【课件】3.2 双曲线 课件高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.2双曲线第三章圆锥曲线的方程目录二、知识讲解三、小结四、练习一、上节回溯一、上节回溯椭圆及其标准方程对称性顶点椭圆的定义椭圆的标准方程范围离心率椭圆椭圆的简单几何性质3.2.1双曲线及其标准方程二、知识讲解我们知道，平面内与两个定点F1，F2

的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹是椭圆．一个自然的问题是：平面内与两个定点的距离的差等于常数的点的轨迹是什么？下面我们先用信息技术探究一下．二、知识讲解

如图，在直线l上取两个定点A，B，P是直线l上的动点．在平面内，取定点F1，F2，以点F1

为圆心、线段PA为半径作圆，再以F2

为圆心、线段PB为半径作圆．我们知道，当点P在线段AB上运动时，如果|F1F2|<|AB|，那么两圆相交，其交点M的轨迹是椭圆；如果|F1F2|>|AB|，两圆不相交，不存在交点轨迹．探究3.2.1双曲线及其标准方程PAlBPA＝3.92MF1＝3.92PB＝0.93MF2＝0.93PA＋PB＝4.85MF1＋MF2＝4.85PF1F2MM′二、知识讲解如图，在|F1F2|>|AB|的条件下，让点P在线段AB外运动，这时动点M满足什么几何条件？两圆的交点M的轨迹是什么形状？探究3.2.1双曲线及其标准方程AlBPA＝5.97MF1＝5.97PB＝1.12MF2＝1.12PA－PB＝4.85MF1－MF2＝4.85PF1F2MM′二、知识讲解我们发现，在|F1F2|>|AB|的条件下，点P在线段AB外运动时，当点M靠近定点F1

时，|MF2|－|MF1|＝|AB|；当点M靠近定点F2时，|MF1|－|MF2|＝|AB|．总之，点M与两个定点F1，F2距离的差的绝对值|AB|是一个常数（|AB|<|F1F2|）．这时，点M的轨迹是不同于椭圆的曲线，它分左右两支．

一般地，我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线（hyperbola）．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．3.2.1双曲线及其标准方程二、知识讲解类比求椭圆标准方程的过程，我们如何建立适当的坐标系，得出双曲线的方程？探究观察我们画出的双曲线，发现它也具有对称性，而且直线F1F2

是它的一条对称轴，所以我们取经过两焦点F1

和F2

的直线为x轴，线段F1F2

的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系Oxy．3.2.1双曲线及其标准方程xyOMF2F1二、知识讲解设M(x，y)是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为2c(c>0)，那么，焦点F1，F2

的坐标分别是(－c，0)，(c，0)，又设||MF1|－|MF2||＝2a（a为大于0的常数）．3.2.1双曲线及其标准方程xyOMF2F1

二、知识讲解3.2.1双曲线及其标准方程

二、知识讲解3.2.1双曲线及其标准方程从上述过程可以看到，双曲线上任意一点的坐标(x，y)都是方程②的解；以方程②的解为坐标的点(x，y)与双曲线的两个焦点F1(－c，0)，F2(c，0)的距离之差的绝对值都是2a，即以方程②的解为坐标的点都在双曲线上．我们称方程②是双曲线的方程，这个方程叫做双曲线的标准方程．它表示焦点在x轴上，焦点分别是F1(－c，0)，F2(c，0)的双曲线，这里c2＝a2＋b2．二、知识讲解3.2.1双曲线及其标准方程

类比焦点在y轴上的椭圆的标准方程，焦点在y轴上的双曲线的标准方程是什么？？思考

xyOMF2F1二、知识讲解3.2.1双曲线及其标准方程

二、知识讲解3.2.1双曲线及其标准方程例2已知A，B两地相距800m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s，且声速为340m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程．分析：先根据题意判断轨迹的形状．由声速及A，B两处听到炮弹爆炸声的时间差，可知A，B两处与爆炸点的距离的差为定值，所以爆炸点在以A，B为焦点的双曲线上．因为爆炸点离A处比离B处远，所以爆炸点应靠近B处的双曲线的一支上．xyOPBA二、知识讲解3.2.1双曲线及其标准方程

利用两个不同的观测点A，B测得同一点P发出信号的时间差，可以确定点P所在双曲线的方程．如果再增设一个观测点C，利用B，C（或A，C）两处测得的点P发出信号的时间差，就可以确定点P所在另一双曲线的方程．解这两个方程组成的方程组，就能确定点P的准确位置，这是双曲线的一个重要应用．二、知识讲解3.2.1双曲线及其标准方程

探究xyOMBA二、知识讲解3.2.2

双曲线的简单几何性质

？思考二、知识讲解1．范围类比研究椭圆范围的方法，观察双曲线，我们发现双曲线上点的横坐标的范围是x≤－a，或x≥a，纵坐标的范围是y∈R（如图）．

xyOx＝－aF2F1x＝a二、知识讲解2．对称性

二、知识讲解3．顶点类比求椭圆顶点的方法，在方程①中，令y＝0，得x＝±a，因此双曲线和x轴有两个交点A1(－a，0)，A2(a，0)．因为x轴是双曲线的对称轴，所以双曲线和它的对称轴有两个交点，它们叫做双曲线的顶点．令x＝0，得y2＝－b2，这个方程没有实数解，说明双曲线和y轴没有公共点，但我们也把B1(0，－b)，B2(0，b)两点画在y轴上（如图）．

线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长等于2a，a叫做双曲线的实半轴长；线段B1B2

叫做双曲线的虚轴，它的长等于2b，b叫做双曲线的虚半轴长．xyObF2F1aA1B1A2B2

探究二、知识讲解4．渐近线

可以发现，点M的横坐标xM越来越大，d越来越小，但是d始终不等于0．xyOdF2F1QA1B1A2B2M二、知识讲解4．渐近线

xyOdF2F1QA1B1A2B2M二、知识讲解4．渐近线

二、知识讲解5．离心率

椭圆的离心率刻画了椭圆的扁平程度，双曲线的离心率刻画双曲线的什么几何特征？？思考

用双曲线渐近线的斜率能刻画双曲线的“张口”大小吗？它与用离心率刻画“张口”大小有什么联系和区别？？双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小．二、知识讲解例3求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．

二、知识讲解例4双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面（图（1））．它的最小半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25m，高为55m．试建立适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到1m）．(1)xyOA′BAB′C′C131225(2)二、知识讲解

xyOA′BAB′C′C131225(2)二、知识讲解

二、知识讲解

xyOMFHld二、知识讲解

xyOMFHld

将例5与椭圆一节中的例6比较，你有什么发现？？思考二、知识讲解

解：由