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文档简介
阎良区振兴初级中学高亚玲24.1.2垂径定理
赵州桥主桥拱的半径是多少?
问题:你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m,你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗?问题情境活动一实践探究把一个圆形纸沿着它的任意一条直径对折,重复几次,你发现了什么?由此你能得到什么结论?可以发现:圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是它的对称轴.把圆沿着直径CD折叠时,CD两侧的两个半圆重合,点A与点B重合,AE与BE重合,AC和BC
重合,AD和BD重合.⌒⌒⌒⌒?思考活动二如图,AB是⊙O的一条弦,做直径CD,使CD⊥AB,垂足为E.(1)这个图形是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?(2)你能发现图中有那些相等的线段和弧?为什么?·OEDABC(1)⊙O是轴对称图形.直径CD所在的直线是它的对称轴.(2)线段:AE=BE.⌒⌒弧:AC=BC,AD=BD.⌒⌒·OABCED那么直径CD平分弦AB,并且平分AB及ACB.⌒⌒即AE=BE,AD=BD,AC=BC.⌒⌒⌒⌒如图,如果直径CD⊥弦AB,垂足为点E.垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.?思考如图,AB是⊙O的一条(非直径)的弦,点E是AB的中点,过点E作直径CD.问:直径CD⊥弦AB吗?为什么?你还能得出什么结论?·OABCED直径CD⊥弦AB.
理由:连接OA和OB.∵OA=OB,∴△AOB是等腰三角形.∵点E是AB的中点,直径CD⊥弦AB.直径CD平分劣弧AB、平分优弧ACB.垂径定理推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.几何语言表达③AE=BE,由①CD是直径②CD⊥AB可推得⌒⌒⑤AD=BD.④AC=BC,⌒⌒垂径定理:推论:②CD⊥AB,由①CD是直径③AE=BE⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.可推得CABEOD知二得三
辨别是非判断下列说法的正误①平分弧的直径必平分弧所对的弦②平分弦的直线必垂直弦③垂直于弦的直径平分这条弦④平分弦的直径垂直于这条弦
⑤弦的垂直平分线是圆的直径⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦
⑦在圆中,如果一条直线经过圆心且平分弦,必平分此弦所对的弧√√√××××实践应用解决求赵州桥拱半径的问题如图,用AB表示主桥拱,设AB所在圆的圆心为O,半径为R.经过圆心O
作弦AB
的垂线OC,D为垂足,OC与AB
相交于点D,根据垂径定理得,D
是AB
的中点,C是AB的中点,CD
就是拱高.⌒⌒⌒BODACROD=OC-CD=R-7.2在图中,AB=37.4,CD=7.2,在Rt△OAD中,由勾股定理,得OA2=AD2+OD2即R2=18.72+(R-7.2)2解得:R≈27.9(m)∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.反思·总结弦长a、弦心距d、半径R以及弓形高h之间的关系:⑴;⑵.活动三巩固提高,灵活运用
1.如图,在⊙O中,弦AB的长为8cm,圆心O到AB的距离为3cm,求⊙O的半径.BAOE解:在Rt
△AOE
中
答:⊙O的半径为5cm.2.如图,在⊙O中,AB、AC为互相垂直且相等的两条弦,OD⊥AB于D,OE⊥AC于E,求证四边形ADOE是正方形.证明:∴四边形ADOE为矩形,又∵AC=AB∴AE=AD∴四边形ADOE为正方形.D·OABCE小结·升华(1)本节课你学到了哪些数学知识?(2)在利用垂径定理解决问题时,你掌握了哪些数学方法?(3)这些方法中你又用到了哪些数学思想?别忘记还有我哟!!作业:1、教材88页习题24.1第8题、第9题、第10题.
2、补充作业如右图,
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