-多元函数微分习题-答案

-多元函数微分习题-答案求在区域上的最大值和最小值。例18此题是不等式约束问题，求解分两步进展:【解】

①在内，解方程组得唯一驻点〔0，0〕。提示先求区域内部的可疑极值点，再求边界上的可疑极值点，然后比较它们的函数值。第二页，共25页。2②在边界上，构造拉格郎日函数

解方程组求出函数值比较大小可知，最大值为45最小值为9.得可疑极值点和第三页，共25页。3设f(u,v)具有连续偏导数，且满足求所满足的一阶微分方程，并求其通解.因此，所求的一阶微分方程为解得(C为任意常数).例21，利用已知关系可得到关于y的一阶微分方程.【分析】先求【解】第四页，共25页。4例22【解】其中具有一阶连续偏导,且,求设第五页，共25页。5

设，其中是由确定，其中具有连续的一阶偏导数，求两端对求导有两端对求导有代入化简例23【解】在第六页，共25页。6上各点的法线总垂直于常向量，并指出此曲面的特征.证明:设可微,试证〖证法一〗设为曲面上任意一点,其法向量为:所以例24的任意性知曲面上各点的法线总垂直于即常向量.第七页，共25页。7〖证法二〗任取曲面上一点那么直线L：在曲面上，而L的对称式方程为L：可见过曲面上任意一点的直线均平行于{a，b，c}，即曲面是母线平行于{a，b，c}的柱面。第八页，共25页。8设可微,试证上任一点处的切平面都通过定点.那么该处的切平面为:+-[+]=0三个数a,b,c出现在方程中,我们首先猜测就是所求的点.代入满足方程,故点在此切平面上.例25〖证法一〗任取曲面上一点第九页，共25页。9〖证法二〗分析曲面的几何性质要比机械地代公式好,任取曲面上一点那么连接的直线方程L为:将直线方程代入曲面方程有这说明L上的点都在曲面上,即曲面是以为顶点的锥面,而曲面上任意一点的切平面都经过其顶点.设点第十页，共25页。10求由方程所确定的函数设的极值。解

对方程两边求全微分，得令，得例26第十一页，共25页。11代入原方程得：得驻点又第十二页，共25页。12所以函数没有极值点。所以对于点，点不是极值点。对于点，点不是极值点。这是隐函数极值问题，计算方法与显函数一样，所不同的是计算可疑极值点要利用隐函数求导法。注意第十三页，共25页。13平面上两定点A(1,3),B(4,2),试在椭圆圆周上求一点C,使△ABC面积解：设C点坐标为(x,y),那么

设拉格朗日函数解方程组例27最大.

第十四页，共25页。14得驻点对应面积而比较可知,点C与E重合时,三角形面积最大.第十五页，共25页。15求在点的两个二阶混合偏导数。解当时，类似:例28第十六页，共25页。16当时，显然第十七页，共25页。17第六局部考研试题欣赏第十八页，共25页。设,其中具有连续二阶偏导数,求2004年利用复合函数求偏导的方法直接计算.提示第十九页，共25页。设z=z(x,y)是由确定的函数，求的极值点和极值.2004年因为所以提示第二十页，共25页。得令故将上式代入可得第二十一页，共25页。由于所以第二十二页，共25页。故又从而点(9,3)是z(x,y)的极小值点，极小值为z(9,3)=3.类似地，由可知从而点(-9,-3)是z(x,y)的极大值点，极大值为z(-9,-3)=-3.第二十三页，共25页。谢谢！第二十四页，共25页。人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。所以我们要勤恳读书，广泛阅读，古人说“书中自有黄金屋。〞通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，培养逻辑思维能力；通过阅读文学作品，