【课件】基本不等式第2课时高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

2.1基本不等式

第2课时

基本不等式的应用1

复习与回顾

1.什么是基本不等式？基本不等式中的等号在什么条件能成立？2.基本不等式的代数特征是怎样的，如何从几何图形上进行解释？基本不等式的常见变形：

代数特征：

两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数，当且仅当这两个正数相等时，二者相等.

几何解释：

圆O的半弦CD不大于圆的半径OD，当且仅当C与圆心O重合时，二者相等。3.用基本不等式求最值的条件是什么？什么样的代数式可以用基本不等式求最值？一正二定三相等(1)a、b要同为正数；(2)求a+b的最值时,ab应为定值

;

求ab的最值时,a+b应为定值；(3)当a=b时,

由以上可知，若代数式可以化为两正数之和且积为定值的形式，或是两正数之积且和为定值的形式，并在这两正数可以取得相等时，就可以用基本不等式来求其最值。

接下来我们就来学习一下如何用基本不等式来求代数式的最值。

例1.(1)用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园，当这个矩形的边长各为多少时，所用篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少？解：

思考1：我们若设相邻的两边长分别为xm和ym，则本题中什么值是定值，什么值是不能确定的？

探究新知(一)

思考2：本题中我们要解决的问题可以转化上一节中的哪一种类型？xy两邻边的积xy是一个定值，周长2x+2y的值

是不确定的.两正数x，y的积xy是定值，求它们和x+y的最小值.设相邻的两边长分别为xm和ym，则

∴当这个矩形的边长均为10m时，所用的篱笆最短，最短的长度40m.

例1.(2)用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？解：

思考3：我们若设相邻的两边长分别为xm和ym，则本题中什么值是定值，什么值是不能确定的？

思考4：本题中我们要解决的问题可以转化上一节中的哪一种类型？xy周长2(x+y)是一个定值，面积xy的值是不确定的.两正数x，y的和x+y是定值，求它们积xy的最大值.设相邻的两边长分别为xm和ym，则

∴当这个矩形的边长均为9m时，菜园的面积最大，最大面积是81m2.

例1.(1)用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园，当这个矩形的边长各为多少时，所用篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少？(2)用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？简析：(1)思考5：若本题我们只设一个未知数，你能解吗？x

例2.某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？

思考1：长方体的体积公式是怎样的？本题中的长方体哪些量是确定的，哪些量是未知的？

思考2：由前面的分析知，水池的总造价是由哪个量来决定的？若设池底相邻的两边分别为xm和ym，你能写出水池的总造价z的表达式吗？

例2.某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？

思考3：本题可以用基本不等式的数学模型求z的最小值吗？为什么？

因为本题中求z的最小值实际上是求两个正数和x+y的最小值，而它们的积xy=1600是定值，所以可以用基本不等式。解：设池底相邻的两边分别为xm和ym，水池的总造价为z元

∴将水池底设计成边长为40m的正方形时总造价最低，最低总造价是2976000元

解：设水池底面一边的长度为xm，水池的总造价为y元，根据题意，得

∴当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元

例2.某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？

思考5：若本题我们只设一个未知数，你能解吗？练习简析：

1.用一段长为30m的篱笆围一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，当这个矩形边长为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？

设矩形平等于墙的边长为am(0<a<18),垂直于墙的边长为bm，则(教材P48练习第2题)简析：

2.做一个体积为32m3，高为2m的长方体纸盒，当底面边长取什么值时，所用的纸最少？设底面相邻的两边长分别为xm和ym，则2∴当底面边长都为4m时，所用的纸最少。(教材P48练习第3题)

探究新知(二)解：(1)解：(2)练习简析：小结1.基本不等式怎样的，什么条件下不等式的等号成立？其常见的变形有哪两个？2.用基本不等式求最值的条件是什么？