【高三数学一轮复习】由递推公式求通项的7种方法及破解数列中的3类探索性问题课件

由递推公式求通项的7种方法及破解数列中的3类探索性问题一、由递推公式求通项的7种方法

1、an＋1＝an＋f(n)型把原递推公式转化为an＋1－a

n＝f(n)，再利用累加法(逐差相加法)求解，即an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝a1＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(n－1)．

[例3]

已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋3，求an.

[解]设递推公式an＋1＝2an＋3可以转化为an＋1－t＝2(an－t)，即an＋1＝2an－t，则t＝－3.故递推公式为an＋1＋3＝2(an＋3)．

5、an＋1＝pan＋an＋b(p≠1，p≠0，a≠0)型这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令an＋1＋x(n＋1)＋y＝p(an＋xn＋y)，与已知递推式比较，解出x，y，从而转化为{an＋xn＋y}是公比为p的等比数列．

[例5]

设数列{an}满足a1＝4，an＝3an－1＋2n－1(n≥2)，求an.

6、an＋1＝pa(p>0，an>0)型这种类型一般是等式两边取对数后转化为an＋1＝pan＋q型数列，再利用待定系数法求解．二、破解数列中的3类探索性问题

1．条件探索性问题

此类问题的基本特征是：针对一个结论，条件未知需探求，或条件增删需确定，或条件正误需判定，解决此类问题的基本策略是：执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验或认证找到结论成立的充分条件，在“执果索因”的过程中，常常会犯的一个错误是不考虑推理过程的可逆与否，误将必要条件当作充分条件，应引起注意．

[例1]已知数列{an}中，a1＝2，a2＝3，其前n项和Sn满足Sn＋2＋Sn＝2Sn＋1＋1(n∈N*)；数列{bn}中，b1＝a1，bn＋1＝4bn＋6(n∈N*)．

(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；

(2)设cn＝bn＋2＋(－1)n－1λ·2an(λ为非零整数，n∈N*)，试确定λ的值，使得对任意n∈N*，都有cn＋1>cn成立．

[思路点拨]

处理第(2)问中的cn＋1>cn恒成立问题，可通过构造函数将问题转化为函数的最值问题，再来研究所构造的函数的最值．

[解]

(1)由已知得Sn＋2－Sn＋1－(Sn＋1－Sn)＝1，所以an＋2－an＋1＝1(n≥1)．又a2－a1＝1，所以数列{an}是以a1＝2为首项，1为公差的等差数列．所以an＝n＋1.

因为bn＋1＝4bn＋6，即bn＋1＋2＝4(bn＋2)，又b1＋2＝a1＋2＝4，所以数列{b2＋2}是以4为公比，4为首项的等比数列．所以bn＝4n－2.

(2)因为an＝n＋1，bn＝4n－2，所以cn＝4n＋(－1)n－1λ·2n＋1.要使cn＋1>cn成立，需cn＋1－cn＝4n＋1－4n＋(－1)nλ·2n＋2－(－1)n－1λ·2n＋1>0恒成立，化简得3·4n－3λ(－1)n－12n＋1>0恒成立，即(－1)n－1λ<2n－1恒成立，①当n为奇数时，即λ<2n－1恒成立，当且仅当n＝1时，2n－1有最小值1，所以λ<1；②当n为偶数时，即λ>－2n－1恒成立，当且仅当n＝2时，－2n－1有最大值－2，所以λ>－2，即－2<λ<1.

又λ为非零整数，则λ＝－1.

综上所述，存在λ＝－1，使得对任意n∈N*，都有cn＋1>cn成立．

[点评]对于数列问题，一般要先求出数列的通项，不是等差数列和等比数列的要转化为等差数列或等比数列．遇到Sn要注意利用Sn与an的关系将其转化为an，再研究其具体性质．遇到(－1)n型的问题要注意分n为奇数与偶数两种情况进行讨论，本题易忘掉对n的奇偶性的讨论而致误．

2．结论探索性问题此类问题的基本特征是：有条件而无结论或结论的正确与否需要确定．解决此类问题的策略是：先探索结论而后去论证结论，在探索过程中常可先从特殊情形入手，通过观察、分析、归纳、判断来作一番猜测，得出结论，再就一般情形去认证结论．

[思路点拨]处理第(2)问中的是否存在问题，可先假设存在正整数m，n，把m，n转化为一个变量求出这个变量的范围，根据正整数求其值，若在所求范围内能够得到适合题目的值，则存在，否则就不存在．第(3)问中Tn与9的大小比较可以通过构造函数，根据函数的性质比较Tn与9的大小．`[解]

(1)因为a＝2a＋anan＋1，即(an＋an＋1)(2an－an＋1)＝0.又an>0，所以2an－an＋1＝0，即2an＝an＋1.所以数列{an}是公比为2的等比数列．由a2＋a4＝2a3＋4，得2a1＋8a1＝8a1＋4，解得a1＝2.故数列{an}的通项公式为an＝2n(n∈N*)．

[点评]对于结论探索性问题，需要先得出一个结论，再进行证明．注意含有两个变量的问题，变量归一是常用的解题思想，一般把其中的一个变量转化为另一个变量，根据题目条件，确定变量的值．遇到数列中的比较大小问题可以采用构造函数，根据函数的单调性进行证明，这是解决复杂问题常用的方法．

3．存在探索性问题此类问题的基本特征是：要判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形、函数等)是否存在或某一结论是否成立．解决此类问题的一般方法是：假定题中的数学对象存在或结论成立或暂且认可其中的一部分结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设，否则，给出肯定结论，其中反证法在解题中起着重要的作用．

(3)是否存在互不相等的正整数m，s，n，使m，s，n成等差数列，且am－1，as－1，an－1成等比数列？如果存在，请给以证明；如果不存在，请说明理由．

[思路点拨]

第(1)问中an＋1与an的关系以分式形式给出，可以通过取倒数处理，目的仍然是变为等差