52-复数的四则运算-课件(北师大选修2-2)

其中a叫做复数的

、b叫做复数的

.全体复数集记为

.1.对虚数单位i

的规定

①i2=-1;②i可以与实数一起进行四则运算,并且加、减，乘、除法运算律不变.2.

我们把形如a+bi(其中

)的数

a、bR称为复数,

记作：z=a+bi实部虚部C复习引入3.

两个复数相等设z1=a+bi,z2=c+di(a、b、c、dR),则z1=z2

,即实部等于实部,虚部等于虚部.特别地，a+bi=0

.a=b=0注意:一般地,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小.4.复数的模已知复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)．问题1：多项式的加减实质是合并同类项，类比想一想复数如何加减．提示：两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i.问题2：类比向量的加法，复数的加法满足交换律和结合律吗？提示：满足．1．加(减)法法则设a＋bi与c＋di(a，b，c，d∈R)是任意复数，则：(a＋bi)±(c＋di)＝

.2．运算律对任意的z1，z2，z3∈C，有

z1＋z2＝

(交换律)；

(z1＋z2)＋z3＝

(结合律).(a±c)＋(b±d)iz2＋z1z1＋(z2＋z3)例1.计算解:计算：(-3-4i)+(2+i)-(1-5i)练习问题1：复数的加减类似于多项式加减，试想：复数相乘是否类似两多项式相乘？提示：是．问题2：复数的乘法是否满足交换律、结合律，以及乘法对加法的分配律？提示：满足．问题3：试举例验证复数乘法的交换律．提示：若z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)．z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i，z2z1＝(c＋di)(a＋bi)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.故z1z2＝z2z1.复数的乘法(1)定义：(a＋bi)(c＋di)＝

.(2)运算律：①对任意z1，z2，z3∈C，有(ac－bd)＋(ad＋bc)i交换律z1·z2＝

结合律(z1·z2)·z3＝

乘法对加法的分配律z1(z2＋z3)＝

z2·z1z1·(z2·z3)

z1z2＋z1z3②复数的乘方：任意复数z，z1，z2和正整数m，n，有zmzn＝

，(zm)n＝

，(z1z2)n＝

.zm＋nzmn例2.计算解:练习观察下列三组复数(1)z1＝2＋i；z2＝2－i；(2)z1＝3＋4i；z2＝3－4i；(3)z1＝4i；z2＝－4i.问题1：每组复数中的z1与z2有什么关系？提示：实部相等，虚部互为相反数．问题2：试计算每组中的z1z2，你发现了什么规律吗？提示：z1与z2的积等于z1的实部与虚部的平方和．实部虚部共轭复数a－bi|z|2问题1：根据乘法运算法则和复数相等的概念，请用a，b，c，d表示出x，y.问题2：运用上述方法求两个复数的商非常繁琐，有更简便的方法求两个复数的商吗？提示：可以用分母的共轭复数同乘分子与分母后，再进行运算．例5.计算解:[一点通]

（1）复数的乘法可以把i看作字母，按多项式的乘法法则进行，注意把i2化成－1，进行最后结果的化简；复数的除法先写成分式的形式，再把分子与分母都乘以分母的共轭复数，并进行化简．

（2）im(m∈N＋)具有周期性，且最小正周期为4，则：

①i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈N＋)；

②i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N＋)．1．(2011·浙江高考)若复数z＝1＋i，i为虚数单位，则(1＋z)·z＝ (

)A．1＋3i

B．3＋3iC．3－i D．3解析：∵(1＋z)·z＝z＋z2＝1＋i＋(1＋i)2＝1＋i＋2i＝1＋3i.答案：A2．(2012·山东高考)若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i为虚数单位)，则z为 (

)A．3＋5i B．3－5iC．－3＋5i D．－3－5i答案：

A3.若(3－10i)y＋(－2＋i)x＝1－9i，求实数x，y的值．解：(4－i5)(6＋2i7)＋(7＋i11)(4－3i)＝(4－i)(6－2i)＋(7－i)(4－3i)＝24－8i－6i－2＋28－