《垂直于弦的直径》教学课件

阎良区振兴初级中学高亚玲24.1.2垂径定理

赵州桥主桥拱的半径是多少？

问题：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？问题情境活动一实践探究把一个圆形纸沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，ＡC和ＢC

重合，ＡD和ＢD重合．⌒⌒⌒⌒?思考活动二如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？·OEDABC（1）⊙O是轴对称图形．直径CD所在的直线是它的对称轴．（2）线段：AE=BE．⌒⌒弧：AC＝ＢC，ＡD＝ＢD.⌒⌒·OABCED那么直径CD平分弦AB，并且平分AB及ACB．⌒⌒即AE＝BE，AD＝BD，AC＝BC．⌒⌒⌒⌒如图，如果直径CD⊥弦AB，垂足为点E.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．?思考如图，AB是⊙O的一条（非直径）的弦，点E是AB的中点，过点E作直径CD．问：直径CD⊥弦AB吗？为什么？你还能得出什么结论？·OABCED直径CD⊥弦AB.

理由：连接OA和OB．∵ＯA＝ＯB，∴△AOB是等腰三角形．∵点E是AB的中点，直径CD⊥弦AB．直径CD平分劣弧AB、平分优弧ACB．垂径定理推论平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．几何语言表达③AE=BE,由①CD是直径②CD⊥AB可推得⌒⌒⑤AD=BD.④AC=BC,⌒⌒垂径定理：推论：②CD⊥AB,由①CD是直径③AE=BE⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.可推得ＣＡＢＥＯD知二得三

辨别是非判断下列说法的正误①平分弧的直径必平分弧所对的弦②平分弦的直线必垂直弦③垂直于弦的直径平分这条弦④平分弦的直径垂直于这条弦

⑤弦的垂直平分线是圆的直径⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦

⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，必平分此弦所对的弧√√√××××实践应用解决求赵州桥拱半径的问题如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R．经过圆心O

作弦AB

的垂线OC，D为垂足，OC与AB

相交于点D，根据垂径定理得，D

是AB

的中点，C是AB的中点，CD

就是拱高．⌒⌒⌒BODACROD=OC－CD=R－7.2在图中，AB=37.4，CD=7.2，在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2=AD2+OD2即R2=18.72+（R－7.2）2解得：R≈27.9（m）∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.反思·总结弦长a、弦心距d、半径R以及弓形高h之间的关系：⑴；⑵．活动三巩固提高，灵活运用

1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．BAOE解：在Rt

△AOE

中

答：⊙O的半径为5cm.2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．证明：∴四边形ADOE为矩形，又∵AC=AB∴AE=AD∴四边形ADOE为正方形.D·OABCE小结·升华（1）本节课你学到了哪些数学知识？（2）在利用垂径定理解决问题时，你掌握了哪些数学方法？（3）这些方法中你又用到了哪些数学思想？别忘记还有我哟！！作业：1、教材88页习题24.1第8题、第9题、第10题．

2、补充作业如右图，