【创新设计】2011届高三数学 一轮复习 第8知识块第1讲 直线的倾斜角与斜率课件 文 新人教A版

【考纲下载】1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．2．能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.第八知识块平面解析几何第1讲直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角和斜率(1)当直线和x轴平行或重合时，直线的倾斜角α＝0°.倾斜角的取值范围是(2)斜率：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，倾斜角是90°的直线，斜率不存在．[0°，180°)1．(3)斜率公式：当直线l经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)时，l的斜率k＝【思考】

所有的直线都存在斜率吗？都有倾斜角吗？答案：所有直线都有倾斜角，但不一定有斜率(当直线与x轴垂直，即倾斜角为时，斜率不存在)．它们的关系是k＝tanα，α∈.两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔

.特别地，当直线l1、l2的斜率都不存在时，l1与l2的关系为

.(2)两条直线垂直如果两条直线l1，l2斜率存在，设为k1，k2，则l1⊥l2⇔

.k1＝k2平行k1·k2＝－12．提示：由两直线的斜率之积为－1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为－1.如果l1、l2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，l1与l2互相垂直．所以斜率之积为－1是两直线l1、l2垂直的充分而不必要条件．直线3x＋y－1＝0的倾斜角大小为(

)A．30° B．60° C．120° D．150°解析：∵k＝－＝－.∴α＝120°.答案：C1．过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为(

)A．1 B．4 C．1或3 D．1或4解析：＝1，∴m＝1.答案：A2．已知过点A(－2，m)和B(m,4)的直线与直线2x＋y－1＝0平行，则m的值为(

)A．－8 B．0 C．2 D．10解析：∵＝－2

∴m＝－8.答案：A4．若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0,4)共线，则a的值等于

________.解析：，解得：a＝4.答案：43．在解决斜率或倾斜角的取值范围问题时，应先考虑斜率是否存在或倾斜 角是否为这一特殊情形；2．求倾斜角α的取值范围的一般步骤是：

①求出斜率k＝tanα的取值范围；

②利用三角函数的单调性，借助图象，数形结合，确定倾斜角α的取值范围．求直线x＋tanα·y＋1＝0(α∈)的倾斜角θ的取值范围．思维点拨：要求倾斜角的范围，应先求其斜率的变化范围，再结合倾斜角和斜率的关系求解．【例1】解：①当α＝0时，tanα＝0，直线方程为x＋1＝0，其倾斜角θ＝；②当α∈时，直线的斜率k＝tanθ＝－∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，借助正切函数在[0，π)上的图象可知，θ∈；综上可知，倾斜角θ的取值范围为已知点A(2，－3)、B(－3，－2)，直线l过点P(1,1)且与线段AB有交点，设直线l的斜率为k，则k的取值范围是(

)A．k

≥或k

≤－4 B．－4≤k

≤C．k

≥或k

≤－

D．－≤k

≤4解析:由倾斜角范围画出正切函数图象，如图∴倾斜角范围应是答案：D变式1：运用有斜率的两直线平行或垂直的条件处理两直线位置关系时，要紧紧抓住k

1，k

2及b1，b2之间的关系，需要注意的是“有斜率”这一前提条件，否则会使解题不严谨甚至导致错误．已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.试判断l1与l2是否平行．思维点拨：直线l2的斜率可能不存在，故应按l2的斜率是否存在为分类标准进行分类讨论．【例2】解：解法一：当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1不平行于l2；当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不平行于l2；当a≠1且a≠0时，两直线可化为l1：y＝－x－3，l2：y＝x－(a＋1)，l1∥l2⇔，解得a＝－1，综上可知，a＝－1时，l1∥l2，否则l1与l2不平行．解析：如图所示，过点B(-3，-2)、P(1,1)的直线斜率为过点A(2，-3)、P(1,1)的直线斜率为

从图中可以看出，过点P(1,1)的直线与线段AB有公共点可看做直线绕点P(1,1)从PB旋转至PA的全过程．∴

．答案：A解法二：由A1B2－A2B1＝0，得a(a－1)－1×2＝0，由A1C2－A2C1≠0，得a(a2－1)－1×6≠0，∴l1∥l2⇔⇔⇒a＝－1，故当a＝－1时，l1∥l2，否则l1与l2不平行．本例条件不变，若l1⊥l2，求a值．解：解法一：当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1与l2不垂直，故a＝1不成立．当a≠1时，l1：y＝－x－3，l2：y＝x－(a＋1)，由

＝－1⇒a＝.解法二：由A1A2＋B1B2＝0，得a＋2(a－1)＝0⇒a＝.拓展2：解决这类问题的关键是弄清楚所求代数式的几何意义，借助数形结合，将求最值问题转化为求斜率取值范围问题，简化了运算过程，收到事半功倍的效果．【例3】

若实数x，y满足等式(x－2)2＋y2＝3，求的最大值与最小值．解：设，即，如图，∴即的最大值为

即的最小值为解析：实数

x、y满足 表示的区域为图中的阴影部分，表示阴影部分的任一点与坐标原点连线的斜率．易知A(1,2)，

=2，∴的范围是[2，+∞)．答案：D若实数x、y满足，则的取值范围是(

)A．(0,2) B．(0,2]C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)变式3：【方法规律】1．要正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围，熟记斜率公式： k

＝，该公式与两点顺序无关，已知两点坐标(x1≠x2)时，根据该公式可求出经过两点的直线的斜率．当x1＝x2，y1≠y2时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°.2．求斜率可用k

＝tanα(α≠90°)，其中α为倾斜角，由此可见倾斜角与斜 率相互联系不可分割，牢记：“斜率变化分两段，90°是分界，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论”．

3．两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合．对于斜率都存在且不重合的两条直线l1、l2，l1∥l2⇔k

1＝k

2；l1⊥l2⇔k

1·k

2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是什么一定要特别注意.【规范解答】已知直线2xsinα＋2y－5＝0，则该直线的倾斜角的变化范围是________．解析：由题意，得直线2xsinα＋2y－5＝0的斜率为k＝－sinα.又－1≤sinα≤1，所以－1≤k≤1.当－1≤k<0时，倾斜角的变化范围是；当0≤k≤1时，倾斜角的变化范围是.故直线的倾斜角的变化范围是

.答案：【易入误区】解答本题容易出现的错误是认为直线斜率k

＝tanβ在[0，π)上是单调函数．当已知直线斜率k的取值范围求直线倾斜角的取值范围时，一定要正确利用正切函数的单调性．正切函数k

＝tanβ在[0，π)上并不是单调的函