【创新设计】2011届高三数学一轮复习 第6知识块第4讲简单的线性规划课件 北师大版

【考纲下载】1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．2．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．3．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.第4讲简单的线性规划1．二元一次不等式表示平面区域(1)Ax＋By＋C>0(<0)在平面直角坐标系中表示直线l：Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域，直线l应画成

．(2)Ax＋By＋C≥0(≤0)表示直线l：Ax＋By＋C＝0某一侧(含边界直线)所有点组成的平面区域，直线l应画成

．虚线实线2．线性规划的有关概念名称意义线性约束条件由关于x，y的

组成的不等式组目标函数欲达到

所涉及变量x，y的解析式线性目标函数关于x，y的

解析式可行解满足

的解(x，y)可行域由所有

组成的集合最优解使目标函数取得

或

的可行解线性规划问题求线性目标函数在线性约束条件下的

的问题一次不等式最大值或最小值一次函数线性约束条件可行解最大值最小值最大值或最小值提示：(1)目标函数的最优解一般在区域的某个顶点处取得，但也有可能是区域的某一边界或区域内的某一点．(2)最优解可能是一个、多个、无数个．1．下面给出的四个点中，位于

表示的平面区域内的点是(

)

A．(0,2)B．(－2,0)C．(0，－2)D．(2,0)解析：满足条件

的点都在图中阴影部分．由图可知C选项满足要求．答案：C2．在平面直角坐标系xOy中，满足不等式组

的点(x，y)的集合用阴影表示为下列图中的(

)解析：若0<x<1，当y>0时，要使|y|≥|x|，则y≥x；当y<0时，要使|y|≥|x|，则y≤－x；若－1<x<0，当y>0时，要使|y|≥|x|，则y≥－x；当y<0时，要使|y|≥|x|，则y≤x.故选C.答案：C3．已知变量x、y满足条件

，则x＋y的最小值是(

)

A．4B．3C．2D．1解析：在直角坐标平面内画出不等式组

所表示的平面区域，作出

直线x＋y＝0，平移该直线，注意观察当直线平移到经过该平面区域内怎样的点时，相应直线在x轴上的截距最小．结合图形不难得知，当平移到经过该平面区域内的点(1,1)时，相应直线在x轴上的截距最小，即此时x＋y取得最小值，最小值等于2.答案：C4．(2009·安徽卷)不等式

组所表示的平面区域的面积等于

．解析：不等式组所表示的平面区域是一个三角形，三个顶点的坐标分别是

，(0,4)，(1,1)，所以三角形的面积

答案：求线性平面区域的面积可以先根据不等式组画出相应的平面区域，再求出相应的顶点坐标，根据图形的特点解决问题．若图形是不规则的多边形，一般是划分为几个三角形分别求面积再相加．在划分时尽量多构造直角三角形，这样可以降低运算难度．

【例1】

(2009·浙江宁波十校联考)已知点M(a，b)在由不等式组

确定的平面区域内，则点N(a＋b，a－b)所在平面区域的面积是_____．思维点拨：可以设m＝a＋b，n＝a－b，从而转化为关于m、n的线性约束条件，根据画出的图形求面积．解析：由题意得：

，设

，则N(m，n)，∴线性约束条件转化为：建立如图所示的平面直角坐标系mOn，可行域如图中阴影部分所示，则所求面积S=4.答案：4线性目标函数求最值的步骤为：1．作图——画出约束条件(不等式(组))确定的平面区域和目标函数所表 示的平行直线系中过原点的直线l；2．平移——将l平行移动至最优解所对应的点的位置；3．求值——解有关方程组求出最优点的坐标，再代入目标函数，求出目 标函数的最值．【例2】

已知实数x，y满足

，则目标函数z＝x－y的最大值为____．思维点拨：先作出可行域，然后作出与直线x－y＝0平行的直线，通过平移，在可行域内找到最优解，从而求出最大值．

解析：先画出约束条件的可行域，如图所示：经分析可知z=x-y在A点取得最大值． =x-y=4-1=3.

答案：3拓展2：将本例中条件“”改为“，且如果目标函数z＝x－y的最小值为－1”，则实数m等于(

)

A．7B．5C．4D．3

解析：画出x，y满足的可行域，可得直线y＝2x－1与直线x＋y＝m的交点使目标函数z＝x－y取得最小值，故解解得m＝5.答案：B近几年有关线性规划的高考试题中，相当一部分试题是结合其他知识点的综合题，在作出平面区域后要善于利用几何意义解决一些特殊函数的最值问题．【例3】实数x，y满足不等式组

.求z＝x2＋y2的最大值和最小值．思维点拨：画出可行域后，把问题转化为两点间的距离的平方问题．解：

画出不等式组表示的平面区域如图所示．阴影部分即点(x，y)所在区域，目标函数z=x2+y2表示点(x，y)到点(0,0)距离的平方．因此z的最小值为点(0,0)到直线x+2y-3=0的距离的平方．得P(5,6)．z的最大值为点O到点P的距离的平方．∴zmax＝(5－0)2＋(6－0)2＝61.变式3：若实数x、y满足

，则的取值范围是(

)A．(0,2)B．(0,2]C．(2，＋∞)D．[2，＋∞)解析：作出x，y满足的可行域，如图中阴影部分，它是以A(0,1)，B(1,2)，C(0,2)为顶点围成的三角形(不包含边AC)，设P(x，y)为可行域内任一点，则直线PO的斜率kPO=，由数形结合得，kPO=2是的最小值，故的取值范围是[2，+∞)．答案：D在线性规划的实际问题中，主要掌握两种类型：一是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成的这项任务耗费的人力、物力资源最小．

【例4】

某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项 目甲的投资不小于对项目乙投资的倍，且对每个项目的投资不能低 于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每 投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两 个项目上共可获得的最大利润为(

)A．36万元

B．31.2万元C．30.4万元

D．24万元解析：设对甲项目投资x万元，对乙项目投资y万元，获得总利润为z万元，则z＝0.4x＋0.6y，且作出不等式组表示的平面区域，如图所示，作直线l0：0.4x+0.6y=0，并将l0向上平移，过点C时z取得最大值，即=0.4×24+0.6×36=31.2(万元)．答案：B【方法规律】1．直线把平面分成的每一个区域内所有点的坐标各同时满足一个不等式，确定不等式Ax＋By＋C>0(<0，≤0，≥0)表示直线Ax＋By＋C＝0的哪一侧区域，常用下列的方法确定：先由等式定直线，然后在直线的某一侧任取(x0，y0)，把它的坐标代入Ax＋By＋C>0，若不等式成立，则和(x0，y0)同侧的点都满足不等式，从而平面区域被找到，否则，直线的另一区域为不等式Ax＋By＋C>0所表示的区域．2．在线性约束条件下，当b>0时，求目标函数z＝ax＋by＋c的最小值或最大 值的求解程序为： (1)作出可行域； (2)作出直线l0：ax＋by＝0； (3)确定l0的平移方向，依可行域判断取得最优解的点； (4)解相关方程组，求出最优解，从而得出目标函数的最小值或最大值．3．目标函数非线性时，注意目标函数的几何意义，如斜率，距离等．

4．线性规划应用题建模的思路：一般以“资源——产品——收益”为主线；设元时将产品数量设为x、y，将收益多少设为z，资源数量为常数a、b、c等．这样z与x、y之间的关系就是目标函数；而x、y与a、b、c等之间的关系就是约束条件.【高考真题】(2009·山东卷)某公司租赁甲、乙两种设备生产A、B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元．现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为________元．【规范解答】解析：设租赁甲、乙两种设备各x、y台，则目标函数z＝200x＋300y，画出可行域知目标函数在点(4,5)处取得最小值，故目标函数的最小值为2300，故填2300.答案：2300【探究与研究】这类实际应用型的线性规划问题是教材重点讲解的，各个版本教材上类似例题很多，本题来源于课本的基础题．如人教A版必修5第三章第三节的例题4等．此类题目在备考中不需要作太多的深挖，以课本为纲即可．1．找不到主要变量；2．列错可行域和目标函数；3．求解模型时计算出错．本题也可以通过下面的途径解决：设u＝5x＋6y，v＝10x＋20y，

代入目标函数z＝200x＋300y＝100u－