【课件】4.2.1　第1课时　等差数列的概念及通项公式-人教A版（2019）选择性必修第二册课件(共30张PPT)

4.2.1等差数列的概念第1课时等差数列的概念及通项公式激趣诱思知识点拨姚明是大家都熟悉的篮球运动员,下面是姚明刚进NBA一周训练时投球的个数:第一天6000,第二天6500,第三天7000,第四天7500,第五天8000,第六天8500,第七天9000.得到数列:6000,6500,7000,7500,8000,8500,9000.你发现这个数列有什么特点了吗?激趣诱思知识点拨一、等差数列一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示.名师点析等差数列概念的理解(1)定义中强调“从第2项起”,因为第1项没有前一项.(2)每一项与它的前一项的差必须是同一个常数(因为同一个常数体现了等差数列的基本特征).(3)公差d是每一项(从第2项起)与它的前一项的差,不要把被减数与减数弄颠倒.(4)公差可以是正数、负数、零.(5)等差数列的增减性与公差d的关系:当d>0时,是递增数列;当d<0时,是递减数列;当d=0时,是常数列.激趣诱思知识点拨微练习判断下列各组数列是不是等差数列.如果是,写出首项a1和公差d.①1,3,5,7,9,…;②9,6,3,0,-3,…;③1,3,4,5,6,…;④7,7,7,7,7,…;解:①是,a1=1,d=2;②是,a1=9,d=-3;③不是;④是,a1=7,d=0;⑤不是.激趣诱思知识点拨二、等差中项由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列.这时,A叫做a与b的等差中项.这三个数满足关系式2A=a+b.微练习若a,b是方程x2-2x-3=0的两根,则a,b的等差中项为(

)答案:C激趣诱思知识点拨三、等差数列的通项公式首项为a1,公差为d的等差数列{an}的通项公式为an=a1+(n-1)d.名师点析(1)等差数列的通项公式是关于三个基本量a1,d和n的表达式,所以由首项a1和公差d可以求出数列中的任意一项.(2)等差数列的通项公式可以推广为an=am+(n-m)d,由此可知,已知等差数列中的任意两项,就可以求出其他的任意一项.激趣诱思知识点拨微练习(1)等差数列{an}:5,0,-5,-10,…的通项公式是

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(2)若等差数列{an}的通项公式是an=4n-1,则其公差d=

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解析:(1)易知a1=5,d=-5,所以an=5+(n-1)·(-5)=10-5n.(2)公差d=an-an-1=(4n-1)-[4(n-1)-1]=4.答案:(1)an=10-5n

(2)4探究一探究二探究三素养形成当堂检测等差数列的通项公式及其应用例1(1)已知数列{an}是首项为2,公差为4的等差数列,若an=2022,则n=(

)A.504 B.505C.506 D.507(2)在等差数列40,37,34,…中,第一个负数项是(

)A.第13项 B.第14项C.第15项 D.第16项(3)在等差数列{an}中,若a3=12,a6=27,则其通项公式为

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分析:(1)与(2)均可先求通项公式,再利用通项公式解决相应问题;(3)可根据已知条件建立关于a1和d的方程组,求得a1和d即可得到通项公式.探究一探究二探究三素养形成当堂检测解析:(1)根据题意,数列{an}是首项为2,公差为4的等差数列,则an=a1+(n-1)d=4n-2,若an=2

022,则有4n-2=2

022,解得n=506.(2)首项a1=40,公差d=-3,所以an=40-3(n-1)=43-3n.答案:(1)C

(2)C

(3)an=5n-3探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟等差数列通项公式的求法与应用技巧1.等差数列的通项公式可由首项与公差确定,所以要求等差数列的通项公式,只需求出首项与公差.2.等差数列{an}的通项公式an=a1+(n-1)d中共含有四个参数,即a1,d,n,an,如果知道了其中的任意三个数,那么就可以由通项公式求出第四个数,这一求未知量的过程,我们通常称之为“知三求一”.3.通项公式可变形为an=dn+(a1-d),可把an看作自变量为n的一次函数.探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练1在等差数列{an}中,求解下列各题:探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测等差中项及其应用例2(1)若等差数列的前三项分别为a,2a-1,3-a,求其第2020项;(2)在-1和7之间插入三个数a,b,c,使这五个数成等差数列,求这三个数.分析:(1)先根据条件求出通项公式,再代入求解;(2)先根据等差中项求出b,再依次利用等差中项求出a,c.探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟等差中项的应用策略1.求两个数x,y的等差中项,根据等差中项的定义得2.证明三项成等差数列,只需证明中间一项为两边两项的等差中项即可,即若a,b,c成等差数列,则a+c=2b;反之,若a+c=2b,则a,b,c成等差数列.探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测等差数列的判断与证明例3判断下列数列是否为等差数列.(1)在数列{an}中,an=3n+2;(2)在数列{an}中,an=n2+n.分析:根据等差数列的定义,判断an+1-an是否为常数.解:(1)an+1-an=3(n+1)+2-(3n+2)=3(n∈N*),故该数列为等差数列.(2)an+1-an=(n+1)2+(n+1)-(n2+n)=2n+2,故该数列不是等差数列.探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟用定义法判定(或证明)数列{an}是等差数列的基本步骤为:(1)作差an+1-an.(2)对差式进行变形.(3)当an+1-an是一个与n无关的常数时,数列{an}是等差数列;当an+1-an不是常数,而是与n有关的代数式时,数列{an}不是等差数列.探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练3已知数列{an}中,a1=a2=1,an=an-1+2(n≥3).(1)判断数列{an}是否为等差数列,并说明理由;(2)求{an}的通项公式.解:(1)当n≥3时,an=an-1+2,即an-an-1=2,而a2-a1=0不满足an-an-1=2(n≥3),∴{an}不是等差数列.(2)当n≥2时,an是等差数列,公差为2.当n≥2时,an=1+2(n-2)=2n-3,又a1=1不适合上式,探究一探究二探究三素养形成当堂检测(1)求证:数列{bn}是等差数列;(2)求数列{an}的通项公式.分析:先用an表示bn+1,bn,再验证bn+1-bn为常数,最后可求出数列{an}的通项公式.探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟判断等差数列的方法(1)定义法:an+1-an=d(n∈N*)或an-an-1=d(n≥2,且n∈N*)⇔数列{an}是等差数列.(2)等差中项法:2an+1=an+an+2(n∈N*)⇔{an}为等差数列.(3)通项公式法:数列{an}的通项公式an=pn+q(p,q为常数)⇔数列{an}为等差数列.注意:(1)通项公式法不能作为证明方法.(2)若an+1-an为常数,则该常数为等差数列{an}的公差;若an+1-an=an-an-1(n≥2,且n∈N*)成立,则无法确定等差数列{an}的公差.(3)若数列的前有限项成等差数列,则该数列未必是等差数列;而要否定一个数列是等差数列,只要说明其中连续三项不成等差数列即可.(4)已知数列的递推公式求数列的通项时,要通过对递推公式进行合理变形,构造出等差数列求通项.探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测对称法设项典例成等差数列的四个数之和为26,第2个数和第3个数之积为40,求这四个数.方法点睛题中是已知四个数成等差数列,则采用“对称法”设项,这样可以减少计算量,因此要记住奇数个数或偶数个数成等差数列的“对称法设项”的方法,以达到快速求解的目的.探究一探究二探究三素养形成当堂检测1.已知数列{an}的通项公式an=2n+5,则此数列(

)A.是公差为2的等差数列B.是公差为5的等差数列C.是首项为5的等差数列D.是公差为n的等差数列解析:∵an+1-an=2(n+1)+5-(2n+5)=2,∴数列{an}是公差为2的等差数列.答案:A探究一探究二探究三素养形成当堂检测答案:D3.在数列{an}中,a1=2,an+1=an+2,则a20=(

)A.38 B.40 C.-36 D.-38解析:∵an+1=an+2,∴an+1-an=2,∴数列{an}是公差为2的等差数列.∵a1=2,∴a20=2+(20-1)×2=40.答案:B探究一探究二探究三素养形成当堂检测4.若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5,则m和n的等差中项为

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解析:由m和2n的等差中项为4,得m+2n=8.又由2m和n