当的坐标系． (2)

：设曲线上任意一点M的坐标为(x，y)． (3)

：列出符合条件P(M)的方程f(x，y)＝0. (4)

：化方程f(x，y)＝0为最简形式． (5)

：证明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．建系设点列式化简证明3．求两条曲线交点的方法

对于曲线C1：f1(x，y)＝0和曲线C2：f2(x，y)＝0 (1)P0(x0，y0)是C1与C2的公共点⇔

. (2)求两条曲线的交点，就是求方程组 的

．4．方程组的解与曲线交点的对应

方程组有几组不同的实数解，两条曲线就有

； 方程组没有实数解，两条曲线就没有

．实数解几个公共点公共点思考：直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时，是否一定相切？提示：不一定，当直线与双曲线的渐近线平行或与抛物线的对称轴平行时，直线与双曲线和抛物线相交．1．命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是正确的，下列命题中正确的是________． ①方程f(x，y)＝0的曲线是C

②方程f(x，y)＝0的曲线不一定是C

③f(x，y)＝0是曲线C的方程④以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上 答案：②2．(2010·临沂调研)设方程f(x，y)＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”是不正确的，则下列命题正确的是________． ①坐标满足方程f(x，y)＝0的点都不在曲线C上②曲线C上的点的坐标都不满足方程f(x，y)＝0③坐标满足方程f(x，y)＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上④一定有不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)＝0 答案：④

1．如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，易于表述成含x、y的等式，得到轨迹方程，这种方法称之为直接法．用直接法求动点轨迹的方程一般有建系设点、列式、代换、化简、证明五个步骤，但最后的证明可以省略．2．用直接法求轨迹方程是近年来高考常考的题型，有时题目以向量为背景，解题中需注意向量的坐标化运算；有时需分类讨论．【例1】如图所示，设动直线l垂直于x轴，且与椭圆x2＋2y2＝4交于A、B两点，

P是l上满足

＝1的点，求点P的轨迹方程．

思路点拨:1．运用解析几何中一些常用定义(例如圆锥曲线的定义)，可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程．2．用定义法求轨迹方程的关键是紧扣解析几何中有关曲线的定义，灵活应用定义．同时用定义法求轨迹方程也是近几年来高考的热点之一．有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的．如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做相关点法或代入法．由曲线方程定义可知，两曲线的交点坐标即两曲线的方程所构成方程组的解．于是，求曲线交点坐标的问题，即转化为解二元方程组的问题；确定两曲线交点个数的问题，可转化为讨论方程组的解的组数问题．这类问题的解法，充分体现了几何中利用代数方法解决几何问题的思想．既然曲线的交点问题需转化为二元方程组的求解问题，那么，解二元方程组的一切思路方法和相关知识(如一元二次方程的判别式、根与系数的关系等)，都是求两曲线交点的基本依据和方法．关于曲线的交点问题，通常表现为两种类型：一是判定两曲线是否存在交点；二是求解交点及和交点有关的问题，在解决这些问题时，除要用到方程(组)的方法及相关知识外，有时还需综合运用各种曲线自身所具有的某些几何性质．1．解析几何的基本问题是已知曲线，求出其轨迹方程，其次是已知曲线的方程，研究曲线的性质．因此，如何求曲线的轨迹方程，是作为解析几何的其中一条主线贯穿于教材的始终的．就其基本类型来说有两类，其一是已知曲线的类型，求出其方程，这类问题通常用待定系数法；其二是未知曲线类型求方程．这类问题可有定义法、直接法、代点法、交轨法、参数法等．因此，如何从题设的条件及图形的性质中，找到有关的等量关系，再通过一系列的转化手段将其化为用动点的坐标(x，y)来表示，则是解决轨迹方程的关键．【规律方法总结】2．求曲线的方程时要注意以下两个问题： (1)适当建立坐标系．坐标系建立的适当，可使运算过程简单，所得的方程也比较简单，否则会大大增加运算的繁难程度．在实际解题过程中，应充分利用图形的几何特性．