第一章计数原理23《排列组合的应用》课时2

1.1.3排列组合的应用(二)（1）使学生掌握组合数的计算公式、组合数

（2）会用排列数公式和组合数公式解决实际问题.

（3）通过学习组合知识，让学生掌握类比的学习方法，并提高学生分析问题和解决问题的能力.本节课，我们对有关排列组合的几种常见的解题策略加以复习巩固。排列组合历来是学习中的难点，通过我们平时做的练习题，不难发现排列组合题的特点是条件隐晦，不易挖掘，题目多变，解法独特，数字庞大，难以验证。

同学们只有对基本的解题策略熟练掌握。根据它们的条件,我们就可以选取不同的技巧来解决问题.对于一些比较复杂的问题,我们可以将几种策略结合起来应用把复杂的问题简单化，举一反三，触类旁通，进而为后续学习打下坚实的基础。有限制的排列问题限制条件：某位置上不能排某元素或只能排某元素常用方法：直接法1.优限法：先特殊后一般2.捆绑法：元素相邻3.插空法：元素不相邻（有特殊元素或特殊位置，通常先排特殊元素或特殊位置，称为“优限法”）4.其它方法：元素限制条件多4.其它方法：元素限制条件多(1).定序问题倍缩空位插入策略(2).重排问题求幂策略(3).排列组合混合问题先选后排策略(4).元素相同问题隔板策略(5).平均分组问题除法策略(7).构造模型策略(8).实际操作穷举策略(6).合理分类与分步策略(1).定序问题倍缩空位插入策略例1.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少种不同的排法？解：（空位法）设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有

种方法，其余的三个位置甲乙丙共有

种坐法，则共有

种方法。

1思考:可以先让甲乙丙就坐吗?（插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有

方法4×5×6×7练习题：期中安排考试科目9门,语文要在数学之前考,有多少种不同的安排顺序?(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：

定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插入模型处理.(2).重排问题求幂策略例2.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法？解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有

种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分法，依此类推,由分步计数原理共有种不同的排法。7一般地n不同的元素没有限制地安排在m个位置上的排列数为种.

某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法练习题:(3).排列组合混合问题先选后排策略例3.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有

种方法.再把5个元素(包含一个复合元素)装入4个不同的盒内有

种方法.根据分步计数原理装球的方法共有

.解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.练习题:一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有

种.192(4).元素相同问题隔板策略例4.有10个运动员名额，在分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？

解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成9个空隙。在9个空档中选6个位置插个隔板，可把名额分成7份，对应地分给7个班级，每一种插板方法对应一种分法共有___________种分法。一班二班三班四班五班六班七班将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份至少一个元素,可以用块隔板，插入n个元素排成一排的个空隙中，所有分法数为.m-1n-1练习题:10个相同的球装5个盒中,每盒至少一个，有多少装法？(5).平均分组问题除法策略例5.6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？解:分三步取书得种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记6本书为ABCDEF.若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF,该分法记为(AB,CD,EF),则中还有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有种取法,而这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法,故共有种分法。平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以(n为均分的组数)避免重复计数。1.将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队,有多少分法？2.某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为

.

练习题:

练习题:3.10名学生分成3组,其中一组4人,另两组3人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的分组方法?（1540）(6).合理分类与分步策略例6.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能够唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法?解：10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞3人为全能演员。以只会唱歌的5人是否选上唱歌人员为标准进行研究只会唱的5人中没有人选上唱歌人员共有

种,只会唱的5人中只有1人选上唱歌人员

种,只会唱的5人中只有2人选上唱歌人员有

种，由分类计数原理共有

种。++本题还有如下分类标准：1.以3个全能演员是否选上唱歌人员为标准2.以3个全能演员是否选上跳舞人员为标准3.以只会跳舞的2人是否选上跳舞人员为标准都可经得到正确结果解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。

从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有

.34

练习题:(7).构造模型策略例7.马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种？解：把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯有_______种.一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队模型，装盒模型等，可使问题直观解决.练习题:某排共有10个座位，若4人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？120(8).实际操作穷举策略例8.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法?解：从5个球中取出2个与盒子对号有_____种还剩下3球3盒序号不能对应，利用实际操作法，如果剩下3,4,5号球,3,4,5号盒3号球装4号盒时，则4,5号球有只有1种装法,同理3号球装5号盒时,4,5号球有也只有1种装法,由分步计数原理有2

种.

对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状图会收到意想不到的结果.练习题:1.同一寝室4人,每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有多少种？(9)2.给图中区域涂色,要求相邻区域不同色,现有4种可选颜色,则不同的着色方法有

种.21345721.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有

.

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练习题:2.3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人,2号船最多乘2人,3号船只能乘1人,他们任选2只船或3只船,但小孩不能单独乘一只船,这3人共有多少乘船方法.27二、间接法（排除法）（先不考虑限制条件，算出所有的排列数，再从中减去不符合条件的排列数）例9.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的取法有多少种？画龙点睛：正难则反总体淘汰策略例9.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的取法有多少种？解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难,可用总体淘汰法.这十个数字中有5个偶数5个奇数,所取的三个数含有3个偶数的取法有

,只含有1个偶数的取法有

,和为偶数的取法共有

.再淘汰和小于10的偶数共

.符合条件的取法共有

.9+-9+有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中淘汰.变式1：用0，1，2，3，4这五个数，组成没有重复数字的三位数，其中1不在个位的数共有_______种。分析：五个数组成三位数的全排列有个，0排在首位的有个，1排在末尾的有，减掉这两种不合条件的排法数，再加回百位为0同时个位为1的排列数（为什么？）故共有种。对于含有否定词语的问题，还可以从总体中把不符合要求的减去，此时应注意既不能多减又不能少减。变式2:某班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种?解:43人中任抽5人的方法有种,正副班长,团支部书记都不在内的抽法有种,所以正副班长,团支部书记至少有1人在内的抽法有种.结论——去杂法:有些问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中排除.分析:此题若是直接去考虑的话,就要将问题分成好几种情况,这样解题的话,容易造成各种情况遗漏或者重复的情况.而如果从此问题相反的方面去考虑的话,不但容易理解,而且在计算中也是非常的简便.这样就可以简化计算过程.（1）三个男生，四个女生排成一排，甲不在最左，乙不在最右，有几种不同方法？直接练习：间接（2）五人从左到右站成一排，其中甲不站排头，乙