李庆扬数值分析第五版习题的答案清华大学出版社

...wd......wd......wd...第一章绪论1．设,的相对误差为，求的误差。解：近似值的相对误差为而的误差为进而有2．设的相对误差为2%，求的相对误差。解：设，那么函数的条件数为又,又且为23．以下各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：,,,,解：是五位有效数字；是二位有效数字；是四位有效数字；是五位有效数字；是二位有效数字。4．利用公式(2.3)求以下各近似值的误差限：(1),(2),(3).其中均为第3题所给的数。解：5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R时允许的相对误差限是多少解：球体体积为那么何种函数的条件数为又故度量半径R时允许的相对误差限为6．设，按递推公式〔n=1,2,…〕计算到。假设取〔5位有效数字〕，试问计算将有多大误差解：……依次代入后，有即，假设取,的误差限为。7．求方程的两个根，使它至少具有4位有效数字〔〕。解：，故方程的根应为故具有5位有效数字具有5位有效数字8．当N充分大时，怎样求解设。那么9．正方形的边长大约为了100cm，应怎样测量才能使其面积误差不超过解：正方形的面积函数为.当时，假设,那么故测量中边长误差限不超过0.005cm时，才能使其面积误差不超过10．设，假定g是准确的，而对t的测量有秒的误差，证明当t增加时S的绝对误差增加，而相对误差却减少。解：当增加时，的绝对误差增加当增加时，保持不变，那么的相对误差减少。11．序列满足递推关系(n=1,2,…),假设〔三位有效数字〕，计算到时误差有多大这个计算过程稳定吗解：又又计算到时误差为，这个计算过程不稳定。12．计算，取，利用以下等式计算，哪一个得到的结果最好,,，。解：设，假设，，那么。假设通过计算y值，那么假设通过计算y值，那么假设通过计算y值，那么通过计算后得到的结果最好。13．,求的值。假设开平方用6位函数表，问求对数时误差有多大假设改用另一等价公式。计算，求对数时误差有多大解,设那么故假设改用等价公式那么此时，第二章插值法1．当时，,求的二次插值多项式。解：那么二次拉格朗日插值多项式为2．给出的数值表X0.40.50.60.70.8lnx-0.916291-0.693147-0.510826-0.356675-0.223144用线性插值及二次插值计算的近似值。解：由表格知，假设采用线性插值法计算即，那么假设采用二次插值法计算时，3．给全的函数表，步长假设函数表具有5位有效数字，研究用线性插值求近似值时的总误差界。解：求解近似值时，误差可以分为两个局部，一方面，x是近似值，具有5位有效数字，在此后的计算过程中产生一定的误差传播；另一方面，利用插值法求函数的近似值时，采用的线性插值法插值余项不为0，也会有一定的误差。因此，总误差界的计算应综合以上两方面的因素。当时，令取令那么当时，线性插值多项式为插值余项为又在建设函数表时，表中数据具有5位有效数字，且，故计算中有误差传播过程。总误差界为4．设为互异节点，求证：〔1〕〔2〕证明令假设插值节点为，那么函数的次插值多项式为。插值余项为又由上题结论可知得证。5设且求证：解：令，以此为插值节点，那么线性插值多项式为=插值余项为6．在上给出的等距节点函数表，假设用二次插值求的近似值，要使截断误差不超过，问使用函数表的步长h应取多少解：假设插值节点为和，那么分段二次插值多项式的插值余项为设步长为h，即假设截断误差不超过，那么7．假设，解：根据向前差分算子和中心差分算子的定义进展求解。8．如果是m次多项式，记，证明的k阶差分是次多项式，并且〔为正整数〕。解：函数的展式为其中又是次数为的多项式为阶多项式为阶多项式依此过程递推，得是次多项式是常数当为正整数时，9．证明证明得证10．证明证明：由上题结论可知得证。11．证明证明得证。12．假设有个不同实根，证明：证明：有个不同实根且令那么而令那么又得证。13．证明阶均差有以下性质：〔1〕假设，那么〔2〕假设，那么证明：〔1〕得证。+得证。14．求及。解：假设那么15．证明两点三次埃尔米特插值余项是解：假设，且插值多项式满足条件插值余项为由插值条件可知且可写成其中是关于的待定函数，现把看成上的一个固定点，作函数根据余项性质，有由罗尔定理可知，存在和，使即在上有四个互异零点。根据罗尔定理，在的两个零点间至少有一个零点，故在内至少有三个互异零点，依此类推，在内至少有一个零点。记为使又其中依赖于分段三次埃尔米特插值时，假设节点为，设步长为，即在小区间上16．求一个次数不高于4次的多项式P〔x〕，使它满足解：利用埃米尔特插值可得到次数不高于4的多项式设其中，A为待定常数从而17．设，在上取，按等距节点求分段线性插值函数，计算各节点间中点处的与值，并估计误差。解：假设那么步长在小区间上，分段线性插值函数为各节点间中点处的与的值为当时，当时，当时，当时，当时，误差又令得的驻点为和18．求在上分段线性插值函数，并估计误差。解：在区间上，函数在小区间上分段线性插值函数为误差为19．求在上分段埃尔米特插值，并估计误差。解：在区间上，令函数在区间上的分段埃尔米特插值函数为误差为又20．给定数据表如下：Xj0.250.300.390.450.53Yj0.50000.54770.62450.67080.7280试求三次样条插值，并满足条件：解：由此得矩阵形式的方程组为21M02M12M22M312M4求解此方程组得三次样条表达式为将代入得由此得矩阵开工的方程组为求解此方程组，得又三次样条表达式为将代入得21．假设是三次样条函数，证明：假设，式中为插值节点，且，那么证明：从而有第三章函数逼近与曲线拟合，给出上的伯恩斯坦多项式及。解：伯恩斯坦多项式为其中当时，当时，当时，求证证明：假设，那么3．证明函数线性无关证明：假设分别取，对上式两端在上作带权的内积，得此方程组的系数矩阵为希尔伯特矩阵，对称正定非奇异，只有零解a=0。函数线性无关。4。计算以下函数关于的与：m与n为正整数，解：假设，那么在内单调递增假设，那么假设m与n为正整数当时,当时,在内单调递减当时,在内单调递减。假设当时，在内单调递减。5。证明证明：6。对，定义问它们是否构成内积。解：令〔C为常数，且〕那么而这与当且仅当时，矛盾不能构成上的内积。假设，那么,那么假设，那么,且即当且仅当时，.故可以构成上的内积。7。令，试证是在上带权的正交多项式，并求。解：假设，那么令，那么，且，故又切比雪夫多项式在区间上带权正交，且是在上带权的正交多项式。又8。对权函数，区间，试求首项系数为1的正交多项式解：假设，那么区间上内积为定义，那么其中9。试证明由教材式给出的第二类切比雪夫多项式族是上带权的正交多项式。证明：假设令，可得当时，当时，又，故得证。10。证明切比雪夫多项式满足微分方程证明：切比雪夫多项式为从而有得证。11。假设在上连续，求的零次最正确一致逼近多项式解：在闭区间上连续存在，使取那么和是上的2个轮流为“正〞、“负〞的偏差点。由切比雪夫定理知P为的零次最正确一致逼近多项式。12。选取常数，使到达极小，又问这个解是否唯一解：令那么在上为奇函数又的最高次项系数为1，且为3次多项式。与0的偏差最小。从而有13。求在上的最正确一次逼近多项式，并估计误差。解：于是得的最正确一次逼近多项式为即误差限为14。求在上的最正确一次逼近多项式。解：于是得的最正确一次逼近多项式为15。求在区间上的三次最正确一致逼近多项式。解：令，那么且令，那么假设为区间上的最正确三次逼近多项式应满足当时，多项式与零偏差最小，故进而，的三次最正确一致逼近多项式为，那么的三次最正确一致逼近多项式为16。，在上求关于的最正确平方逼近多项式。解：假设且，那么那么法方程组为解得故关于的最正确平方逼近多项式为17。求函数在指定区间上对于的最正确逼近多项式：解：假设且，那么有那么法方程组为从而解得故关于的最正确平方逼近多项式为假设且，那么有那么法方程组为从而解得故关于的最正确平方逼近多项式为假设且，那么有那么法方程组为从而解得故关于的最正确平方逼近多项式为假设且那么有那么法方程组为从而解得故关于最正确平方逼近多项式为18。，在上按勒让德多项式展开求三次最正确平方逼近多项式。解：按勒让德多项式展开那么从而的三次最正确平方逼近多项式为19。观测物体的直线运动，得出以下数据：时间t(s)00.91.93.03.95.0距离s(m)010305080110求运动方程。解：被观测物体的运动距离与运动时间大体为线性函数关系，从而选择线性方程令那么那么法方程组为从而解得故物体运动方程为20。实验数据如下：192531384419.032.349.073.397.8用最小二乘法求形如的经历公式，并计算均方误差。解：假设，那么那么那么法方程组为从而解得故均方误差为21。在某佛堂反响中，由实验得分解物浓度与时间关系如下：时间0510152025303540455055浓度01.272.162.863.443.874.154.374.514.584.624.64用最小二乘法求。解：观察所给数据的特点，采用方程两边同时取对数，那么取那么那么法方程组为从而解得因此22。给出一张记录用FFT算法求的离散谱。解：那么01234567432101234444048404801600023，用辗转相除法将化为连分式。解24。求在处的阶帕德逼近。解：由在处的泰勒展开为得从而即从而解得又那么故25。求在处的阶帕德逼近。解：由在处的泰勒展开为得从而即解得又那么故第四章数值积分与数值微分1.确定以下求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度：解：求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过m的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，进展验证性求解。〔1〕假设令，那么令，那么令，那么从而解得令，那么故成立。令，那么故此时，故具有3次代数精度。〔2〕假设令，那么令，那么令，那么从而解得令，那么故成立。令，那么故此时，因此，具有3次代数精度。〔3〕假设令，那么令，那么令，那么从而解得或令，那么故不成立。因此，原求积公式具有2次代数精度。〔4〕假设令，那么令，那么令，那么故有令，那么令，那么故此时，因此，具有3次代数精度。2.分别用梯形公式和辛普森公式计算以下积分：解：复化梯形公式为复化辛普森公式为复化梯形公式为复化辛普森公式为复化梯形公式为复化辛普森公式为复化梯形公式为复化辛普森公式为3。直接验证柯特斯教材公式〔2。4〕具有5交代数精度。证明：柯特斯公式为令，那么令，那么令，那么令，那么令，那么令，那么令，那么因此，该柯特斯公式具有5次代数精度。4。用辛普森公式求积分并估计误差。解：辛普森公式为此时，从而有误差为5。推导以下三种矩形求积公式：证明：两边同时在上积分，得即两边同时在上积分，得即两连边同时在上积分，得即6。假设用复化梯形公式计算积分，问区间应人多少等分才能使截断误差不超过假设改用复化辛普森公式，要到达同样精度区间应分多少等分解：采用复化梯形公式时，余项为又故假设，那么当对区间进展等分时，故有因此，将区间213等分时可以满足误差要求采用复化辛普森公式时，余项为又假设，那么当对区间进展等分时故有因此，将区间8等分时可以满足误差要求。7。如果，证明用梯形公式计算积分所得结果比准确值大，并说明其几何意义。解：采用梯形公式计算积分时，余项为又且又即计算值比准确值大。其几何意义为，为下凸函数，梯形面积大于曲边梯形面积。8。用龙贝格求积方法计算以下积分，使误差不超过.解：00.771743310.72806990.713512120.71698280.71328700.713272030.71420020.71327260.71327170.7132717因此03.45131318.628283-4.446923因此014.2302495111.171369910.1517434210.443796910.201272510.2045744310.266367210.207224010.207620710.2076691410.222270210.207571210.207594310.207593910.2075936510.211260710.207590910.207592210.207592210.207592210.2075922因此9。用的高斯-勒让德公式计算积分解：令，那么用的高斯—勒让德公式计算积分用的高斯—勒让德公式计算积分10地球卫星轨道是一个椭圆，椭圆周长的计算公式是这是是椭圆的半径轴，c是地球中心与轨道中心〔椭圆中心〕的距离，记h为近地点距离，H为远地点距离，R=6371〔km〕为地球半径，那么我国第一颗地球卫星近地点距离h=439(km)，远地点距离H=2384(