第1节第二课时成比例线段

图形的相似本章内容第3章

比例线段本课内容本节内容3.1子目内容3.1.2成比例线段我们知道线段既有形状又有大小，这节课我们主要研究线段之间的数量关系，并由数量关系带给我们对图形形状的思考！动脑筋引入做一做如图3-1，在方格纸上（设小方格边长为单位1）有△ABC和△A′B′C′，它们的顶点都在格点上.试求出线段AB，BC，AC，A′B′，B′C′，A′C′的长度，并计算AB与A′B′，BC与B′C′，AC与A′C′的长度的比值.说一说问题1：(1)请问图3-1中，AB与A′B′，BC与B′C′，AC与A′C′三对线段的长度的比值有什么关系？

(2)再观察图3-1中的△ABC

和△A′B′C′，说一说它们的形状有什么关系？定义1：一般地，如果选用同一长度单位量得两条线段AB，A′B′的长度分别为ｍ，ｎ，那么把它们的长度的比叫作这两条线段AB与A′B′的比（ｒａｔｉｏ），记作或AB∶A′B′＝m∶n

；如果的比值为ｋ，那么上述式子也可写成或AB

＝ｋ·A′B′.结论动脑筋问题2：图3-1中的△ABC

和△A′B′C′中AB、BC、A′B′

、B′C′这四条线段有什么样的数量关系

？△ABC

和△A′B′C′中还有其它的四条线段也具有同样的数量关系吗？结论定义2：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫作成比例线段，简称为比例线段（ｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎａｌｓｅｇｍｅｎｔｓ）.举例例3(1)已知线段a，b，c，d

的长度分别为0.8cm，2cm，1.2cm，3cm，问a，b，c，d是比例线段吗？解(一)

∵

∴，即a，b，c，d是比例线段.解(二)

∵

∴，即a，b，c，d是比例线段.举例例3(2)已知线段a，b，c，d是比例线段，其中a，b，c的长度分别为0.8cm，2cm，1.2cm，求d.解∵线段a，b，c，d是比例线段，∴或或；当时，代入已知数，解得d=3cm；当时，代入已知数，解得，d=0.48cm；当时，代入已知数，解得，d=

cm.

动脑筋问题3：你能画出成比例线段吗？思路(1).由例3的启发，画长度分别是1cm、2cm、3cm、6cm的四条线段,这样的四条线段是成比例线段；当然长度分别为1cm、2cm、2cm、4cm的四条线段是成比例线段。思路(2).如图，平行四边形ABCD中的

四条线段是成比例线段解∵平行四边形ABCD，

∴AB=CD，BC=AD；

∴或；∴AB、BC、CD、DA四条线段是成比例线段.当然矩形、正方形、菱形中的四条线段也分别都是成比例线段.动脑筋问题4：古希腊数学家、天文学家欧多克索斯（约400—约前347）曾经提出一个问题：能否将一条线段AB分成不相等的两部分，使较短线段CB与较长线段AC的比等于线段AC与原线段AB的比？即，使得成立？小知识解决方法：先把问题特殊化，设线段AB的长度为１个单位，点C为线段AB上一点，且AC的长度为x个单位，则CB的长度为（１－x）个单位．由等式，得解得（舍去）.因此小知识小结：借助方程的知识，我们知道在一个单位长度的线段上存在一点将其分成不相等的两部分，其中较短的线段与较长的线段的比等于较长线段与原线段的比，而且比值等于.问题5：对于任意长度的线段是否存在一点将其分成不相等的两部分，其中较短的线段与较长的线段的比等于较长线段与原线段的比吗？动脑筋如果能的话，这个比值会是吗？解决方法：参考特殊方法，把特殊值1变成任意值a。动脑筋设线段AB的长度为a

个单位，点C为线段AB上一点，且AC的长度为x个单位，则CB的长度为（a－x）个单位．由等式，得因此，.

解得（舍去）.小知识小结：借助方程的知识，我们知道在任意长度的线段上也存在一点将其分成不相等的两部分，其中较短的线段与较长的线段的比等于较长线段与原线段的比，而且比值也等于结论定义3：如果能将一条线段AB分成不相等的两部分，使较短线段CB与较长线段AC的比等于线段AC与原线段AB的比，那么称线段AB被点Ｃ黄金分割（ｇｏｌｄｅｎｓｅｃｔｉｏｎ），点Ｃ叫作线段AB的黄金分割点，较长线段AC与原线段AB的比叫作黄金分割比．

问题6：我们知道任意线段都有黄金分割点，那如何找到它呢？动脑筋

对于一条给定的线段AB，找出它的黄金分割点的作法如下：（1）过点B作AB的垂线，并在垂线上取BC=AB；（2）连接AC，以点C为圆心，CB为半径画弧，交AC于点E；（3）以点A为圆心，AE为半径画弧，交AB于点P.则点P为所求作的线段AB的黄金分割点.欣赏：我们知道黄金分割比是个确定数，这个数可是

享誉全世界的，因为比值是它的线段

围成的图形是最美丽的图形.小知识小知识古希腊的巴台农神庙正面高度与底部宽度之比约为黄金分割比.小知识印度泰姬陵正面高度与底部宽度之比约为黄金分割比.小知识意大利著名画家达·芬奇的名作《蒙娜丽莎》中，人物的脸的宽度与高度的比就是一个黄金分割比．习题3.11.求下列各式中x的值.（1）5∶7=15∶x

；（2）144∶5=x∶25；（3）52∶x=26∶8；（4）x∶13=65∶78.答：(1)x=21;(2)x=720;

(3)x=16;(4)

x=.2.已知a，ｂ，ｃ，ｄ是比例线段.（1）若a=2，b=3，c=4，求d；（2）若a=1.5，c=2.5，d=4.5，求b；（3）若a=1.1，b=2.2，d=4.4，求c．答：(1)

d=6或或；答：(2)

b=

7.5或2.7或；答：(3)

c=8.8或2.2或0.55

.

3、甲、乙两地的实际距离为680km，在某地图上量得这两地的距离为17cm，求该地图的比例尺.答：因为680km=68000000cm，所以该地图的比例尺=68000000:17=4000000:1.

4、如图，节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体.若舞台AB长为20m，则主持人站在离A点多远处最自然得体？（结果精确到0.1m）解：设AB的黄金分割点为C，则AC≈0.618AB或BC

≈0.618AB,解得AC≈12.5m或AC

≈7.6m.答：所以主持人站在离A点12.5m或7.6m远处最自然得体.

小结与复习1、请问同学们这节课你学习了关于线段的什么知识？线段之间的一种数量关系：四条线段成比例