【课件】6.1平面向量的概念高一下学期人教A版2019必修第二册课件

第六章平面向量及其应用6.1平面向量的概念必备知识·自主学习导思1.什么是向量?如何表示向量?2.有哪些特殊向量?3.什么是相等向量、平行向量?1.向量与数量的概念(1)既有大小又有_____的量叫做向量.(2)只有大小没有_____的量叫做数量.2.有向线段(1)定义:具有_____的线段叫做有向线段.(2)表示方法:以A为起点、B为终点的有向线段记作.(3)长度:线段AB的长度也叫做有向线段的长度,记作_____.(4)三个要素:_____、方向、长度.方向方向方向起点【思考】向量与有向线段的联系和区别是什么?提示:(1)有向线段是表示向量的一种图形.(2)向量只有大小和方向两个要素,与起点无关,只要大小和方向相同,这两个向量就是相同的向量.(3)有向线段有起点、长度和方向三个要素,起点不同,尽管长度和方向相同,也是不同的有向线段.3.向量的表示方法(1)用有向线段表示:用有向线段表示的向量记作____.有向线段的长度||表示向量的_____,有向线段的方向表示向量的_____.(2)字母表示法:在印刷时,用黑体小写字母a,b,c,…表示向量,手写时,可写成带箭头的小写字母….大小方向4.向量的模及两个特殊向量(1)向量的模:向量的大小称为向量的长度(或称模),记作______.(2)零向量:长度为___的向量叫做零向量,记作__.(3)单位向量:长度等于__个单位长度的向量,叫做单位向量.零01【思考】0与0相同吗?0是不是没有方向?提示:0与0不同,0是一个实数,0是一个向量,且|0|=0.0有方向,其方向是任意的.5.相等向量(1)定义:长度_____且方向_____的向量叫做相等向量.(2)表示方法:向量a与b相等,记作____.相等相同a=b6.平行向量(或共线向量)(1)定义和表示方法定义方向_____或_____的非零向量叫做平行向量.规定:_______与任意向量平行.任一组平行向量都可以平移到同一条直线上,因此,平行向量也叫做_____向量.表示方法向量a与b平行,记作_____对于任意向量a,都有0∥a.相同相反零向量共线a∥b(2)本质:平行向量反映的是两个向量的方向关系,表示两个共线向量的有向线段所在直线可以平行,也可以重合.(3)应用:①证明直线与直线平行;②证明三点共线.【思考】“向量平行”与“几何中的平行”一样吗?提示:向量平行与几何中的直线平行不同,向量平行包括所在直线重合的情况,故也称向量共线.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)两个向量能比较大小. (

)(2)任意两个单位向量都相等. (

)(3)向量与向量是相等向量. (

)(4)若则A,B,C,D四点是平行四边形的四个顶点. (

)××××提示:(1)×.两个向量不能比较大小.(2)×.任意两个单位向量只是长度相等,方向不一定相同,故不一定相等.(3)×.向量与向量方向相反,不是相等向量.(4)×.若则A,B,C,D也可能落在同一条直线上.2.下列物理量:①质量;②速度;③位移;④力;⑤加速度;⑥路程;⑦密度.其中不是向量的有 (

)

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【解析】②③④⑤既有大小,又有方向,是向量;①⑥⑦只有大小,没有方向,不是向量.C3.(例题改编)如图所示,四边形ABCD和BCEF都是平行四边形.

(1)写出与相等的向量:

;

(2)写出与共线的向量:

.

答案:(1)关键能力·合作学习类型一向量的概念、零向量与单位向量(数学抽象)例1.(1)下列说法中正确的是 (

)A.0与0表示的含义相同B.长度为0的向量都是零向量C.单位向量的模等于1cmD.单位向量的方向都相同B(2).判断下列说法是否正确.(1)有向线段与表示同一向量;(2)若a是单位向量,b也是单位向量,则a与b的方向相同或相反;(3)若向量是单位向量,则也是单位向量;(4)以坐标平面上的定点A为起点,所有单位向量的终点P的集合是以A为圆心的单位圆.【解析】1.0与0表示的含义是不同的.0表示数量,但0表示零向量,其中|0|=0.因此A错误;由零向量的定义知B正确;单位向量的模等于1个单位长度,而不是具体的1cm,因此C错误;单位向量的方向要因具体情况而定,因此D错误.2.(1)错误.有向线段与的方向相反,不表示同一向量,因此说法(1)错误;(2)错误.由单位向量的定义知,凡长度为1的向量均称为单位向量,但是对方向没有任何要求,因此说法(2)错误;(3)正确.因为||=||,所以当是单位向量时,也是单位向量.因此说法(3)正确.(4)正确.由于向量||=1,所以点P是以点A为圆心的单位圆上的一点.【解题策略】1.判断一个量是否为向量的两个关键条件(1)有大小.(2)有方向.两个条件缺一不可.2.理解零向量和单位向量应注意的问题(1)零向量的方向是任意的,所有的零向量都相等.(2)单位向量不一定相等,易忽略向量的方向.提醒:两个单位向量的模相等,但这两个单位向量不一定相等.【变式训练】给出下列说法:①零向量是没有方向的;②零向量的长度为0;③零向量的方向是任意的;④单位向量的模都相等.其中正确的是

(填序号).

②③④【解析】由零向量的方向是任意的,知①错误,③正确;由零向量的定义知②正确;由单位向量的模是1,知④正确.类型二相等向量与共线向量(数学抽象)角度1概念辨析

例2

有下列说法:①若a≠b,则a一定不与b共线;②在▱ABCD中,一定有③若a=b,b=c,则a=c;④共线向量是在一条直线上的向量.其中,正确的说法是

.(填序号)

②③【思路导引】依据相等向量和共线向量的定义逐个判断.要特别注意向量共线与平面几何中多点共线的区别.【解析】对于①,两个向量不相等,可能是长度不相等,但方向相同或相反,所以a与b有共线的可能,故①不正确;对于②,在▱ABCD中,

平行且方向相同,所以,故②正确;对于③,a=b,则|a|=|b|,且a与b方向相同;b=c,则|b|=|c|,且b与c方向相同,所以a与c方向相同且模相等,故a=c,故③正确;对于④,共线向量可以是在一条直线上的向量,也可以是所在直线互相平行的向量,故④不正确.答案:②③【变式探究】将本例③改为若a∥b,b∥c,则a∥c.判断此说法是否正确.【解析】因为当b=0时,a,c可以是任意向量,故a,c不一定平行;只有当b≠0时,才有a∥b,b∥c,则a∥c.角度2写出相等向量或平行向量

例3

如图所示,O为正方形ABCD对角线的交点,四边形OAED,OCFB都是正方形.在图中所示的向量中:(1)分别写出与,相等的向量;(2)写出与共线的向量.【思路导引】(1)找与(或)长度相等且方向相同的向量;(2)找与方向相同或相反的向量.【解析】(1)因为的方向相同,所以与相等的向量是同理,与相等的向量是(2)因为AO∥DE∥BF,A,O,C三点共线,所以与共线的向量是【解题策略】1.相等向量的判断方法先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量,再确定哪些是同向的.2.共线向量的判断方法先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段,再构造同向或反向的向量.3.共线向量与相等向量的关系相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定是相等向量.若两向量相等,则两向量方向相同,模相等;若两向量共线,则两向量方向相同或相反.【题组训练】1.给出以下5个条件:①a=b;②|a|=|b|;③a与b的方向相反;④|a|=0或|b|=0;⑤a与b都是单位向量.其中能使a∥b成立的是

.(填序号)

【解析】相等向量一定是共线向量,①能使a∥b;方向相同或相反的向量一定是共线向量,③能使a∥b;零向量与任一向量平行,④成立.答案:①③④2.如图,四边形ABCD是平行四边形,四边形ABDE是矩形.

(1)找出与相等的向量.(2)找出与共线的向量.【解析】(1)由四边形ABCD是平行四边形,四边形ABDE是矩形知,与的长度相等且方向相同,所以与相等的向量为.(2)由题干图可知,与方向相同,与方向相反,所以与共线的向量有【变式训练】1.下列说法中,正确的序号是

.

①零向量都相等;②任一向量与它的平行向量不相等;③若④共线的向量,若始点不同,则终点一定不同.①③【解析】因为零向量的长度都为零,且其方向任意,所以零向量相等,所以①正确;因为平行向量的方向可以相同且大小也可以相等,所以任一向量与它的平行向量可能相等,所以②错误;由方向相同,模相等,可推出方向相同,模相等,即,所以③正确;由共线向量的定义可知:共线的向量,始点不同,终点可能相同,所以④不正确.2.如图,以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中:(1)写出与相等的向量;(2)写出与模相等的向量.【解析】(1)与相等的向量为相等的向量为.(2)与模相等的向量为类型三向量的表示与应用(直观想象)例4

1.若则四边形ABCD的形状为

.

2.一辆汽车从A点出发向西行驶了100km到达B点,然后改变方向向北偏西40°行驶了200km到达C点,最后又改变方向,向东行驶了100km到达D点.(1)作出向量(2)求||.【思路导引】1.判断直线AB与直线CD的位置关系、线段AB与线段CD的长度关系,即可判断四边形ABCD的形状.2.(1)根据题意作出向量即可.(2)先证四边形ABCD为平行四边形,再求||.【解析】1.由题意知四边形ABCD的一组对边BA∥CD,BA≠CD,故四边形为梯形.答案:梯形2.(1)向量如图所示:

(2)由题意,易知方向相反,故共线,又所以在四边形ABCD中,AB∥CD,AB=CD.所以四边形ABCD为平行四边形.所以【解题策略】1.准确画出向量的方法和注意事项(1)方法①确定向量的起点.②根据运动方向确定向量的方向,并根据向量的大小确定向量的终点.(2)注意事项用有向线段来表示向量是向量的几何表示,必须确定起点、长度和终点,三者缺一不可.2.向量的常见应用(1)相等向量的应用利用向量的相等,可以证明线段相等或直线平行,但在证明直线平行时需说明两向量所在的直线无公共点.(2)平行向量的应用用平行向量可以证明直线平行和三点共线,证明直线平行时需说明两向量所在的直线无公共点.【跟踪训练】如图所示,在四边形ABCD中,,N,M分别是AD,BC上的点,且求证:【证明】因为且AB∥CD,所以四边形ABCD是平行四边形.所以且DA∥CB.又因为的方向相同,所以同理可证四边形CNAM是平行四边形,所以因为所以,DN∥MB,即的模相等且方向相同,所以【变式训练】如图所示的方格由若干个边长为1的小正方形并在一起组成,方格中有定点A,点C为小正方形的顶点,且画出所有的向量.【解析】画出所有的向量,如图:平面向量的概念1.向量及向量的有关概念、表示方法.2.零向量：长度为0的向量。单位向量：长度等于1个单位长度的向量.3.平行向量（共线向量）和相等向量.1.寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线的向量．2.寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量．1.与起点无关.用有向线段表示向量时,起点可以取任意位置.2.判断一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个因素.3.向量与向量之间不能比较大小.4.零向量与任何向量都平行.1.数学抽象：平面向量的概念.2.逻辑推理：区分平行向量、相等向量和共线向量.3.直观想象：向量的几何表示.核心知识方法总结核心素养易错提醒课堂检测·素养达标1.下列说法中正确的是 (

)A.若a≠b,则|a|≠|b|B.模为0的向量的方向是不确定的C.向量就是有向线段D.任意两个单位向量的方向相同【解析】选B.a与b方向不同但模相等时,a≠b,故A错误;模为0的向量为零向量,零向量的方向是不确定的,B正确;有向线段是向量的几何表示,是个图形,