高等数学下册试题 题库 及参考答案

2于2于高数下试库一、选择题（题4，共分）知AB(1,2,1)是空AB

A）A）B）C））解

AB

={1-1，2-0，1-2}={0，，，|AB|=

025

.设a={1,1,3},-1,2}求c=3-b是BA）{,5}.{-1,5}.C）{1,-1,5}.D）{-1,6}.解

c=3ab=3{1,2{2,-4,4}={1,5}.设a={1,1,3},-2}，求用基j,k表示量;A）Ai-2j+5k）-i-jC）-i-j+5i-j解c2,5}=--2j+5k.

xyxy0

C）A）

2

B）

4

C

3

D解

（6-21）有

22

112

12

．MM1A）2x+3y=5=0

）C）D）

x0

解

两12

B

(

6微分方程xyy

y

4

y

的阶数是()A．3B．4C．5D．27．微分方程

通解中应含的独立常数的个数为(A)。A．3B．5C．4D．2

8．下列函数中，哪个是微分方程0解(B)。A．y2

B．

2

C．y

D．y9．微分方程

2

的一个特解是(B)。A．yx

B．

C．y

D．y10．函数yx下列哪个微分方程的解(C)A．y

B．y

0

C．

y0

D．y

11．C是方程y2

，其C为任意常数。1A．通解B．特解C．是方程所有的解D．上述都不对12．y

满足

x

2的特解是(B)。A．yB．y2x

C．2

x2

D．y

x13．微分方程的一个特解具有形式(C)。A．y

*

asin

B．y

*

axC．y

*

xxcos

D．

*

cossinx14．下列微分方程中，(A)是二阶常系数齐次线性微分方程。A．y

B．C5

D．y

15．微分方程y

满足初始条件y)。Aex

Be

x

Ce

x

D．

16．在下列函数中，能够是微分方程

函数是(C)。A．y

B．yx

C．yx

D．y

x17．过2的曲线方程yy是(C)。A．y

B．y

C．y

，y

D．y

18．下列微分方程中，可分离变量的是(B)。

xxA．

B．b(k,a,是常数)C．sinyx

D．

x19．方程

0通解是(C)。A．yx

B．y4

x

C．C

D．yx20．微分方程

dxdy满足|4的特解是(A)。yxA．

y

25

BxC

C．

C

D．x

y

21．微分方程

的通解B)。A．

BCx

C．

D．x22．微分方程y

解为(B)。Aex

Be

Ce

x

D．

23．下列函数中，为微分方程xdxydy0的通解是(B)。A．xyC

B．

C

C

D．Cx

y024．微分方程ydy通解为(A)。A．2

B．

C．yx

D．y25．微分方cossin的通解是(D)。AsinyCCxsin

ByCD．cosxyC26．y

的通解为yC)。A

B

C

xC

D

xC

27．按照微分方程通解定义，通解是A)。Axx1

2

B1

2Csinx1

2

D．sin1

2

00r00r一单选题2．设函数f点（D)

0

0

处连续是函数在该点可偏导的(A)充分而不必要条件;(B)必要而不充分条件;(C)必要而且充分条件;(D)既不必要也不充分条件3．函数点y偏数存函数在该可微分的0(B).(A)充分而不必要条件;(B)必要而不充分条件;(C)必要而且充分条件;(D)既不必要也不充分条件4．对于二元函数f(y),下列结论正确的是().CA.若limf(x,y)A,则必有limfxy且有limf(xy)A;xyy

xx

yB.若,y)处

和都存在,则在()处f(x,y)可微C.若,y)处和存在且连续,则在(y处f(x,y)微;D.若

zzz和都存在,则..22r6.向(A)3(B)

（A）(C)

(D)25已知三点（121112）MAAB=（C(A)-1；(B)1(C)0；(D)26．已知三点M（0，1（2（2，1，3），则MA|（B

））2;

(B)22;(C)2;(D)-2;7．设D为园域x

y

ax(0),化积

Fx,yd

为二次积分的正确方法是_________.D

DA.

2a

dx

a

f()

B.2

2a

2a

f(x)0

0

0C.

(

cos

D.

22

2cos0

f

dxdx12222dxdx1222228．设I

ln

f(x),改变积分次序,则I______.

B

A.

ln3

dy

f(x,y)

B.

ln3

dy

e

f(x,C.

ln3

()dx

D.

dy

ln

f(x,)

9．二次积分

cos

f(

cos

sin

可以写成___________.D

A.

1y

f(xy)dx

B.

1

dy

f(xydx0

0

0

0C.

1

f(x)

D.

1

dx

x

f(y)0

0

010．是由曲面x2y22z2所成的空间区域，在柱面坐标系下将三重积分Iy表示为三次积分I

CA．

2

2

f()dz0

0

0B.

2

2

d

2

f(

sin

z)

C．D．

0

0002d000

fz)(z11．设L为xy面内直线段，其方程为:a,cy则（C）（A）（B）c（C）0（D）12．设L为xy直线段，其方程为:xd，则（C）（A）（B）c（C）0（D）

LL

PP13．（D）

设

有

级

数

n

n

,

则

lim0nn

是

级

数

收

敛

的(A)(C)

充分条件；(B)既不充分也不必要条件；(D)

充分必要条件；必要条件;

14．

幂

级

数

n

的

收

径

半

径R=（D）

n(A)3(B)0(C)2(D)115．（A）

幂

级

数

1n

x

的

收

敛

半

径

R(A)1(B)0(C)2(D)316若

an

n

的敛半R，

an

n

的（A）

n

n(A)

(B)2(C)

R

(D)无法求得17.lim则级()DnnA.C.

收敛且和为B.发散D.

收敛但和不一定为可能收敛也可能发散18.为正项级数,则()nnA.收敛B.收敛,nnn

2n

收敛BC.若

2,也收敛D.nnn

发散,limn19.设幂级xnn

n

在点x处收敛则该级数在()AA.绝对收敛B.条件收敛C.

发散D.敛散性不定20.级数

sinn!n

(,则该级数()BA.是发散级数B.是绝对收敛级数C.是条件收敛级数D.可能收敛也可能发散二、填空题（题4，共分）1.ab=（公式）答案∣∣?∣b∣

a

)

zyzzxyarcsinxyx2.a=(a，(bb，)则a·bzyzzxyarcsinxyx3.aij

（计算）答案

aaxybbxy

ab

zz4.

[abc]答案

5.平的点法式方程是答案

xy()006.设

z

，其定义域为

(

y

y

x)y7.设

fx,xy

，则

fx

(

fx

)8.

f

f

在该点连续的

的条件，

ff

在该点可微分的

的条件(分，必)9.

zf

及存是

f

在该点可微分的

条件(必要)10.在横上填上方程的名称0方程的名称是答案可分离变量微分方程；②xy

2

xy

2

ydy方程的名称是答案可分离变量微分方程；③

y方程的名称是答案齐次方程；④

sinx程的名称是

答案一阶线性微分方程；⑤y

0程的名称是答案二阶常系数齐次线性微分方程.11.在间角坐标{;

ij,k}，(2,－3,，(a)关于坐平面；(2)坐轴；(3)坐原点的各个对称点的坐.[解：M(a)关于xOy平面的对称点坐标为(ab－c，M(ab)于yOz平的对称点坐标为(－ab)M(ab)于xOz平的对称点坐标为(a－,)，M(ab)于x轴面对称点坐标(－b,，M(ab)于y轴对点的坐标(－a,b,)，M(ab)于z轴对称点的坐标为－,－b).类似考虑P－3，－即12.要下列各式成立，量

,b

应满足什么条件？（1）（3）（5）

a;aab;a.

（2（4）

ab;aa[解]）ab所的直线垂直时有

aa

；（2,同向时有ab;（3

b且a,b反时有b;（4,反向时有aab;（5,同向，且时有aa13.下情形中的矢量终各构成什么图形？（1把空间中一切单位矢量归结到共同的始点；（2把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点；（3把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点；（4把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始.[解]）位球面；（2）位圆（3直线；（）相距为两点二填题1．设f(x,yx1)ln(x2y则f___1___.2．设xf(0,1)=____0______.3．二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的公式是4．三重积分的变量从直角坐标变换为柱面坐标的公式是5．柱面坐标下的体积元素dv

z6．设积分区域D:x

,

,

3。D

11dx11dx7．设D由曲线sin

所围成则

2D8．设积分区域D为1x

y

,

2

D9．设1]上连续，如

1

f0则010．设为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则

.L11．设L为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则L

012．等比级aq0)当q时，等比级aq收敛.n13．当____时，数是收敛的.pn14．当_________时,级绝对收敛的.nn15．若(x,

xy

,则_________.

,16．若f(y)xy

2x

,则fy)_________.

y

17．ux,du_________.

zdydz18．设zyx

,则

lny(lnyx

y

lnx19.积分

2x

e

dy的值等于_________.

12

(1,20.为园域x

a

,

2

2

,则

2D21.设Ix2y22,则I

43

a

三、是题

（每题4分共20分）初函数的定义域是其自然定义域的真子ⅹ

)

x

sinxx

ⅹ)

x

xx3

ⅹ)对任意实数

x

恒

xx

成立(ⅹ

)

是指数函数ⅹ)函

ylogx

的定义域是

(ⅹ

)

3

√

)如对于任意实数

恒

f

那

f

为常函数.(√

)存既为等差数又等比数列的数√)10.指函是基本初等函.(√

)11.

lim

xx

√)12.函

yx3

为基本初等函数.(√

)13.

xa

1a

x

a

ⅹ)14.

arcsin

是基本初等函数.ⅹ)15.与是价无穷小量.(ⅹ)16.

与

为等价无穷小量.(ⅹ

)17.若数

f

上单调递增那对于任意

f

ⅹ)18.存既奇函数又为偶函数的函ⅹ)19.当函

f

在原点处有定义,一成立

f

√)20.若函

yf

f

21.若函

yf

f

22.偶数奇函数的乘积为奇函.√

)23.奇数奇函数的乘积为偶函.√)24.若数

f

为奇函数,那一定成立

f

(√

)25.若数

f

为偶函数,那一定成立

f

ⅹ)

26.

cos

ⅹ

)27.

cossin2x

ⅹ

)28.

ⅹ

)29.

sin

ⅹ)30.单函一定存在最大值与最小ⅹ)31.单函一定存在反函.(√

)32.互反数的两个函数的图像关于直线yx对.√

)33.若义为

f

存在反函数那

f

√)34.

lim

12

√

)35.对任的

,

恒

√

)36.函的要素:定域对法则与值域(√

)37.若数

f

在其定义域内处处有切线,那该函数在其义域内处处可.(

)38.空是意初等函数的定义域的真子.(ⅹ

)39.

sini

为初等函数(ⅹ

)i40.对任的

xR

恒

x

ⅹ

)41.左导处处存在的函,一处处可.(ⅹ)下列题．×；．×；3．√；4．×；5．√）1．任意微方程都有通解。(×)2．微分方的通解中包含了它所有的解。(×)3．函数微分方程y

(√)4．函y

x

是微分方程

解。(×)5．微分方xy的通解是y

12

(C为任意常数)。√

)下列是题（1．×；．√；3．√；4．×；5．×1．可分离量微分方程不都是全微分方程。()

n!nn!n2．若y12可表为1123．函y

x

是微分方程y

1

解。()124．曲线在斜率等于该点横坐标的平方，则曲线所满足的微分方程是

(C是任意常数)。()5．微分方y

，满足初始条件|

x

的特解e

12

e

2x

。(

)是非题．×；．√1．只要n阶线性微分方程n个特解，能写出其通解。2．已知阶线性齐次方程y

y，即可四、计算证明题（每题，共40）1、判断积数收敛性

(

2n!解：

lim

(n(n．

由比值法，级数ydyydxxdy

(

2n!

发散解：两边同除以x2，：即

y1yx．

dyydxx解：两边同除以x，令

则

dydx即

dydx

u

得到1clnyu21即xlny

，另外y0

也是方程的解。．

解：ydx得到

1dxy2即

x1y2

另外0

也是方程的解。．方程

y

0

的通解.解:所方程的特征方程为所求通解为

y

Csin2x)1

6.解

.．方程

y

0

的通解.解所给程的特征方为

r2r

22[]x1x4x922[]x1x4x9dxdy1其根为

rr1所以原方程的通解为

x

C

x8.

证明

lim

22

极限不存在8因为

lim

xy2xy

xy

x2yx2y

0

所以极限不存在9.

证明

lim

xyy

极限不存在9设，

yx2

ky42

不等于定值，极限不存在10.计D

其中D是由直线x及所围成的闭区域解画区域D可把D看成是X11D

xydy

211221

(x

3

[]28

注积分还可以写

2x2

111：x=0,y=1的特解。y

：

y=0也是原方，，y=0为y=

c=1为y=e

.y

并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。：

dxyx分-y

1ln|c(

....外x=0,y=1时c=e：y=

1ln|c(|

x

2

xy)dy

，xdxydy

13

x

y

x

2

(4yx)

.

xdydxydy

x

3

xyy

2

15.求

,)

xy

解

lim(,y)

xy

lim(,y)

(xyxy

lim(

xy16.求z

在点(处的偏导数解xy

1222x1222xy117.设z3

、、和解

xyyx

3

y

2

xy

2

2y

yy

18.验证函数lnx22满足方程

证因为

2

2

2

2

2

以xx22

yx2因此

()(2)2)2(x(x22)(x)(x2)2(219.计算函数z全微分解因为2y所以dz

)dy20.函数z2

在点(0处有极小值当()时(x此z是函数的极小值21.函zx

2

2

在点(0处有极大值当()时当(x时此是函数的极大值22.已知三角形ABC的顶点分别是A(1的面积解根据向量积的定义形面积

ABC

|||AB|22

由于AB

11212an11212an

ijkABAC1

于是

ABC

|4jk2

23.设有点A和线段的垂直平分面的方程解由题意知道所求的平面就是与A和等距离的点的几何轨迹设Mx)为所求平面上的任一点则有即

(x

2

2

2

(x

2

2

2

等式两边平