【学海导航】高三数学第一轮总复习 9.8 空间的距离课件

第九章

直线、平面、简单几何体19.8空间的距离考点搜索●空间两点间的距离，点到直线的距离，点到平面的距离，两条平行直线间的距离，两条异面直线间的距离，直线到与它平行的平面的距离，两个平行平面间的距离高2高考猜想1.用几何法或向量法求点到平面的距离是考查的重点.2.利用化归与转化的数学思想，融计算与证明于一体解决有关距离的问题，是高考试题的基本走向.3

1.两点间的距离——连结两点的①______的长度.

2.点到直线的距离——从直线外一点向直线引垂线，②__________________的长度.3.点到平面的距离——从点向平面引垂线，③____________________的长度.

4.平行直线间的距离——从两条平行线中一条上任意取一点向另一条直线引垂线，④_________________的长度.线段点与垂足的连线段点与垂足的连线段点与垂足的连线段4

5.异面直线间的距离——两条异面直线的公垂线夹在这两条异面直线间的⑤_____的长度.

6.直线与平面间的距离——如果一条直线和一个平面平行，从直线上任意一点向平面引垂线，⑥__________________的长度.

7.两平行平面间的距离——夹在两个平面之间的⑦___________的长度.点与垂足的连线段线段公垂线段5

8.若线段AB∥平面α，则两端点A、B到平面α的距离⑧______；若线段AB的中点在平面α内，则两端点A、B到平面α的距离⑨______.

9.设PA为平面α的一条斜线段，A为斜足，n为平面α的一个法向量，点P到平

面α的距离为d，则d=⑩________.相等相等6

10.如图，AB为异面直线a、b的公垂

线,AC=m,BD=n,CD=l,a、b所成的角为θ,则AB=

___________________.

盘点指南：①线段；②点与垂足的连线段;③点与垂足的连线段;④点与垂足的连线段；⑤线段；⑥点与垂足的连线段；⑦公垂线段；⑧相等；⑨相等；⑩;11117

ABCD是边长为2的正方形，以BD为棱把它折成直二面角A-BD-C，E是CD的中点，则异面直线AE、BC的距离为()A.B.C.D.1

解：易证CE是异面直线AE与BC的公垂线段，其长为所求.易得CE=1，所以选D.D8

在△ABC中，AB=15，∠BCA=120°，若△ABC所在平面α外一点P到A、B、C的距离都是14，则P到α的距离是()A.13B.11C.9D.7

解：作PO⊥α于点O，连结OA、OB、OC.因为PA=PB=PC，所以OA=OB=OC.所以O是△ABC的外心.所以所以,所以选B.B91.已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为1，侧棱长为2，点E为CC1的中点，求点D1到平面BDE的距离.

解法1：连结B1D1，则B1D1∥BD，所以B1D1∥平面BDE.分别取BD、B1D1的中点M、N，题型1求点到平面的距离10连结MN、ME、MC.因为BD⊥⊥MC，BD⊥⊥CC1，所以BD⊥平面MNC1C.所以平平面BDE⊥平面MNC1C，且ME为它们们的交交线.过点N作NH⊥⊥ME，垂足足为H，则NH⊥平面BDE，所以NH等于点点D1到平面面BDE的距离离.11由已知知可得得MN=2，MC=，CE=1，从而ME=.在Rt△△MHN中，NH=MNsin∠∠NMH=MNcos∠∠EMC=MN·故点D1到平面面BDE的距离离是.12解法2：设点D1到平面面BED的距离离为d.因为VD1-BDE=VB-DD1E，BC⊥平面CC1D1D，所以S△BDE·d=S△DD1E·BC.取BD的中点点M，连结结EM，则EM⊥BD.由已知知可得得，BD=，所以S△BDE=BD·ME=.又S△DD1E=××2×1=1，BC=1，13所以d=1，则d=.故点D1到平面BDE的距离是.解法3：如图所示建建立空间直直角坐标系系,则B(1,1,0),E(0,1,1),D1(0,0,2).设n=(x，y，z)为平面BDE的一个法向向量.因为n⊥，n⊥，所以，即14取x=1，则y=-1，z=1.所以n=(1，-1，1)，所以n·=2，|n|=.所以点D1到平面BDE的距离15点评：求点到平面面的距离，，一般是先先找到点在在平面内的的射影，然然后转化为为求这两点点连线段的的长度，利利用解三角角形知识可可求得.若若用向量法法来解，先先求得平面面的一个法法向量，然然后求此点点与平面内内任意一点点连线的向向量在法向向量上的投投影长度即即为所求的的距离.16如图，在四四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD,PA=AD=4,AB=2.以AC的中点O为球心、AC为直径的球球面交PD于点M，交PC于点N.求点N到平面ACM的距离.解法1：在Rt△PAC中，PC=.因为AN⊥NC，由,得PN=.17所以NC∶∶PC=5∶9.故N点到平面ACM的距离等于于P点到平面ACM的距离的.依题设知，，AC是所作球面面的直径，，则AM⊥MC.又因为PA⊥平面ABCD，则PA⊥CD，又CD⊥AD，所以CD⊥平面ＰＡＤＤ，则CD⊥AM，所以AM⊥平面PCD，所以AM⊥PD，又PA=AD,则M是PD的中点.18所以P、D到平面ACM的距离相等等.易得AM=且M到平面ABCD的距离为2,则,S△ACD=4.设D到平面ACM的距离为h，由VD-ACM=VM-ACD，即h=8,可求得h=，所以所求距离离为.19解法2:如图所示，建建立空间直角角坐标系，则则A(0,0,0),P(0,0,4),B(2,0,0),C(2,4,0),D(0,4,0),M(0,2,2),设平面面ACM的一个法向量量n=(x,y,z),由n⊥,n⊥，可得令z=1,则n=(2,-1,1).由条件可得，，AN⊥NC.20在Rt△PAC中，PA2=PN·PC,所以PN=,则NC=PC-PN=,所以,所以所求距离离等于点P到平面ACM的距离的.设点P到平面ACM的距离为h，则h=,所以所求的距距离为.212.在长方方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AD=AA1=1，E、F分别为AB、CD的中点，求直直线AF到平面CD1E的距离.解法1：连结DE，交AF于点M.在矩形ABCD中，因为AB=2，AD=1，E为AB的中点所以CE⊥DE.又D1D⊥CE，所以CE⊥平面D1DE，题型2求平行线面间间的距离22所以平面CD1E⊥平面D1DE，且它们的交线是D1E.过点M作MN⊥D1E，垂足为N，则MN⊥平面CD1E，所以MN的长即为点M到平面CD1E的距离.由已知，DE=，DD1=1，所以D1E=又F是CD的中点，所以以M是DE的中点，故ME=.23由△ENM∽△EDD1，得，所以MN=.因为AF∥平面CD1E，所以点M到平面CD1E的距离即为直直线AF到平面CD1E的距离.故直线AF到平面CD1E的距离为.24解法2：如图所示建立立空间直角坐坐标系，则E(1，1，0)，C(0，2，0)，D1(0，0，1)，A(1，0，0)所以=(0，1，0)，=(1，-1，0)，=(0，-2，1).设n=(x，y，z)为平面CD1E的法向量.由得取y=1，则x=1，z=2.25所以n=(1，1，2)，所以以n·=1，|n|=.所以点点A到平面面CD1E的距离离.因为AF∥∥平面CD1E，所以以点A到平面面CD1E的距离离即为为直线线AF到平面面CD1E的距离离.故直线线AF到平面面CD1E的距离

点评：求平行线面间的距离,也就是转化为求该线上某点到平面的距离，然后求得的点面距离即为线面距离.26在棱棱长长为为4的的正正方方体体ABCD-A1B1C1D1中，，M、、N、、E、、F分别别是是A1D1、A1B1、C1D1、B1C1的中中点点，，求求平平面面AMN与平平面面BDEF间的的距距离离.解：：如图图所所示示建建立立空间间直直角角坐坐标标系系，，则E(0，，2，，4)，，B(4，，4，，0)，，A(4，，0，，0).所以以=(0，，2，，4)，，=(4，，4，，0)，，=(0，，4，，0).27设n=(x，，y，，z)为为平平面面BDEF的法法向向量量.由得取y=2，，则则x=-2，，z=-1.所以以n=(-2，，2，，-1)，，所所以以n·=8，，|n|=3.所以以点点A到平平面面BDEF的距距离离故平平面面AMN与平平面面BDEF间的的距距离离为为.281.四棱棱锥锥P-ABCD的底底面面是是边边长长为为a的正正方方形形，，PA⊥底面面ABCD，PA=a，求求异异面面直直线线PC和AB的距距离离.解法法1：分分别别取取AB、PC的中中点点M、N，连连结结PM、CM、MN.由已已知知可可得得△PAM≌≌△△CBM，所以以PM=CM，从从而而MN⊥⊥PC.连结结AC，取AC的中中点点E，连连结结ME、NE，则ME∥∥BC，NE∥∥PA.题型异异面直直线间的的距离29因为AB⊥BC，AB⊥PA，所以AB⊥⊥ME，AB⊥NE，从而AB⊥平面MNE，所以AB⊥⊥MN，所以MN为异面直直线PC和AB的公垂线线.因为PA⊥平面ABCD，所以NE⊥平面ABCD.在Rt△MEN中，所以故异面直直线PC和AB的距离是是.30解法2：如图所示示建立空空间直角角坐标系系.由已知可可得，P(0，0，a)，B(a，0，0)C(a，a，0)，所以=(0，0，a)，=(a，0，0)，=(a，a，-a).设n=(x，y，z)为异面直直线PC和AB的公垂线线的一个个方向向向量.由得得31取z=1，则x=0，y=1.所以n=(0，1，1)，从而n·=a，|n|=.因为向量量在n方向上的的投影长长故异面直直线PC和AB的距离为为.322.在四棱锥锥P-ABCD中，底面面ABCD为矩形，，侧棱PA⊥平面ABCD，AB=，BC=1，PA=2，E为PD的中点.过点E作平面PAC

解法1：在平面ABCD内过D作AC的垂线，交AB于F，则∠ADF=.题型点点到直线线的距离离33连结PF，则在Rt△ADF中，因为DF⊥AC，DF⊥PA，所以DF⊥平面PAC.又因为NE⊥平面PAC，且点E在侧面PAB内，所以NE∥DF且N为PF的中点.所以点N到AB的距离为AP=1，故点N到AP的距离为.34解法2：如图所示建建立空间由于点N在侧面PAB内，故可设点N的坐标为(x，0，z)，则

=(-x,12,1-z).由NE⊥平面PAC，可得即