【金教程】高考数学总复习 5.3平面向量的数量积课件 文 新人教B

最新考纲解读1．掌握平面向量的数量积及其几何意义．2．了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题．3．掌握向量垂直的条件．高考考查命题趋势1．向量的数量积及运算律一直是高考数学的热点内容之一，是高考命题的必选素材．考查形式多为小题，考查内容主要是向量的数量积、几何意义、模以及夹角、共线和垂直问题．2．作为工具在考查三角函数、立体几何、平面解析几何等内容时经常用到．在2009年高考中有10套试卷在此知识点命题多以选择题、填空题出现，如2009全国Ⅱ，6；2009全国Ⅰ，6；2009湖北，17.3．估计在2011年高考中仍是考查热点．若单独命题则以选择题或填空题出现.注意：当且仅当两个非零向量a，b同方向量时，θ＝0°，当且仅当a，b反方向时θ＝180°，当且仅当a与b垂直时θ＝90°，记作a⊥b.(2)已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则a·b＝|a|·|b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积)．规定：0·a＝0注意：投影的绝对值称为射影．投影是实数，不是向量；而射影是非负实数．数量积的几何意义：a·b等于a的长度与b在a方向上的投影的乘积．3．平面向量数量积的运算律(1)交换律成立：a·b＝b·a(2)对实数的结合律成立：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ∈R)(3)分配律成立：(a±b)·c＝a·c±b·c＝c·(a±b)注意：(1)结合律不成立：a·(b·c)≠(a·b)·c；(2)消去律不成立a·b＝a·c不能得到b＝c.(3)a·b＝0不能得到a＝0或b＝0.4．两个个非零向向量垂直直的充要要条件a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.1.两个个向量的的数量积积是一个个实数，，向量加加、减、、数乘运运算的运运算结果果是向量量．2．数量量积的记记号是a·b不能写成成a×b也不能写写成ab.3．若a、b为实数，，且a·b＝0，则则有a＝0或b＝0，，但a·b＝0却却不能能得出出a＝0或或b＝0.若a、b、c∈R，且a≠0，，则由由ab＝ac可得b＝c，但由由a·b＝a·c及a≠0却却不能能推出出b＝c.4．若若a、b、c∈R，则a(bc)＝(ab)c(结合合律)成立立，但但对于于向量量a、b、c，(a·b)c≠a(b·c)，这这是因因为数数量a·b与c相乘是是与c共线的的向量量，而而数量量b·c与a相乘则则是与与a共线的的向量量，所所以一一般二二者是是不等等的．．5．若若a、b∈R，则|a·b|＝|a|·|b|，但但对于于向量量a、b，却有有|a·b|≤|a|·|b|，等等号当当且仅仅当a∥b时成立立．这这是因因为|a·b|＝|a|·|b|·|cosθ|而|cosθ|≤1.一、选选择题题1．(2009年福福建卷卷理9文12)设a、b、c为同一一平面面内具具有相相同起起点的的任意意三个个非零零向量量，且且满足足a与b不共线线，a⊥c，|a|＝|c|，则则|b·c|的值值一定定等于于()A．以a，b为两边的△△的面积B．以b，c为两边的△△面积C．以a，b为邻边的▱的面积D．以b，c为邻边的▱的面积[答案]C[答案]C[答案]B二、填空题题4．向量a、b满足(a－b)·(2a＋b)＝－4，，且|a|＝2，|b|＝4，则则a、b夹角的余弦弦值等于________．．6．已知a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则则a在b方向上的投投影为________．7．已知|a|＝3，|b|＝5，如如果a∥b，则a·b＝________.[错误分析析]忽视平行向向量的概念念．a、b的夹角为0°、180°.[解析]∵a∥b，∴a与b夹角是0°°或180°即α＝0°或180°∴a·b＝|a||b|cosα＝±15[答案]±15例1判断下列各各命题正确确与否：(1)0··a＝0；(2)0··a＝0；(3)若a≠0，a·b＝a·c，则b＝c；(4)若a·b＝a·c，则b≠c当且仅当a＝0时成立立；(5)对任任意向量a，有a2＝|a|2(6)(a·b)·c＝a·(b·c)对任意a，b，c向量都成立立；(7)a·b＝0⇒a＝0或b＝0；(8)|a·b|＝|a|·|b|(9)若a、b的夹角为θ，则b在a上的投影为为：b·cosθ.[解](1)错：：因为实数数与向量的的积还是向向量，所以以是错的．．(2)对；；因为向量量的积是数数量积，所所以是实数数故正确．．(3)错；；因为a·b＝|a|·|b|cosθ，a·c＝|a|·|c|cosφ所以由a≠0，a·b＝a·c得|b|cosθ＝|c|cosφ.因此原结结论是错的的．(4)错；；反例：当当a⊥b，a⊥c时满足a·b＝a·c且b≠c，但此时a不一定是零零向量所以以原结论是是错的．(5)对；；由向量的的数量积定定义式知是是正确的．．(6)错；；因为(a·b)和(b·c)均是实数数，所以(a·b)·c与c平行，而a·(b·c)与a平行，a与c不一定平行行，所以等等式不成立立．(7)错；；因为a·b＝|a|·|b|cosθ＝0⇒|a|＝0或|b|＝0或cosθ＝0，所以以原结论是是错的．(8)错；；因为a·b＝|a|·|b|cosθ，－1≤cosθ≤1∴－|a|·|b|≤a·b≤|a|·|b|，故原结结论是错的的．(9)错；；若a、b的夹角为θ，则b在a上的投影应应为：|b|·cosθ，所以原结结论是错的的．1．通过该该题我们清清楚了实数数与向量的的乘积和向向量的数量量积之间的的区别与联联系，重点点清楚0··a为零向量，，而0·a为零实数．．2．通过该题题我们应该该清楚：向向量的数量量积与实数数间的乘积积运算是不不一样的，，不能直接接照搬实数数的乘法规规律．3．向量的的数量积公公式较多，，且容易混混淆，在学学习中要分分清、理解解其实质，，注意区分分平行向量量、同向向向量、反向向向量、单单位向量等等概念．思考探究1若a、b、c为任意向量量，m∈R，则下列等等式不一定定成立的是是()A．(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)B．(a＋b)·c＝a·c＋b·cC．m(a＋b)＝ma＋mbD．(a·b)·c＝a·(b·c)[解析]因为A、、B、C均是公公式，所所以都正正确．应应用排除除法知只只有D选选项是错错的．因为(a·b)和(b·c)均是实实数，所所以(a·b)·c与c平行，而而a·(b·c)与a平行，a与c不一定平平行．所所以选项项D不一一定成立立．[答案]D例2已知|a|＝1，，|b|＝5，，且a、b的夹角为为60°°，求下下列各式式子的值值；(1)a·2b；(2)3a2＋b2；(3)(5a＋b)·(3a－2b)；(4)|4a＋b|[分析]直接根据据定义或或性质计计算即可可．[解](1)a·2b＝|a|·|2b|cos60°°＝5(2)3a2＋b2＝3|a|2＋|b|2＝3＋25＝28例3已知向量量a＝(m－2，m＋3)，，b＝(2m＋1，m－2)的的夹角为为钝角，，求m的取值范范围．[分析]根据向量量的数量量积公式式知，只只需让a·b<0且a与b不共线即即可．1．本题题易错点点(1)两两个向量量的数量量积a·b易错为a×b，书写时时要严格格区分，，符合““·”在在向量运运算中不不是乘号号，既不不能省略略，也不不能用““×”代代替；(2)把把a·b＝|a|·|b|·|cosα|与“a·b＝|a|·|b|”混淆淆．(3)两两个向量量的夹角角为钝角角时，忽忽视平角角的情况况．思考探究究2(1)已已知两单单位向量量a与b的夹角为为120°，若若c＝2a－b，d＝3b－a，试求c与d的夹角．．[分析]要求两向向量夹角角θ的取值范范围，可可先求cosθ的取值范范围．(2)设设非零向向量a＝(x,2x)，b＝(－3x,2)，且且a，b的夹角为为钝角，，求x的取值范范围．[分析]解题思维维的入手手点是在在“Rt△ABC中”，据此进进行翻译译和转化化1．向量量作为高高考的必必考内容容，它可可以与三三角函数数、解析析几何等等知识综综合，如如本题(是2004年年湖北高高考卷第第19题题)2．利用向向量处理理几何问问题的方方法步骤骤为：①①建立平平面直角角坐标系系；②设设点的坐坐标；③③求出有有关向量量的坐标标；④利利用向量量的运算算计算结结果；⑤⑤得到结结论．思考探究究3已知：如如图所示示，ABCD是菱形，，AC和BD是它的两两条对角角线，求求证：AC⊥BD.[思路点点拨]对于线段段的垂直直，可以以联想到到两个向向量垂直直的充要要条件，，而对于于这一条条件的应应用，可可以考虑虑向量式式的形式式，也可可以考虑虑坐标形形式的充充要条件件．[点评]如能熟练练应用向向量的坐坐标表示示及运算算，则将将给解题题带来一一定的方方便，通通过向量量的坐标标表示，，可以把把几何问问题的证证明转化化成代数数式的运运算，体体现了向向量的数数与形的的桥梁作作用.注重数学学思想方方法的数数学1．数形结合合的思想想方法．．由于向量本身身具有代数形形式和几何形形式双重身份份，所以在向向量知识的整整个学习过程程中，都体现现了数形结合合的思想方法法，在解决问问题过程中要要形成见数思思形、以形助助数的思维习习惯，以加深深理解知识要要