【创新设计】2011届高三数学一轮复习 8-6椭圆课件 文 苏教版

掌握椭圆的定义、标准方程、几何图形及简单性质．

第6课时椭圆【命题预测】

1．本讲主要考查椭圆的基本概念和性质，用待定系数法求椭圆方程，椭圆第一、二定义的综合运用，椭圆中各量的计算，关于离心率e的题目为热点问题，各种题型均有考查，属中档题．2．考纲要求掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，所以，近几年的高考试题一直在客观题中考查定义、性质的理解和运用，在解答题中考查轨迹问题和直线与椭圆的位置关系．3．在解析几何与向量的交汇处设计高考题，是近年来高考中一个新的亮点，主要考查：(1)将向量作为工具解答椭圆问题；(2)以解析几何为载体，将向量作为条件融入题设条件中．4．利用数形结合法或将它们的方程组成的方程组转化为一元二次方程，利用判别式、根与系数关系来求解或证明直线与圆锥曲线的位置关系问题．

【应试对策】

率e确定椭圆的形状，焦点到对应准线的距离p确定椭圆的大小．注意焦点在x轴和y轴上对应的椭圆方程的区别和联系．涉及椭圆上的点到两个焦点的距离问题，常常要注意运用第一定义，而涉及椭圆上的点到某一焦点的距离，常常用椭圆的第二定义．对于后者，需要注意的是焦点与准线的正确对应，不能弄错．1．在运用椭圆的两种定义解题时，一定要注意隐含条件a>c，离心问题；准确把握椭圆标准方程的结构特征以及“标准”的含义；要能从椭圆标准方程中读出几何性质，能够利用标准方程解决问题．椭圆的几何性质是需要重点掌握的内容，要能够熟练运用其几何性质来分析和解决问题．特别是椭圆的离心率，作为椭圆的几何性质之一，是高考的热点．

2．考纲要求掌握椭圆的定义和标准方程，灵活运用椭圆的定义来解决得到一个关于x(或y)的一元二次方程，再求判别式或应用根与系数关系解题．由判别式可以得到字母关系的范围；利用根与系数关系、数形结合的思想和“设而不求”的方法可以解决中点弦或弦的垂直等问题．椭圆在解答题的考查中计算量比较大，要有简化运算的意识：可先运算字母关系，最后代入数值，这样做可减少运算错误，提高运算的准确性．3．解决直线与椭圆问题的通法是：将直线和椭圆的方程联立、消元，4．由于平面向量具有“双重性”，与平面解析几何在本质上有密切的联， 因此，在解答此类问题时，要充分抓住垂直、平行、长度、夹角的关系， 将向量的表达形式转化为坐标形式．【知识拓展】

焦点三角形椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的三角形PF1F2称作焦点三角形，如图，∠F1PF2＝θ.(1)θ=arccos当r1=r2时，即P为短轴端点时，θ最大，且θmax=arccos(2)

＝

当|y0|＝b，即P为短轴端点时，S△PF1F2最大，且最大值为bc.

2．焦点弦(过焦点的弦) AB为椭圆

(a>b>c)的焦点弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)．则弦长l＝2a±e(x1＋x2)＝2a±2ex0,通径最短lmin＝

1．椭圆的定义 (1)平面内的动点的轨迹是椭圆必须满足的两个条件：

①到两个定点F1、F2的距离的

等于常数2a(a>0)．②2a

F1F2. (2)上述椭圆的焦点是

，椭圆的焦距是

. 思考：当2a＝F1F2时动点的轨迹是什么图形？ 提示：当2a＝F1F2时，动点的轨迹是线段F1F2.

和＞F1、F2F1F22．椭圆的标准方程和几何性质标准方程＝1(a>b>0)＝1(a>b>0)图形性质范围≤x≤

，≤y≤≤x≤

，≤y≤对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点A1

，A2B1

B2A1

，A2B1

，B2焦距|F1F2|＝离心率e＝∈准线方程x＝±y＝±a，b，c的关系c2＝－a－b－a－babba(－a,0)(a,0)(0，－b)(0，b)(0，－a)(0，a)(－b,0)(b,0)2c(0,1)a2－b2探究：椭圆的离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系？提示：离心率越接近1，椭圆越扁，离心率越接近0，椭圆就越接近于圆．

＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________．答案：

1．(2010·东台中学高三诊断)已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足2．已知椭圆的方程是

＝1(a>5)，它的两个焦点分别为F1、F2，且F1F2＝8，弦AB过F1，则△ABF2的周长为________．

解析：∵a>5，∴椭圆的焦点在x轴上．∴a2－25＝42，a＝

.

由椭圆的定义知△ABF2的周长为4a＝4

答案：4

3．中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是__________________．解析：∵2a＝18,2c＝

×2a＝6，∴a＝9，c＝3，b2＝81－9＝72.

答案：

4．(扬州市高三期末调研)已知F1、F2是椭圆

的左、右焦点，弦AB过F1，若△ABF2的周长为8，则椭圆的离心率为________．

解析：由题意知，△ABF2的周长为8，根据椭圆定义得4a＝8，即a＝2.又c2＝a2－b2＝1，所以椭圆的离心率e＝

答案：

5．椭圆上有一点P到左准线的距离为那么P到右焦点的距离为________．解析：a＝5，b＝3，∴c＝4，e＝答案：8∴PF2＝10－2＝8.求椭圆的标准方程主要有定义法、待定系数法，有时还可根据条件用代入法．用待定系数法求椭圆方程的一般步骤是：(1)作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有能．(2)设方程：根据上述判断设方程

(a>b>0)或

(a>b>0)或mx2＋ny2＝1.(3)找关系：根据已知条件，建立关于a、b、c的方程组．(4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求．

【例1】(江苏南通调研题)一动圆与已知圆O1：(x＋3)2＋y2＝1外切，与圆

O2：(x－3)2＋y2＝81内切，试求动圆圆心的轨迹方程．

思路点拨：两圆相切，圆心之间的距离与圆半径有关，据此可以找到动圆圆心满足的条件．

解：由已知，两定圆的圆心和半径分别是O1(－3,0)，r1＝1；O2(3,0)，r2＝9.设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，则由题设条件，可知MO1＝1＋R，MO2＝9－R.∴MO1＋MO2＝10.由椭圆的定义知：M在以O1、O2为焦点的椭圆上，且a＝5，c＝3，b2＝a2－c2＝25－9＝16.故动圆圆心的轨迹方程为

变式1：已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B(3,0)，动圆P

过B点且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程.

解：设|PB|＝r.∵圆P与圆A内切，圆A的半径为10，∴两圆的圆心距PA＝10－r，即PA＋PB＝10(大于AB)．∴点P的轨迹是以A、B两点为焦点的椭圆．∴2a＝10,2c＝AB＝6.∴a＝5，c＝3.∴b2＝a2－c2＝25－9＝16，即点P的轨迹方程为

1．椭圆的性质常涉及一些不等关系，例如对椭圆

(a＞b＞0)，

有－a≤x≤a，－b≤y≤b,0<e<1等，在求与椭圆有关的一些量的范围，或者求这些量的最大值或最小值时，经常用到这些不等关系．

2．求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，即使不画出图形， 思考时也要联想到图形．当涉及到顶点、焦点、准线、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系．

关系构造出关于e的等式或不等式，从而求出e的值或范围．离心率e与a、b的关系：

3．求椭圆离心率问题，应先将e用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些的两焦点为F1、F2,P是椭圆上一点且 =0，试求该椭圆的离心率e的取值范围．思路点拨：利用0≤x2≤a2建立关于a与c的不等式．

【例2】即

又

联立①②消去y得：e2x

＝c2－b2，又c2＝a2－b2，∴e2

＝2c2－a2.

据题意，P点在椭圆上，但不在x轴上，∴0≤

于是0≤2c2－a2<c2，即

变式2：已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°，求椭圆离心率的范围．

解：设椭圆方程为

＝1(a＞b＞0)，PF1＝m，PF2＝n.

在△PF1F2中，由余弦定理可知，4c2＝m2＋n2－2mncos60°.

∵m＋n＝2a，∴m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝4a2－2mn，

∴4c2＝4a2－3mn，即3mn＝4a2－4c2.又mn≤

(当且仅当m＝n时取等号)，∴4a2－4c2≤3a2，

∴

∴e的取值范围是

【例3】设P(x0，y0)是椭圆

(a>b>0)上任意一点，F1为其左焦点．

(1)求|PF1|的最小值和最大值；(2)在椭圆

上求一点P，使这点与椭圆两焦点的连线互相垂直．

思路点拨：用x0，a，e表示PF1，(1)利用PF1与x0，a，e之间的关系求最值；(2)用PF1、PF2与x0，a，e之间的关系及勾股定理列出x0，a，e的方程，并求x0.

解：(1)对应于F1的准线方程为x＝－

∴PF1＝a＋ex0.又－a≤x0≤a，

∴当x0＝－a时，PF1min＝a＋

当x0＝a时，PF1max＝a＋(2)∵a2＝25，b2＝5，∴c2＝20，e2＝∵

∴(a＋ex0)2＋(a－ex0)2＝4c2.将数据代入得25＋

代入椭圆方程得P点的坐标为

变式3：已知点P在椭圆 ＝1(a>b>0)上，

F1、F2为椭圆的两个焦点，

求PF1·PF2的取值范围．

解：设P(x0，y0)，椭圆的准线方程为y＝±不妨设F1、F2分别为下焦点、上焦点，则

PF2＝a－∴PF1·PF2＝∴当y0＝0时，PF1·PF2最大，最大值为a2；当y0＝±a时，PF1·PF2最小，最小值为a2－c2＝b2.因此，PF1·PF2的取值范围是[b2，a2]．y0＋a，∵－a≤y0≤a，

1．直线与椭圆位置关系的判定把椭圆方程

＝1(a>b>0)与直线方程y＝kx＋b联立消去y，整理成形如Ax2＋Bx＋C＝0的形式，对此一元二次方程有：(1)Δ>0，直线与椭圆相交，有两个公共点．(2)Δ＝0，直线与椭圆相切，有一个公共点．(3)Δ<0，直线与椭圆相离，无公共点．

2．直线被椭圆截得的弦长公式，设直线与椭圆交于A(x1，y1)，

B(x2，y2)两点，则AB＝

＝

(k为直线斜率)．

【例4】椭圆C：

＝1(a>b>0)的两个焦点为F1，F2，

点P在椭圆C上，且PF1⊥F1F2，PF1＝

(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l过圆x2＋y2＋4x－2y＝0的圆心M，交椭圆C于A，B两点，且A，B关于点M对称，求直线l的方程．

思路点拨：(1)可根据椭圆定义来求椭圆方程；(2)解法一：设斜率为k，表示出直线方程，然后与椭圆方程联立，利用根与系数的关系及中点坐标公式求解；解法二：设出A、B两点坐标，代入椭圆方程，作差变形，利用中点坐标公式及斜率求解(即点差法)．

解：(1)因为点P在椭圆C上，所以2a＝PF1＋PF2＝6，a＝3.

在Rt△PF1F2中，F1F2＝

故椭圆的半焦距c＝从而b2＝a2－c2＝4，所以椭圆C的方程为

(2)设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．已知圆的方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝5，所以圆心M的坐标为(－2,1)，从而可设直线l的方程为：y＝k(x＋2)＋1，代入椭圆C的方程得：(4＋9k2)x2＋(36k2＋18k)x＋36k2＋36k－27＝0.

因为A，B关于点M对称，所以

＝－2，解得k＝

所以直线l的方程为y＝(x＋2)＋1，即8x－9y＋25＝0.(经检验，所求直线方程符合题意)变式4：斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A、B两点，则

AB的最大值为________．解析：设椭圆截直线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0.则有x1＋x2＝－t，x1x2＝.∴AB＝|x1－x2|＝·＝，当t＝0时，|AB|max＝2．(1)如果已知椭圆＋＝1(a>b>0)上一点P，需要解决有关△PF1F2的问题，由于在△PF1F2中已知F1F2＝2c，

PF1＋PF2＝2a，如果再给出一个条件，△PF1F2可解．(2)当然如果涉及到椭圆上点到焦点的距离，也可考虑由＝和方程推出的结论——焦半径公式

PF1＝a＋ex0，PF2＝a－ex0.【规律方法总结】1．求椭圆方程：(1)可通过对条件的“量化”根据两个条件利用待 定系数法求椭圆的标准方程；(2)可利用求轨迹方程的方法求 椭圆方程．3．在掌握椭圆简单几何性质的基础上，能对椭圆性质有更多的了解，如(1)a＋c与a－c分别为椭圆上点到焦点距离的最大值和最小值；(2)椭圆的通径(过焦点垂直于长轴的弦)长，是过椭圆焦点的直线被椭圆所截得的弦长的最小值等．4．求椭圆的离心率e＝，可根据已知条件列出一个关于a、b、c的齐次等式，再结合a2＝b2＋c2可得关于e的方程求解，求椭圆的离心率与求椭圆的标准方程相比较，比求椭圆的标准方程少一个条件.

【例5】(2009·重庆卷)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别

为F1(－c,0)、F2(c,0)，若椭圆上存在点P使＝，则该椭圆的离心率的取值范围为________．分析：在△PF1F2中根据正弦定理建立关系式和已知条件比较寻找关于离心率e的不等式．【高考真题】规范解答：根据已知条件∠PF1F2，∠PF2F1都不等于0，即点P不是椭圆的左、右顶点，故P，F1，F2构成三角形．在△PF1F2中，由正弦定理得

＝，则由已知得，即aPF1＝cPF2.设点P(x0，y0)，由焦点半径公式，得PF1＝a＋ex0，PF2＝a－ex0，则a(a＋ex0)＝c(a－ex0)．得x0＝，由椭圆的几何性质知x0>－a，则－a，整理得e2＋2e－1>0，解得e<－－1或e>－1.又e∈(0,1)，故椭圆的离心率e∈(－1,1)．故填(－1,1)．

答案：(－1,1)

【全解密】本题考查椭圆的定义、椭圆的简单几何性质、正弦定理等基础知识，但试题的核心考查点是分析问题、解决问题的能力，试题给出的 实际上是给出了这个椭圆上点P到左、右焦点的两条焦半径之间的一个等量关系，要求考生根据这个等量关系建立关于离心率的不等式，对能力有较高的要求．试题设计新颖，是一道值得仔细品味的试题．【命题探究】椭圆的焦点半径果在椭圆C：＋＝1(a>b>0)中，点P(x0，y0)，F1，F2分别为左、右焦点，则PF1＝a＋ex0，PF2＝a－ex0，F1F2＝2c，e为椭圆的离心率，其证明过程如下：由于＝1，故，根据两点间的距离公式PF1＝=又由于－a≤x0≤a，所以0<－c＋a≤x0＋a≤c＋a，故PF1＝x0＋a＝a＋ex0；根据椭圆定义PF2＝2a－PF1＝2a－(a＋ex0)＝a－ex0，F1F2＝2c.【知识链接】

注：(1)通常把PF1、PF2称为该椭圆的左、右焦点半径，从这个规律可以看出焦点在x轴上的椭圆的焦点半径只与点P的横坐标有关，同理可以写出焦点在y轴上的椭圆的焦点半径．(2)由PF1＝a＋ex0知当x0＝－a时，PF1最小，当x0＝a时，PF1最大(虽然这时F1，F2已经不能构成三角形，但我们上面的推导并没有用到P，F1，F2构成三角形这个条件)．

椭圆离心率范围问题基本分析思路：求解椭圆的离心率实际上就是建立一个关于离心率的不等式，这个不等式可以通过建立a，b，c的不等式达到目的，在椭圆中建立不等式有如下一些思考途径：一是椭圆几何性质，如根据椭圆上点的坐标的范围与已知条件建立不等式；二是涉及直线与椭圆相交时，直线方程与椭圆方程联立消元后所得到的一元二次方程的判别式大于零；三是题目中给出的或能够根据已知条件得出的不等关系式．【方法探究】

【技巧点拨】

在椭圆中，当椭圆上的点不是其长轴的两个端点时，这个点与椭圆的两个焦点可以构成一个三角形，这个三角形中一个边长等于焦距，另两个边长之和等于长轴的长，在这个三角形中利用正余弦定理可以巧妙地解决一些问题．【发散思维】本题也可以按如下方法解答：据“规范解答”知PF1＝PF2，由椭圆的定义知PF1＋PF2＝2a，则PF2＋PF2＝2a，即PF2＝.由椭圆的几何性质知PF2<a＋c，则<a＋c，即c2＋2c－a2>0，所以e2＋2e－1>0，从而可求出离心率e的范围．【误点警示】

本题易出现的一个致命的错误就是忽视了隐含条件“∠PF1F2，∠PF2F1都不能等于0”，这样会导致在最后的答案中含有离心率等于－1.解答数学题目要注意对隐含条件的挖掘，确保答案准确无误，特别是解答选择题和填空题尤为如此.

1．已知椭圆x2＋＝1和直线y＝2x＋m恒有两个不同的交点，求两交点连线的中点轨迹方程．分析：解决直线与圆锥曲线的关系问题，除利用根与系数关系外，也可以运用点差法，但必须以直线与圆锥曲线相交为前提，否则不宜用此法．解：设直线与椭圆的两个交点的坐标为M(x1，y1)，N(x2，y2)，则有①

②

设MN的中点P(x，y)，则x1＋x2＝2x，y1＋y2＝2y.又∵＝2，∴2＝－4×