自考高等数学一试题与答案

2015年10月高等教育统一命题考试 3l00l50分钟。第一部分为选择题。必须对应试卷上的题号使 铅笔将“答题卡”的相应代码涂黑第二部分为非选择题。必须注明大、小题号，使 毫米黑色字迹签字笔作答一、单项选择题(本大题共l0小题。每小题330分)A．- D. B.x=- C． C．y=1/2 D．y=-1/2f(xf’(x0)=0f(x)x=x0 see B．secC．tan D．tan D.4+e-第一分非选择题 (本大题共5小题，每小题4分，共20分)四、综合题(本大题共4小题，第21、22、23小题各6分，第24小题7分，共25分)计算二重积分，，其中D是由直线x=1、y=1及x轴、y轴所围成的平面区域2015年4月高等教育 3l00l50第一部分为选择题。必须对应试卷上的题号使 铅笔将“答题卡”的相应代码涂黑第二部分为非选择题。必须注明大、小题号，使 毫米黑色字迹签字笔作答一、单项选择题(本大题共l0小题，每小题330分) D.(1，+∞)A．- D. C. 一l B.0 B．- D.- D. B. D.A.(-∞，一1) D.(-∞，+∞)10．设，则f(x)= B．x2 D.二、简单计算题(本大题共5小题，每小题4分，共20：求常数a的值，使函数在x=0处连续四、综合题(本大题共4小题，第21、22、23小题各6分，第24小题7分，共25Q(万件)的总成本函数c(9=5Q+200(TJX=1、x=2y=1、y=2的平面图形为D．高等数学（一）试卷3l00l50分钟。第一部分为选择题。必须对应试卷上的题号使 铅笔将“答题卡”的相应代码涂黑 一、单项选择题(本大题共l0小题，每小题3分，共30分)20144月高等教育 B.ln6- D.ln6 1设函数f(x)可导，且 x,则导数xA.xC.)=f(x,yxyf11)=

B.-D.-1y1C. x

x y

B.xD.x2x函数f(x)=sinx+cosx奇函 B.偶函 y=ln(x2)与 B.y=tan(2x)与x2xy=x

y=x-1

x设函数f(x)=2x2，g(x)=sinx，则当x→0B.f(x)是比g(x)低阶的无穷小量D.f(xg(x)是等价无穷小量 4xa,x<设函数f

x

2x=2处连续，则x 设y=y(x)是由方程xy3=y-1所确定的隐函数，则导数

x0A.- 已知函数y=acosx+1cos2x(其中a为常数)在 处取得极值，则 设函数f(x)=lnxxA.f(x)在(0，+∞)内单调减 B.f(x)在(0，e)内单调减少C.f(x)在(0，+∞)内单调增 D.f(x)在(0，e)内单调增 求极限 设函f(xx=0处可导f(0)=1,f′(x)=2.用导数定义求极限limf(x)1x 12设函数f(x)满足 ，且f(1)=2,求12求曲线y=x3-3x2-1的拐已知极限 x

x=e2，求常数k的值xx求抛物线y=x2上一点，使该点的切线平行于直线y=4x-求极限 ln(1x)x

02

计算二重积分 1dxdy，其中D是由直线y=x，y=1 x=5所围成的平Dyln设D是由抛物线y=1-x2与x轴所围成的平面区域，如图所示.求DxVx.23.(本小题6分) z1 3计算定积分I= 30201310月高等教育 C．e2x

A．y=xsin B．y=xcosC．y=sinx+cos D．y=x(sinx+cos =【Cx3 B．3C．21f(xx

D．2 设函数f(x)=arctan(x2)，则导数f(1)=【C】A．-

B．2 ln(x极限 =【Cx A．-2C．2

f(x)dx g(x)dx f(x)dx=g(x) g(x)dx=f(x)10．设函数z=ln(x2+y2)，则z z=【A】 x

xy 11．已知函数f(x+1)=x2+2x，求f(x)．sin(x2 x0 求函y=ex22x的单调区间．求不定积 11x21求a的值，使得函数f(x)= 2x) x0在x=0处连续a x 求曲线 的水平和铅直渐近线x设z=z(x，y)是由方程z3-3xyz-1=0所确定的隐函数，求偏导数z z 计算定积分I=1e1xdx0求微分方程 0满足初始条件y|=1的特解 计算二重积分 xydxdy，其中D是由直线y=2x、x=l及曲线y=x2围成的平面区域D20137月高等教育20134月高等教育一、单项选择题（5210）A.f(x)为奇函 B.f(x)为偶函 f 设函数f(x)满足f(1)=0,f(1)=2，则 x 设函f(x)在区间[a,b]上可导，且f(x)<0,f(b)>0,则在[a,b]上 C.恒等于 D.有正有微分方程 =0的通解y C. D.1设极限lim(12x) ea，则常数xA.- 1 2

2二、填空题（本大题共10330）

1 35 2n12n1 函数f(x)= 2+ln(5-x)的定义域 q x

+2，则微分 f(x)=asinx1cos3x3

3处取得极值，则常数 曲线y=x3-3x+1的拐点坐标 设f′(x)=1-x,且f(0)=1,则 3x3设函数f(x)在 )上连续，且对任意的x， tf 40，则 2

（设函数

2(xaaaax

x,确定常数a的值，使得f(x)在x=0处连续xln(2

101

求极限x

cosx设函数f(x,y)=xy,求全微分d

ln0

exdx（d2 计算二重积分 xydxdy，其中D是由直线x=0,y=1及y=x所围成的区域Dx设函数f(x)可导，且f(cos ,f(0)=-2,求x某商品的销售量x(吨)与p(万元/吨)满足关系x=35-5p,际1（万元，求该商品获最大利润时的销售量及价格.

设函数f(x)连续，且

xf

tf(t)dt，证

f(t)dt 设函数 x x，贝A. B．x(x-C.(x+1)(x- D．(x-1)x0时函f(xx2limfx)x0 B．2 设函数f 1，则高阶导数f(12) x= x

3 设函数f(x)连续，

tf(t)dt, (x)xA.xf B．aC．-x D．-af二、填空题（本大题共10330）2x设函数 ，则f(x)的定义域 71极限lim 2x2x2 x某商品需求量Q与价格P的函数关系为Q=150-2P2，则P=6时的边际需求 函数 x2在区间［0，1］上满 日中值定理的中 4函数 1在区间［-1,1］上的最小值 3极限 sin x0(1x)ln(1定积

1xcos 1微分方程 y的通解 x xdx C，则 设函数z=esinxy， y（e3cos2x,x讨论函数f 在x=0处的连续性(13x)x,x设函数 earcsinx，求d求不定积 xe-2xdx1,x 设函数f 1，计算定积 1f(x)dx1x,x计算二重积 xdxdy，其中区域D由曲线 1 x2及直线x=2围成 （设函数 ln1 1arctanx2,求 1x dxx求曲线 xe2x的凹凸区间及拐点计算定积 dx设某企业生产一定量的某产品时可用两种原料，第一种为x（千吨，第二种为y（千吨，其电能消耗量 2xy2 4x6y证明当x>0时，arctan x-x32012年10月高等数学（一）试题在区间( )内，下列函数的sin B.xsinC.sinx+cos 1已知极限lim

设函数f(x)二阶可导，则极限limf 2x)f(x0f(x0

Vx

f(x02f(x0 f F(x)C, f(sinx)cos

D.2f(x0A.F(sinx)sin B.f(sinx)sinC.F(sin D.f(sin C.连 D.可二、填空题（本大题共10330） ，则复合函数f[f 11极限limln(1+x) x 1某产品产量为q时总成本

q2,则 100时的边际成本 极限limx1 x1xlnsin曲线 的铅直渐近线 1已知直线l与x轴平行且与曲线 ex相切，则切点坐标 函数f x2)在区间[-1,2]上的最小值 设函数

2tcostdt, (x) 0函数 y2)的定义域 设函数 ey

，则z

（求极限 x sin已知函数f(x)可导，且f a, f(sinx)，求g(0)1设函数 xx 0),求设函数f(x)在区间I上二阶可导，且f 0，判断曲线 ef(x)在区间I上的凹凸性计算不定积 x 1)dx（ln 求函数 的单调区间与极值x求微分方程 0满足初始条件x

1x计算二重积分 ysindxdy,其中区域D由直线 x,x0,y1围成 23过点（1,2）作抛物线 1的切线，设该切线与抛物线及y轴所围的平面区域为D的面D绕xVx设函数f(x)可导，且f(sin sinx,f 0,证明f 1ln 1cos2 2012年4月高等教育一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)函数y=f(x)的图形如图所示，则它的值域为( 1A.C.e

1解：lim x

f f(1设函数f(x)可导，且lim 1，则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为 xxC.-D.-解：f')x

x

f(1)f(1 x

的渐近线的条数为 (x 因为 0，则原曲线有水平渐近线 (x因为 ,则原曲线有竖直渐近线x1(x 1

1

21 1 知识点：-公式二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分2,|x|设函数f ,则f 1,|x|解：f[f(1f33已知lim

e3，则 答案：-Qim

3

33n

e 若级 un的前n项和 n 2n12解： lim lim n 解：d[ef(x) （1，1）y' 由 0解得 因为当x0y"0,当x0y"当x1y"0,当x1y"函数f arctanx在闭区间[-1,1]上的最大值 答案4由fx)

1 1

0解得函数驻点 0,无不可导又f(- -1-，f(0)0，f(1) 所以函数在的最大值是d

2sin2udu 02sind2解

sin2udu2sin 2微分方程x(y 0的阶数是2答案 设 {(x,y)| 4}，则二重积 D解 dxdyD设函数f(x, ln(

y，则偏导数

(0, yfy

三、计算题（一（本大题共5小题，每小题5分，共25分 设函数f ecos，求导数f(x)x 答案

x2sin

2xx

f ex2cos1 2xex2cos 1ex2sin x 1 1 2x 求极限limtanxx

x0sinxlimx0sinx

limx0sinx

sec2x

sec2xx0cosx x0cosxlim2sec2xtan

tan2x2

x0cosx x0cos2

x 221 求函数f 的极值 答案：极大值为f 2，极小值为f 3解：由f 4x (x1)(x 0解得函数驻点为 1,Qf 2xf 2"(3)2 1是函数的极大值点，极大值为f 3是函数的极小值点，极小值为f 3当x1时，fx)0,当1x3时，f(x)0,则x1是函数的极大值点，极大值为f1)2当1x3时，fx)0,当x3时，fx)则x3是函数的极小值点，极小值为f3)3计算无穷限反常积分I

3 6x

dx2解：I 3 6x dx x32arctanx 计算二重积分I 2y)dxdy，其中D是由直线x+y=1及两个坐标轴围成的区域，如图所示D56法一:I (3x2D11

法二:I 2D113x2y05

3x2y05 四、计算题（二（本大题共3小题，每小题7分，共21分3sin x确定常数a,b的值，使函数f 在点x=0处可导aln(1x)b 答案解：Qf'(0)3cos xf x又Qf f lim3sinx=0=f(0)=bxp ；24 pQ'

解：

120.5

24 由R(12 10

12p0.52故p=12是R(P)的最大值点，最大值为22计算定积分I0

dx答案4设x=sint，当 0时 0,当 2时 ,x=sint在 上单调， 2I sin2tcost sec2t1dttantt 224 0cos3 五、应用题（本题9分1设曲线 与直线y=4x,x=2及x轴围成的区域为x 答案 2ln2 1 2

法一 (4x 0)dx2x2 lnx 2ln 12

21

法二：A= )dy+ 2 2

ln 2121V 1 1V2 (4x)0

()1 2六、证明题（本题5分证明：y x y2 Q y2xf'xx2yf'yyzx 2xyf'u 2012年1月2011年10月高等数学（一）试题）A. A.- 曲线y=x3在点（1，1）处的切线斜率为 设函数f ，则f(0) 1A.-B.-） e1 11

11 2已知f(x 1,则f 2 设函数f(x)可导，且y=f(x2)， 1设函y4

x2函数 x x)的单调增加区间 23函数f 12x在[-3,3]上的最大值 32设函数f(x)sinx, 22由曲线 x与直线y=1所围成的平面图形的面积等 2定积

(|x|sin 1设二元函数 xy,则 （ 设函数 , xln(117求极限lim x 1求曲线 e2的凹凸区间2xarctan求不定积 dx1z=z(x,ysinz=xyz所确定的隐函数，求,.求微分方程 xycosx的通解计算定积分

02x02x计算二重积分 (1x2)ydxdy,其中D是由圆x2+y2=1与x轴、y轴所围成的第一象限的区域D设某厂每周生产某产品x吨时的边际成本为C 8（元/吨，固定成本为100元x；六、证明题（本题5分）证明：方程x-2sinx=0一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分函数f(x) ln|x B.(1,+错误!未找到源。)C.[0,+错误!未找到引用源。) sinx B.xsinC. sin D.1cos设函数f(x）在点x处可导，则limf x f(x0) 2f(x

1f(x

Vx

1f(x 2f(x 2函数f(x)= 1的极小值点为 A.x=- B. C.x=错误!未找到源 D.不存 设函数z=1x2y2，则偏导 x 2x2(1x2y2

B.错误!未找到源

(1x2y2

D.错误!未找到源已知函数f 2x，则f(x) 数列极限lim2n1 设某产品产量为Q件时的总成本为 Q2（元，则当Q=20件时的边际成本已知f x，则微分df(ex)函数f xe2x的单调增加区间

(x

微分方程定积分y 0的阶数

x|x dx22设函数 yf(x)，其中f(x)可微，且fz

f 1，则该函数在点（1，1）处的全微分dz|(1,1)y设 z（x，y）是由方程 所确定的隐函数，则偏导 x三、计算题（一（本大题共5小题，每小题5分，共25分1求极限lim(1sin2xxx求函数 12x10在闭区间[0，4]上的最大值和最小值 sin求极限 x 求曲线 2xesintdt在点（0，0）处的切线方程0求无穷限反常积分 0e2 e2四、计算题（二（本大题共3小题，每小题7分，共21分求函数f x2(sinlnxcoslnx)的二阶倒数f(1)1求曲线y1x2在闭区间（0，+错误!未找 计算二重积分 xdxdy，其中D是由直线 2x，y3x与x轴所围成的区域D五、应用题（本题9分设D是由曲线 lnx，直线 e及x轴围成的平面区域，如图所示24 acos acos bsin 设a，b为常数，证 2a2sin2xb2cos2

设函数f(x)=lg2x,则f(x)+f(y)= yA.f(xC.

xcos,

B.f(x-D.设函数f ,则下列结论正确的是 xA.f’(0)=- B.fC.f D.f’(0曲线 1的渐近线的条数是 1 已知f(x)是2x的一个原函数,且

1,则 ln2A. B. ln lnC.2xln2+C(C是任意常数 设二元函数f(x, sinxy,则f' 函数f 的定义域是 函数f(x)=ln(x2-2x+1)的间断点的个数 设函数y=xsinx2,则 某厂生产某种产品x个单位时的总成本函数为C(x)=100+x+x2,则在x=10时的边际成本 5曲线 2)3的拐点

4

已 a 64,则 设函数f 2xcost2dt,则f 0设二元函数z=sinxy,则全微分 三、计算题（一）(本大题共5小题，每小题5分，共25试确定常数a的值,使得函数f

(1ax)

2x 0x=0处连续x求曲线y=ex+xcos3x在点(0,1求极限mxsinxx0e2x 求微分方程y x满足初始条件y|=4的特解1设 exdx, exdx,,试比较I与I的大小1 设函数f(x)=xarcsin2x,求二阶导数求曲线y=3-x2与直线y=2x所围区域的面积计算二重积分 y)dxdy,其中积分区域D是由曲线x2+y2=1与x轴所围的下半圆D五、应用题(本题9求收益R与P的函数关系求成本C与P的函数关系六、证明题(本题5设函数 ,证明 2 y z 2011年1月高等数学（一）试题函数f(x)= A．[- C．[- D．[-xksin1,x

在x=0处连续，则常数k的取值范围为 x 曲线 3的水平渐近线为 xy=- B．y=- 1 e定积 dx 1 B．e 若f(x,y)0,f(x,y)0，则点(x0,y0)是函数f(x,y)的 x y 极小值 B．极大值C．最值 D．驻xf

，则 x

的间断点 6设函数y=sin(2x+2x)，则dy= x1极限 x1xln曲线y=ln(1+x2)的凹区间 22

x2dx xsint2极限lim = x

edx 22设二元函数z=cos(2y-x), x（ 求极限 .x sinx x已知f(x)的一个原函数是ex2, xf'(求微分方程y＇+y=0在初始条件y(0)=1计算二重积分 2dxdy,其中D是由直线y=2-xD抛物线y=x2所围成的平面（设函数f(x)=(1+x2)arctanx,求f(x)的三阶导数1求函f(xxex2的极值五、应用题（本题9分）某工厂生产两种产品III,销售单价分别为109元,生产x件产品I与生产y件产品II的总费C=400+2x+3y+0.01(3x2+xy+3y2 设函数f(u)可导, f(),证明: 0 201010月高等教育5210设函数f 3x的反函数为g(x)，则g(10)=（ (11)A.xB.sinxexxC.limx(x D.limarctan 已知曲线 2x在点M处的切线平行于x轴，则切点M的坐标为（ f F(x)C，则不定积 2xf(2x)dx F(2xCln

2若函数 z(x,y)的全微分 sin xcosydy，则二阶偏导 xsinC.cos

sinD.cos设函数f(x)的定义域为[0，4]，则f(x2)的定义域是 2n

，则产量q=120时的边际成本 8

1

在x=0处的微分

ln x

设函数f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)，则方程 0的实根个数 d导数

xt(t dx定积

2|x1dx 0二元函数f(x，y)=x2+y4-1的极小值 设y=y(x)是由方程e-xy=e所确定的隐函数，则导 sin设函数f ，问能否补充定义f(0)使函数在x=0处连续?并说明理由|x求极限limx2x

设函数y=ax3+bx2+cx+2在x=0处取得极值，且其图形上有拐点(-1，4)，求常数a，b，c的值求微分方程 2)2 y2)的通解1求不定积 dx设函数f(x)=sine-x，求f f f(0)1计算定积分 12

2x1dx计算二重积分 (x2 1)dxdy，其中D是由直线y=x，y=2-x及y轴所围成的区域D在一天内，某用户t时刻用电的电流为求电流I(t

1

2 )，其中 24六、证明题(本题5分)设函数f(x)，g(x)在区间[-a，a]上连续，g(x)为偶函数，且f(- 证明

f a

g(x)dx02010年7月高等数学（一）试题若f(x)为奇函数,且对任意实数x恒有f(x+3)-f(x-1)=0,则 - 3极限lim ) 若曲线y=f(x)在x=x0处有切线,则导数 等于 C.不存 4 设函数y=(sinx),则导 若f＇(x)=(x>0),则 x1 若f(x+1)=x2-3x+2,则 无穷级数

124

1的和 21,f(x)=1,则导数f＇(x 1若导数f＇(x0)=10,则极限 h0f f(x0函数f(x)=5 1)2的单调减少区间 函数f(x)=x4-4x+3在区间[0,2]上的最小值 微分方程y〃+x(y＇)3+siny=0的阶数 2定积

|x|sin 2dx 导 dx

.,则偏导数z （设y=y(x)是由方程ex-ey=sin(xy)所确定的隐函数,求微分dy. ex 求极限 x tanx计算无穷限反常积分

x

dx 2 2设函z=arccotx,求二阶偏导数x2,xy设f(x)的一个原函数为ex2,求不定积 计算二重积分

e(xxD

dxdy,其中D是由曲线y=x2-1及直线y=0,x=2所围成的区(1)求该产品的收益函数R(q)；证明方程x3-4x2+1=0在区间(0,12010年1月高等教育

x1的定义域为 2 C.（- D.（-要使无穷 aqn（a为常数，a≠0）收敛，则 n 函数f 2x 1在x=1处的导数为 x D函数y=x2-ln(1+x2)的极小值为 .

1 lnx lnx 1 11设f1limarctanx

0，g(x)=x2+1,则 x.