【课件】4.3.1等比数列的概念（第一课时）课件-高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

1.两河流域发掘的古巴比伦时期的泥板上记录了下面的数列：

2.《庄子·天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”如果把“一尺之棰”的长度看成单位“1”，那么从第1天开始，各天得到的“棰”的长度依次是：

木棰长度第一天取半第二天取半第三天取半第四天取半.........第天取半n设木棰长度为13.在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20分钟就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是？第2项起,每一项是前一项的2倍2,4,8,16,32,64,…5思考：请同学们仔细观察以下五个数列,类比等差数列的研究,你认为可以通过怎样的运算发现以下数列的取值规律?你发现了什么规律?

共同特点:从第二项起，每一项与前一项的比都等于同一个常数.如果用{an}表示数列①，那么有

取值规律:从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于9．（第一课时）等比数列的概念F佳

如果一个数列从第____项起，每一项与它的前一项的____都等于___一个常数，那么这个数列就叫做__________.

常数叫做等____数列的_____等比数列二比同等比数列公比等差数列

如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.

常数叫做等差数列的公差.

公差通常用字母d表示公比通常用字母q表示。比探究：类比等差数列的概念，你能抽象出等比数列的概念吗？定义符号(3)5,5,5,5,5,5,…观察并判断下列数列是否是等比数列，是的话，指出公比，不是的话请说明理由:(4)

0,1,2,4,8,…(5)

2,0,2,0,2,…是,公比是2是,公比是-2是,公比是1不一定,分类讨论不是,分母不能为0不是,公比不能是0课本P31练习1

思考：(1)等差数列的项、公差均可以是0吗？等比数列呢？(2)常数列是等差数列吗？是等比数列吗？(3)是否存在既是等差数列又是等比数列的数列？(4)q>0时，等比数列各项的符号有何特点？q<0时呢？常数列是等差数列，公差为0；非零常数列是等比数列，公比为1.非零常数列既是等差数列又是等比数列，公差为0，公比为1.q>0时，等比数列各项符号和首项a1保持一致；q<0时，等比数列各项符号正负间隔，奇数项和偶数项分别同号。等差中项

等比中项

如果三个数a,A,b组成等差数列，那么A叫做a和b的等差中项.

如果三个数a,G,b组成等比数列，那么G叫做a和b的等比中项.定义a,A,b成等差数列a,G,b成等比数列关系注意：若a,b同号,则有两个等比中项;若a,b异号,则无等比中项.探究：类比等差中项的概念，你能抽象出等比中项的概念吗？（2020年宣城期末）已知三个数4，x，16成等比数列，则x=()

A.±8

B.8

C.±4

D.4已知各项均为正数的等比数列{an}满足a1a5=16，a2=2，则a1=__________________,公比q=______________.（2020年内江期末）已知数列{an}的通项为an=2n-3，若a3，a6，am成等比数列，则m=()

A.9

B.12

C.15

D.18探究3：类比等差数列的通项公式，你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？等差数列

等比数列

累乘法累加法等差数列

等比数列

所以

设一个等比数列的公比为．根据等比数列的定义，可得

即

．

左右两侧分别依次相乘

化简得到

．

累乘法课本P31练习22.已知{an}是一个公比为q的等比数列，在下表中填上适当的数.

解法1：②的两边分别除以①的两边，得

解得

①②解法2：

所以

变式练习：若48和12分别是第4项和第8项，求第6项.注意：等比中项还要关注项的关系，奇数项的符号相同，偶数项的符号相同.

解：由题意，得

①②②的两边分别除以①的两边，得

所以

在等比数列{an}中，已知a3=9，a6=243，求a5.课本P31练习33.在等比数列{an}中，a1a3=36，a2+a4=60．求a1和公比q.

（2020年成都期中）已知等比数列{an}中，a1=1，a2a12=2a7+3，则a13=()

A.36

B.9

C.12

D.18（2021年重庆模拟）若等比数列{an}满足a2a4=a5，a4=8，则a6=()

A.16

B.32

C.64

D.128

解：

所以这个数列是20,40,80,96,112或180,120,80,16，-482.与等比数列有关的数的设元技巧：(1)如果是三个数成等比数列，可设为

，a，aq【归纳总结】对称设元法(2)如果是四个数成等比数列，可设为

，，aq，aq31.与等差数列有关的数的设元技巧：(1)如果是三个数成等差数列，可设为a-d，a，a+d(2)如果是四个数成等差数列，可设为a+2d，a-d，a+d，a+2d

已知等比数列{an}中，a1+a2+a3=7，a1a2a3=8，求an.报纸能比泰山高吗？泰山:1545m(1)假设我们有一张足够大的报纸.(设报纸厚度是a米).先把报纸对折一次,这时纸张的厚度是报纸单页的2倍.即2a米我们做个折纸实验(2)我们再将报纸对折一次,纸张的厚度变为:4a米即22a米第三次再对折后报纸的厚度是:8a米即23a米折纸实验

(3) 三次折叠,报纸厚度分别是:22a米,23a米,24a米我们猜想,继续这样折叠,报纸的厚度会是一组等比数列:22a,23a,24a,25a,26a,27a…(4)假设报纸的单页厚度约为0.1毫米，需要折叠几次才能比泰山高呢？折纸实验指数型函数思考：类比指数函数的性质，判断公比q>0的等比数列的单调性？探究：类比等差数列与一次函数的关系，等比数列可以与哪类函数建立关系？qq>10<q<1a1>0a1<0q=1a1探究：类似于等差数列与一次函数的关系，等比数列可以与哪类函数建立相似的关系？

等比数列的第项是指数函数当时的函数值，即．

等比数列的序号和项对应的点是指数函数图像上一系列离散的点。(4)可以测得报纸的单页厚度约为0.1毫米(即a=0.0001m),当我们把报纸折叠了21次,此时的厚度是: