【创新设计】2011届高三数学一轮复习 7-3平面的基本性质、空间两条直线的位置关系课件 理 苏教版

第3课时平面的基本性质、空间两条直线的位置关系1．理解空间直线，平面位置关系的定义．2．了解可以作为推理依据的公理和定理．3．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题．【命题预测】平面的基本性质、公理的推论都是每年必考的知识点，主要用于证明一条直线在一个平面内、点共线或点在线上、平面相交、平面存在且唯一等问题，常出现在大题中，填空题中也经常出现这些性质及其推论的运用．【应试对策】1．图形对于分析空间元素的位置关系、展开想象，探索解题思路是至关重要的，而三个公理是立体几何作图的依据，因此，在学习时应重视画图与识图，既能正确运用实、虚线画出结构合理的直观示意图，又能正确识别空间中点、线、面的位置关系，要注意通过作图加深对公理的掌握与理解，对于公理2，必须透彻理解“有且只有”的含义，这里的“有”是说平面存在，“只有”是说平面唯一，“有且只有”强调平面存在并且唯一这两个方面．在学习时还应深刻理解确定平面的条件，如公理2的条件是“不在同一直线上的三点”．2．证明点或线的共面问题是平面基本性质的具体应用，主要是先确定所在的平面，再证明其他线、点也在这个平面内．方法有两种，一是先用部分点、线确定一个平面，再证其余的也在这个平面内；二是证明两个平面重合．有时也采用反证法，且反证法是一个重要的数学方法，也是立体几何中经常用的方法．证明点共线的问题，可先由两点确定一条直线，再证其他的点也在这条直线上，也可以证明所有的点都在一条特定的直线(如由公理3确定的两平面的交线)上，证明线共点问题，可先由其中两条直线交于一点，再证这个点也在其他的直线上，也可以证明所有的直线都经过一个特定的点．3．等角定理主要解决了角在空间中的平移问题，它揭示了一个角在空间平移后，其大小不会改变．理解异面直线的定义时，对“不在任何一个平面内的两条直线”要有深刻的认识，其中“任何”是不可缺少的，不能误解为“不同在某一个平面内”．求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题化为共面问题来解决．根据空间等角定理及其推论，知异面直线所成角的大小与顶点位置无关，可将角的顶点取在其中的一条直线上，特别地，可以取在其中一条直线与另一条直线所在平面的交点或异面直线的端点．要注意异面直线所成角的范围是.【知识拓展】异面直线1．定义：所谓异面直线是指不同在任何一个平面内的两条直线．2．性质：两条异面直线既不相交也不平行．3．判定定理 过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线．如图所示，该图形的符号语言是：已知a⊂α，A∉α，B∈α，B∉a

⇒直线AB和a是异面直线．画异面直线要依托平面，一般有以下两种画法：1．平面的基本性质 公理1：如果一条直线上的

在一个平面内，那么这条直线在这个平面内． 公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集 合是经过这个公共点的

． 公理3：经过不在

的三点，有且只有一个平面．两点一条直线同一条直线上2．直线与直线的位置关系

思考：如何判断两直线是异面直线？ 提示：(1)根据定义；(2)利用反证法．3．平行线的传递性 公理4：平行于

的两条直线互相平行．4．等角定理 如果一个角的两边和另一个角的两边分别

并且方向相同，那么这两个角等．5．异面直线的判定定理 过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是

.

同一条直线平行异面直线6．异面直线所成的角 a与b是异面直线，经过空间任一点O，作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线 a′和b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a，b

．若异面直线a，b 所成的角是直角，则称异面直线a，b

，记作a⊥b.所成的角互相垂直1．“直线l上有两点在平面α内”是“平面α经过l”的________条件；“两个平面有公共点”是“这两个平面相交”的______条件． 答案：充要充要如图，“平面α与平面ABC只有一个公共点”，此结论错误的原因是______________________________．

答案：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，而不是只有一个公共点.3．如图，在三棱锥O—ABC中，D、E、F分别是棱OA、OB、OC的三等分点，在△DEF和△ABC中，角一定相等的有________对． 解析：由得DE∥AB，

EF∥BC，DF∥AC.由等角定理知， ∠EDF=∠BAC，∠DEF=∠ABC，∠DFE=∠ACB.

答案：34．如图，平面α与平面β相交于EF，C∈EF，C′∈EF，AC⊂α，A′C′⊂α，BC⊂β，B′C′⊂β，且AC∥A′C′，BC∥B′C′，∠ACB＝120°，∠A′C′B′＝________. 答案：120°5．下列各图是正方体和正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，过四个点共面的图形是________．(写出符合要求序号)解析：在④选项中，可证Q点所在棱与PRS平行，因此，P、Q、R、S四点不共面．可证①中PQRS为梯形；③中可证PQRS为平行四边形；②中如图取A1A与BC的中点分别为M、N，可证明PMQNRS为平面图形，且PMQNRS为正六边形．答案：①②③ 平面的基本性质包括三个公理及公理3的三个推论．公理1是确定直线在平面内的依据(也可以说是平面经过直线的依据)．公理2是确定两个平面相交的依据，并且知道当两个平面相交时，它们相交于一条公共直线，用它可以证明一些点共线的问题．公理3及其推论都是确定一个平面的依据．【例1】如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°，

BC

AD，BE

FA，G、H分别为FA、FD的中点． (1)证明：四边形BCHG是平行四边形； (2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？(2)解法一：证明D点在EF、CH确定的平面内．解法二：延长FE、DC分别与AB交于M，M′，可证M与M′重合，从而FE与DC相交．

证明：(1)由已知FG＝GA，FH＝HD，可得GH綊AD.又BC綊AD，∴GH綊BC，∴四边形BCHG为平行四边形．(2)解法一：由BE綊AF，G为FA中点知，BE綊FG，∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG.由(1)知BG∥CH，∴EF∥CH，∴EF与CH共面．又D∈FH，∴C、D、F、E四点共面．解法二：如右图，延长FE，DC分别与AB交于点M，M′，∵BE綊AF，∴B为MA中点．∴BC綊AD，∴B为M′A中点，∴M与M′重合，即FE与DC交于点M(M′)，∴C、D、F、E四点共面．变式1：设E、F、G、H为空间四点，命题甲：点E、F、G、H不共面；命 题乙：直线EF和GH不相交．试判断甲是乙成立的什么条件？ 解：∵当点E、F、G、H不共面时，直线EF和GH不相交，∴甲是乙成立的 充分条件． ∵当EF和GH平行时，EF和GH不相交，点E、F、G、H在同一个平面内， ∴甲不是乙成立的必要条件．综上所述，甲是乙成立的充分不必要条件．利用两平面交线的唯一性，证明诸点在两平面的交线上是证明空间诸点共线的常用方法．证明点共线的方法从另一个角度讲也就是证明三线共点的方法．证明线共点，基本方法是先确定两条直线的交点，再证交点在第三条直线上，也可将直线归结为两平面的交线，交点归结为两平面的公共点，由公理2证明点在直线上．【例2】已知空间四边形ABCD中，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G 分别是边BC、CD上的点， (1)若F、G分别为BC、CD的中点，试证EFGH为平行四边形； (2)若＝2，试证EF、AC、HG相交于一点．证明：(1)如图连结AC，BD，则EF∥AC，HG∥AC，因此EF∥HG；同理EH∥FG，则EFGH为平行四边形．(2)∵E、H分别是AB、AD的中点，∴EH綊BD；又∵＝2，∴FG綊BD，∴EFGH为梯形，则EF，GH相交于一点O，即O∈EF，O∈GH，∴O∈平面ABC，O∈平面ADC，又面ABC∩面ADC＝AC，则O∈AC，即EF、AC、HG相交于一点．变式2：(1)三个平面两两相交，则三个平面的交线可能有______________， 可能将整个空间划分为____________． (2)已知三个平面两两相交且有三条交线，试证三条交线互相平行或者相交 于一点． 答案：(1)一条或三条若三个平面有一条交线，则三个平面将空间分为六 部分，若三个平面有三条交线可将空间分为七或八部分(2)证明略判定两直线为异面直线的方法：1．定义法：判定两条直线不同在任何一个平面内．2．判定定理：过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直 线是异面直线，如图所示．3．反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交，由假设 的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面．此法在异面直线的判定中经常用到．【例3】如图，已知平面α与平面β交于a，b在β内，且b与a交于A，c在 α内，且c∥a，求证：b、c是异面直线．

思路点拨：本例的证法不只一种可采用反证法也可采用异面直线的判定定 理来证明．证法一：假设b、c不是异面直线，它们同在平面γ内．∵平面α、γ均过直线c与点A，∴α与γ重合，a在α内．∴a在γ内．又∵γ与β均过直线a与b，∴β与γ重合，从而α与β重合，这与题设α与β交于a相矛盾．∴b、c是异面直线．证法二：假设b、c不是异面直线，则b与c相交或平行．若b与c相交，∵a∥c，a与b相交，从而a、b、c在同一平面内，即平面α与β重合，这与题设α与β交于a矛盾．若b与c平行，∵a∥c，∴a∥b这与题设a与b交于A矛盾．综上可知，b与c是异面直线．证法三：在b上取一点P(不同于A)，则P∉α，∵c⊂α，A∉c，∴PA与c是异面直线，即b与c是异面直线．

变式3：如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1，B1C1的 中点，问： (1)AM和CN是否是异面直线？说明理由； (2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．解：(1)不是异面直线．理由：∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点，∴MN∥A1C1，又∵A1A綊D1D，而D1D綊C1C，∴A1A綊C1C，∴四边形A1ACC1为平行四边形．∴A1C1∥AC，得到MN∥AC，∴A、M、N、C在同一个平面内，故AM和CN不是异面直线．(2)是异面直线，证明如下：假设D1B与CC1在同一个平面D1CC1内，则B∈平面CC1D1，C∈平面CC1D1.∴BC⊂平面CC1D1，∴B∈面CC1D1D，这与ABCD—A1B1C1D1是正方体相矛盾．∴假设不成立，故D1B与CC1是异面直线.【规律方法总结】1．证明若干个点共线的重要方法之一，是证明这些点分别是某两个平面的公共点，再根据公理3可知它们共线．2．证明三线共点，可证明两条直线的交点在第三条直线上．3．证明点共面、线共面的基本途径是先由满足确定平面条件的几个点或几条直线作出平面，再证明其余元素在该平面内．4．处理异面问题，往往经平移后转化为同一平面内的问题．5．证明异面直线常用反证法.

【高考真题】【例4】(2009·安徽卷)对于四面体ABCD，下列命题正确的是

(写出所有正确命题的编号)． ①相对棱AB与CD所在的直线异面；②由顶点A作四面体的高，其垂足是△BCD三条高线的交点；③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，则这两条高所在的直线异面；④分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点； ⑤最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱．分析：画出图形，根据各个命题寻找其成立的根据，或者寻找其不成立的反例．规范解答：命题①中，如果AB，CD共面，则四点A，B，C，D共面，ABCD为平面图形，与ABCD是四面体矛盾，故命题①正确；命题②中，如果命题成立，即顶点A在底面BCD上的射影为底面三角形的垂心，如图(1)所示，则CD⊥AH，CD⊥BE，根据线面垂直的判定定理，知CD⊥平面ABH，故CD⊥AB，同理可以证明AD⊥BC，AC⊥BD，但这些条件在题目的已知中是不具备的，故命题②不一定成立，即命题不正确；命题③中，如图(2)所示，当△ABC，△ABD的AB边上的高的垂足为同一个点时，命题不成立，这种情况是完全可能的，如当CA＝CB，DA＝DB时，故命题③不正确；命题④中，如图(3)所示，E，F，G，H，I，J分别为BC，AD，CD，AB，AC，BD的中点，连接各中点，容易证明四边形EHFG为平行四边形，故HG，EF相交于一点，且该点平分两线段，即交点为线段HG的中点，设为O；同理可以证明HG，IJ也相交于一点，且在该点互相平分，即线段IJ也过线段HG的中点O，故三组对棱中点的连线交于一点，故命题④正确；命题⑤中，如图(2)所示，设最长棱为AC，假设结论不成立，即不存在端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱，即从两个端点A，C引出的两条棱的长度之和均不大于AC，即AB＋AD≤AC，CB＋CD≤AC，两个不等式相加，得AB＋AD＋CB＋CD≤2AC，即(AB＋CB)＋(AD＋CD)≤2AC.在△ABC，△ADC中AB＋CB＞AC，AD＋CD＞AC，两式相加得(AB＋CB)＋(AD＋CD)＞2AC，得出矛盾结论，说明假设不成立，故命题⑤正确．故填①④⑤.

【全解密】【命题探究】本题考查异面直线的概念、直线与直线、直线与平面垂直的证明、空间三线共点的证明、反证法在立体几何中的应用，是一道能全面检测考生对传统立体几何方法掌握程度、空间想象能力、逻辑推理能力，分析问题、解决问题能力的试题．本题作为一道填空题，其目的不是要求考生在考场上对各个命题作出严格的理论证明，而是要求考生根据自己的知识积累和直觉想象、空间想象作出选择，是一道优秀的考题．【课本探源】本题中的命题②，实际上是由一道经典的立体几何题改编而来，这道题目是“四面体的顶点在底面上的射影是底面三角形垂心的充要条件是四面体有两组对棱互相垂直”．命题④是各个版本教材都有的一个题目“空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，求证四边形EFGH