中考数学复习专题1+探索规律问题

这类问题是根据给出的具有某种规律的数、式、图形，或是给出与图形有关的操作变化过程，或某一具体的问题情境，通过观察、分析，探究所蕴含的本质规律和共同特征，或者发展变化的趋势，据此探索出一般性的结论.考查学生的归纳、概括、类比能力.解决这类问题的一般方法是：“从特殊情形入手——探索发现规律——猜想结论——验证.”一、数列规律这类问题通常是先给出一组数，通过观察、归纳这组数的共性规律，写出一个一般性的结论.解决这类题目的关键是找出题目中的规律，分清不变量和变化量，寻求变化部分与序号间的关系.【分析】观察不难发现，被开方数是从1开始的连续自然数，每一行的数据的个数是从2开始的连续偶数，求出n-1行的数据的个数，再加上n-2得到所求数的被开方数，然后写出算术平方根即可.【解答】前（n-1）行的数据的个数为2+4+6+…+2（n-1）=n（n-1），所以，第n（n是整数，且n≥3）行从左到右数第n-2个数的被开方数是n（n-1）+n-2=n2-2，所以，第n（n是整数，且n≥3）行从左到右数第n-2个数是【答案】【点评】本题考查了算术平方根，观察数据排列规律，确定出前（n-1）行的数据的个数是解题的关键.1.（2015·广东东莞）观察下列一组数：根据这组数的排列规律，可推出第10个数是_______.2.（2015·甘肃武威）古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…，叫作三角形数，其中1是第1个三角形数，3是第2个三角形数，6是第3个三角形数，…，依此类推，那么第9个三角形数是___________，2016是第____个三角形数.45633.（2015·江苏淮安）将连续正整数按如下规律排列：若正整数565位于第a行，第b列，则a+b=_______.147二、数式规律这类问题一般是先给出一组数式，通过观察、分析，归纳出这组数式的共性，写出一个具有一般性的表达式.解答这类问题，要认真分析所给数式的共同点，根据共同点归纳出具有这些共同点的一般式，再代入已知数式验证其正确性.（2014·安徽）观察下列关于自然数的等式：32-4×12=5①52-4×22=9②72-4×32=13③…根据上述规律解决下列问题：（1）完成第四个等式：92-4×()2=()；（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性.【分析】由①②③三个等式可得，被减数是从3开始连续奇数的平方，减数是从1开始连续自然数的平方的4倍，计算的结果是被减数的底数的2倍减1，由此规律得出答案即可.【解答】（1）32-4×12=5①52-4×22=9②72-4×32=13③…所以第四个等式：92-4×42=17.（2）第n个等式为：（2n+1）2-4n2=2（2n+1）-1，左边=（2n+1）2-4n2=4n2+4n+1-4n2=4n+1，右边=2（2n+1）-1=4n+2-1=4n+1.左边=右边.∴（2n+1）2-4n2=2（2n+1）-1.【点评】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题.102016-2520三、图形规律这类题目通常是给出一组图形的排列（或通过操作得到一系列的图形），探求图形的变化规律，以图形为载体考查图形所蕴含的数量关系.解决此类问题时应先观察图形的变化趋势，是增加还是减少，然后从第一个图形进行分析，运用从特殊到一般的探索方式，分析归纳找出增加或减少的变化规律，并用含有字母的代数式进行表示，最后用代入法求出特殊情况下的数值.（2015·贵州安顺）如图所示是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，…，第n（n是正整数）个图案中的基础图形个数为______（用含n的式子表示）.【解答】观察图形可知，第1个图案共有基础图形3×1+1=4个；第2个图案共有基础图形3×2+1=7个；第3个图案共有基础图形3×3+1=10个；…则第n个图案共有基础图形3×n+1=3n+1个.【答案】3n+1【点评】此题考查了图形的规律性.解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论.（2015·浙江湖州）已知正方形ABC1D1的边长为1，延长C1D1到A1，以A1C1为边向右作正方形A1C1C2D2，延长C2D2到A2，以A2C2为边向右作正方形A2C2C3D3（如图所示），以此类推…，若A1C1=2，且点A，D2，D3，…，D10都在同一直线上，则正方形A9C9C10D10的边长是________.【分析】设AD10与A1C1的交点为M，构造相似三角形△AD1M∽△D2A1M，从而求得然后利用△A1MD2∽△A2D2D3，从而求得A2C2的长，…，以此类推，求得A9C9的长.【解答】设AD10与A1C1的交点为M.∵四边形都是正方形，∴AD1∥A1D2，∴△AD1M∽△D2A1M，∴又∵A1D1=A1C1-AB=2-1=1，∴同理：△A1MD2∽△A2D2D3，∴设A2C2=x，则解得x=3.同理可求由此规律可得∴即正方形A9C9C10D10的边长是【答案】6.（2014·湖北武汉）观察下列一组图形中点的个数，其中第1个图中共有4个点，第2个图形中共有10个点，第3个图形共有19个点，…，按此规律第5个图形中共有点的个数()A.31B.46C.51D.662n+1四、点的坐标变化规律这类问题一般与直角坐标系相联系，结合函数、图形的变化，进而引起点的坐标变化.解答这类问题，一般要从题目中或图形运动中寻找变化规律，用变化规律表示点的变化，进而推导要求的点的坐标.如图，抛物线y=x2在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为A1，A2，A3…An，….将抛物线y=x2沿直线L：y=x向上平移，得一系列抛物线，且满足下列条件：①抛物线的顶点M1，M2，M3，…Mn，…都在直线L：y=x上；②抛物线依次经过点A1，A2，A3…An，….则顶点M2

016的坐标为（________，________）.【分析】根据抛物线y=x2与抛物线yn=（x-an）2+an相交于An，可发现规律，根据规律，可得答案.【解答】M1（a1，a1）是抛物线y1=（x-a1）2+a1的顶点，抛物线y=x2与抛物线y1=（x-a1）2+a1相交于A1，得x2=（x-a1）2+a1，即∵x为整数点，∴a1=1，∴M1（1，1）.M2（a2，a2）是抛物线y2=（x-a2）2+a2=x2-2a2x+a22+a2顶点，抛物线y=x2与y2相交于A2，M3（a3，a3）是抛物线抛物线y=x2与y3相交于A3，∵x为整数点，∴a3=5，∴M3（5，5），∴由此规律可得an=n×2-1=2n-1.∴a2

016=2016×2-1=4031.【答案】（4031,4031）8.（2014·湖北孝感）正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图的方式放置，点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线y=x+1和x轴上，则点B6的坐标是__________.（63，32）9.（2014·泰安）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B，O分别落