【公开课】函数的奇偶性（课件） (人教A版2019 必修第一册)

第三章函数的基本性质3.2.2奇偶性教材分析本小节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A版（2019）第三章《函数的概念与性质》的第二节《函数的基本性质》。以下是本章的课时安排：第一节第二节第三节第四节课时内容函数的概念及其表示函数的基本性质幂函数函数的应用（一）所在位置教材第60页教材第76页教材第89页教材第93页新教材内容分析以初中已学的函数知识和二次函数为基础，通过四个实例的归纳、概括，抽象出函数的“集合--对应说”，并用抽象符号表示函数；通过典型例题训练学生选择适当的方法表示函数，并通过例题引入分段函数并进行简单应用.教材用代数运算和函数图象研究函数的单调性、奇偶性、最大（小）值，体现了研究数学性质的一般思路；在研究方法上，加强了通过代数运算和图象直观解释函数性质的引导和明示，为提升学生的抽象思维水平奠定基础.在初中已学习的正比例、反比例、二次函数等基础上，通过实例引导学生归纳共性、抽象出概念；借助幂函数这一类函数的研究，使学生理解研究函数的内容、基本思路和方法，引导学生从不同的角度理解函数的概念.利用函数的概念及其蕴含的数学思想方法解决简单的实际问题，包括研究已知解析式或图象的函数的性质，以及简单的建模问题，使学生螺旋上升地认识已有函数，同时巩固函数概念.核心素养培养通过观察实例，理解函数的概念，体现了数学抽象的核心素养；通过作出函数的图象以及图象的应用，提升直观想象的核心素养.通过实例，引导学生归纳概括出用严格的数学语言精确刻画单调性的方法，为提升数学运算、直观想象奠定了基础.通过幂函数概念的学习，强化了数学抽象；通过幂函数图象与性质的学习，提升直观想象与数学运算的核心素养.通过实例，了解函数在实际生活中的应用，促进学生数学抽象的核心素养；根据实际问题构造函数模型解决问题，体现了数学建模的核心素养.教学主线函数的图象学习目标

1、理解函数的奇偶性及其几何意义，培养数学抽象的核心素养；2、学会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性，提升直观想象的核心素养；3、学会判断函数的奇偶性，强化逻辑推理的核心素养；4.在具体问题情境中，运用数形结合思想，利用奇偶性解决函数性质的总个问题，提升数学运算的核心素养。重点、难点重点：函数奇偶性概念的形成和函数奇偶性的判断；难点：函数奇偶性概念的探究与理解．（一）新知导入1.创设情境，生成问题在我们的日常生活中，随时随处可以看到许许多多对称的现象，例如，六角形的雪花晶体、建筑物和它在水中的倒影等等.【探究1】上述提到的图形对称指的是“整个图形对称”还是“图形的部分对称”？【提示】整个图形对称.【探究2】哪个图形是轴对称图形？哪个图形是中心对称图形？【提示】①是中心对称图形，②是轴对称图形.（一）新知导入2.探索交流，解决问题(1)观察下列两个函数的图象,【提示】从图象上可以看出,它们的图象都是关于y轴成轴对称的.【思考1】它们的图象有什么共同特征?【思考2】上述特征能否用数量间的关系来体现?试着填下表:x-3-2-10123

【思考3】通过上面对应值表你发现了什么?【提示】当自变量x取一对相反数时,相应的两个函数值相等.这是偶函数。94101493210123（一）新知导入2.探索交流，解决问题(2)观察下列两个函数的图象,【提示】从图象上可以看出,它们的图象都是关于原点成中心对称的.【思考1】它们的图象有什么共同特征?【思考2】上述特征能否用数量间的关系来体现?试着填下表:x-3-2-10123

【思考3】通过上面对应值表你发现了什么?【提示】当自变量x取一对相反数时,相应的两个函数值也是一对相反数.这是奇函数。-3-2-10123---11（二）函数的奇偶性

偶函数、奇函数定义(1)一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且，那么函数f(x)就叫做偶函数.(2)一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且，那么函数f(x)就叫做奇函数.奇偶函数的图象特征偶函数的图象关于对称，反之成立．奇函数的图象关于对称，反之成立．f(－x)＝f(x)f(－x)＝－f(x)y轴原点（二）函数的奇偶性【做一做】判断下列函数的奇偶性（1）（2）f（3）f（4）【辩一辩】(1)对于函数y=f(x),若存在x,使f(-x)=-f(x),则函数y=f(x)一定是奇函数.()(2)不存在既是奇函数,又是偶函数的函数.()(3)若函数的定义域关于原点对称,则这个函数不是奇函数,就是偶函数.()【提示】偶函数奇函数奇函数偶函数×××（三）函数奇偶性的判断例1.判断下列函数的奇偶性：[解析](1)∵f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(－x)＝＋2＝＋2＝f(x)，∴f(x)为偶函数．(2)∵f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，它关于原点对称，又f(－x)＝＋＝－＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．(3)∵f(x)的定义域为{－1,1}，是两个具体数，但它关于原点对称，又f(－1)＝f(1)＝0，f(－1)＝－f(1)＝0，∴f(x)＝既是奇函数，又是偶函数．(1)(3)(4)(5)（三）函数奇偶性的判断(4)函数f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．①当x＞0时，－x＜0，则f(－x)＝＋3－1＝－＋3－1＝－(31)＝－f(x)．②当x＜0时，－x＞0，则f(－x)＝31＝－－3＋1＝－(＋3－1)＝－f(x)．由①②知，当x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)时，都有f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．(5)由题设得∴函数f(x)定义域为[－1,0)∪(0,1]，关于原点对称,且x＋2>0，∴|x＋2|＝x＋2，∴f(x)＝＝＝，∴f(－x)＝＝－＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．（三）函数奇偶性的判断

【类题通法】1.函数奇偶性的判定方法：(1)定义法：若函数的定义域不是关于原点对称的对称区域，则该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的对称区域，再判断f(－x)是否等于±f(x)，或判断f(x)±f(－x)是否等于零，或判断是否等于±1等．(2)图象法：奇(偶)函数的等价条件是它的图象关于原点(y轴)对称．(3)性质法：设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．（三）函数奇偶性的判断

2.用定义判断函数奇偶性的一般步骤：①求函数的定义域，并判断定义域是否关于原点对称．②用－x代x，验证是否有f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)，若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数；若f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数；若f(－x)＝－f(x)，且f(－x)＝f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数；若f(－x)≠f(x)，且f(－x)≠－f(x)，则f(x)为非奇非偶函数．【类题通法】（三）函数奇偶性的判断【巩固练习1】判断下列函数的奇偶性：[解析](1)函数的定义域为R.∵f(－x)＝＋＝－(＋)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．(2)f(x)的定义域是R.∵f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f(x)，∴f(x)是偶函数．(3)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数．（1）（2）(3)（四）奇偶函数的图象例2.已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示．(1)请补出完整函数y＝f(x)的图象；(2)根据图象写出函数y＝f(x)的增区间；(3)根据图象写出使f(x)＜0的x的取值集合．[解析](1)由题意作出函数图象如图：(2)据图可知，单调增区间为(－1,0)，(1，＋∞)．(3)据图可知，使f(x)＜0的x的取值集合为(－2,0)∪(0,2)．（四）奇偶函数的图象

【类题通法】1．巧用奇偶性作函数图象的步骤(1)确定函数的奇偶性；(2)作出函数在[0，＋∞)(或(－∞，0])上对应的图象；(3)根据奇(偶)函数关于原点(y轴)对称得出在(－∞，0](或[0，＋∞))上对应的函数图象．2．奇偶函数图象的应用类型及处理策略(1)类型：利用奇偶函数的图象可以解决求值、比较大小及解不等式问题．(2)策略：利用函数的奇偶性作出相应函数的图象，根据图象直接观察．（四）奇偶函数的图象【巩固练习2】定义在[－3，－1]∪[1,3]上的函数f(x)是奇函数，其部分图象如图所示．(1)请在坐标系中补全函数f(x)的图象；(2)比较f(1)与f(3)的大小．(1)由于f(x)是奇函数，则其图象关于原点对称，其图象如图所示．(2)观察图象，知f(3)<f(1)．【解析】（五）已知函数奇偶性求函数解析式例2.(1)已知y＝f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝－2x，求f(x)在R上的解析式．[解析](1)设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝－2(－x)＝＋2x.又y＝f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝＋2x(x<0)．∴f(x)＝(2)若f(x)是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f(x)＝x(2－x)，求函数f(x)的解析式．[解析](2)∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0.设x＞0时，则－x＜0，则f(－x)＝－x(2＋x)＝－f(x)，∴f(x)＝x(x＋2)．故f(x)＝（五）已知函数奇偶性求函数解析式【类题通法】利用函数奇偶性求函数解析式的步骤(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设；(2)转化到已知区间上，代入已知的解析式；(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．【巩固练习2】已知f(x)为R上的奇函数,当x>0时,f(x)=(1)求f(-1);(2)求f(x)的解析式.(1)因为函数f(x)为奇函数,所以(2)当x<0时,-x>0,则.由于f(x)是奇函数,则所以当x=0时,则,即.所以f(x)的解析式为[解析]（六）已知奇偶性求值或参数

例4.(1)若函数f(x)＝a＋(b－1)x＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＋b＝________.(2)设f(x)是定义在R上的奇函数，且x≥0时，f(x)＝＋2x＋b，则f(－1)＝________.(3)已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于________．【解析】(1)因为定义域[a－1,2a]关于原点对称，所以(a－1)＋2a＝0.解得a＝.所以f(x)＝＋(b－1)x＋1＋b.又因为f(－x)＝f(x)，所以－(b－1)x＋1＋b＝＋(b－1)x＋1＋b.由对应项系数相等得－(b－1)＝b－1.所以b＝1.所以a＋b＝＋1＝.(2)∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝b＝0，∴f(x)＝＋2x(x≥0)，∴f(－1)＝－f(1)＝－(1＋2)＝－3.(3)两式相加得[答案](1)(2)－3(3)3（六）已知奇偶性求值或参数【类题通法】利用函数奇偶性求参数值的方法(1)此类问题应充分运用奇(偶)函数的定义，构造函数，从而使问题得到快速解决．(2)在定义域关于原点对称的前提下，若解析式中仅含有x的奇次项，则函数为奇函数；若解析式中仅含有x的偶次项，则函数为偶函数，常利用此结论构造函数．(3)利用奇偶性求参数值时，应根据x∈R等式恒成立的特征求参数【巩固练习2】1．已知f(x)＝＋a＋bx－8，若f(－3)＝10，则f(3)＝()A．26 B．18C．10 D．－262．已知函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，且＝，求函数f(x)的解析式．（六）已知奇偶性求值或参数

（1）由已知条件，得①＋②得f(3)＋f(－3)＝－16，又f(－3)＝10，∴f(3)＝－26.（2）∵f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，∴f(0)＝0，即＝0，∴b＝0，∴f(x)＝.又∵＝＝a＝，∴a＝1，∴函数f(x)的解析式为f(x)＝.[解析][答案]D（七）单调性与奇偶性的综合应用

例4.（1）设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是()A．f(π)>f(－3)>f(－2)B．f(π)>f(－2)>f(－3)C．f(π)<f(－3)<f(－2)D．f(π)<f(－2)<f(－3)（2）设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上是减函数，若f(1－m)＜f(m)，求实数m的取值范围．（2）因为f(x)是奇函数且f(x)在[0,2]上是减函数，所以f(x)在[－2,2]上是减函数．所以不等式f(1－m)＜f(m)等价于解得－1m＜.（1）因为函数f(x)为R上的偶函数，所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2)．又当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，且π>3>2，所以f(π)>f(3)>f(2)，故f(π)>f(－3)>f(－2)．【解析】【答案】A（七）单调性与奇偶性的综合应用

【类题通法】奇偶性与单调性综合问题的2种类型(1)比较大小：看自变量是否在同一单调区间上①在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；②不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小．(2)解不等式①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f()<f()或f()>f()的形式；②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上单调性相反，脱掉不等式中的“f”转化为简单不等式求解．（七）单调性与奇偶性的综合应用【巩固练习4】（1）已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足的x的取值范围为()A. B.C. D.（2）已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数．若f(－3)＝0，则<0的解集为________．（七）单调性与奇偶性的综合应用(1)由于f(x)为偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则不等式，等价于即－<2x－1<，解得<x<.(2)∵f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数，∴f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数．∴f(3)＝f(－3)＝0