【公开课课件】选修2-1-第三章 3.2 第3课时

第三章

§3.2立体几何中的向量方法第3课时用空间向量解决空间角与距离问题问题导学知识点一空间三种角的向量求法空间角包括线线角、线面角、二面角，这三种角的定义确定了它们相应的取值范围，结合它们的取值范围可以用向量法进行求解.角的分类向量求法范围异面直线所成的角设两异面直线所成的角为θ，它们的方向向量分别为a，b，则cosθ＝

＝______|cos〈a，b〉|直线与平面所成的角设直线l与平面α所成的角为θ，l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则sinθ＝

＝_____二面角设二面角α－l－β为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则|cosθ|＝

＝[0，π]|cos〈a，n〉||cos〈n1，n2〉|知识点二利用空间向量求距离(※)点到平面的距离：用空间向量法求点到平面的距离具体步骤如下：先确定平面的法向量，再求点与平面内一点的连线形成的斜线段在平面的法向量上的射影长.如图，设n＝(a，b，c)是平面α的一个法向量，P0(x0，y0，z0)为α外一点，P(x，y，z)是平面α内的任意一点，则点P0到线面距离、面面距离都可以转化为点到平面的距离，因此，只要掌握点到平面距离的求法，就可解决其他的距离问题. [思考辨析判断正误](1)直线与平面所成的角α与该直线的方向向量与平面的法向量的夹角β互余.(

)××(3)二面角的大小等于其两个半平面的法向量的夹角的大小.(

)×√题型探究例1

(1)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成的角的余弦值为________.类型一求线线角、线面角答案解析解析

如图所示，以C为坐标原点，直线CA为x轴，直线CB为y轴，直线CC1为z轴建立空间直角坐标系Cxyz.(2)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M，N分别为PC，PB的中点.①求证：PB⊥DM；证明证明

如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz，设BC＝1，则A(0,0,0)，P(0,0,2)，B(2,0,0)，∴PB⊥DM.②求BD与平面ADMN所成的角.解答又∵PB⊥DM，AD∩DM＝D，∴PB⊥平面ADMN.跟踪训练1

(1)已知在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是DC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，则AB1与D1E所成角的余弦值为答案解析√解析

∵A(2,2,0)，B1(2,0,2)，E(0,1,0)，D1(0,2,2)，(2)如图所示，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.①证明：AB⊥A1C；证明证明

取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B.∵CA＝CB，∴OC⊥AB.由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，故△AA1B为等边三角形，∴OA1⊥AB.∵OC∩OA1＝O，∴AB⊥平面OA1C.又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C.②若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值.解答解

由①知OC⊥AB，OA1⊥AB.又平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB，OC⊂平面ABC，所以OC⊥平面AA1B1B，故OA，OA1，OC两两垂直.以O为坐标原点，OA，OA1，OC所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.设n＝(x，y，z)是平面BB1C1C的法向量，解答类型二求二面角问题例2如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点，求二面角A－A1D－B的余弦值.解

取BC的中点O，连接AO，因为△ABC是正三角形，所以AO⊥BC，因为在正三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1＝BC，AO⊂平面ABC，所以AO⊥平面BCC1B1.取B1C1的中点O1，以O为坐标原点，分别以OB，OO1，OA所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，设平面A1AD的法向量为n＝(x，y，z)，即AB1⊥BD，AB1⊥BA1，且BD∩BA1＝B，所以AB1⊥平面A1BD，又二面角A－A1D－B为锐二面角，解答解

以C为坐标原点，CA，CB所在直线分别为x轴，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，取PB的中点D，连接DC，可知DC⊥PB，作AE⊥PB于点E，解答类型三解决距离问题(※)例3已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别是C1C，D1A1，AB的中点，求点A到平面EFG的距离.解

以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1,0,2)，G(2,1,0).设n＝(x，y，z)是平面EFG的法向量，点A到平面EFG的距离为d，解答跟踪训练3如图所示，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F求D1A1到平面EFGH的距离.解

因为点E，F分别为BB1，CC1的中点，所以EF∥B1C1∥A1D1.又因为A1D1⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH，所以A1D1∥平面EFGH，所以D1A1到平面EFGH的距离即为点D1到平面EFGH的距离.以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，设平面EFGH的法向量为n＝(x，y，z)，令z＝6，可得n＝(0，－1,6).设D1A1到平面EFGH的距离为d，连接D1F，达标检测答案解析12345A.30° B.60° C.120° D.150°√解析

设l与α所成的角为θ，答案12345解析解析

由于二面角的范围是[0，π]，而二面角的两个半平面α与β的法向量都有两个方向，√答案解析3.在正三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB＝1，D在棱BB1上，且BD＝1，则AD与平面AA1C1C所成角的正弦值为12345√解析

取AC的中点E，连接BE，则BE⊥AC，以B为坐标原点，BE，BB1所在直线分别为x轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz，∵平面ABC⊥平面AA1C1C，平面ABC∩平面AA1C1C＝AC，BE⊥AC，BE⊂平面ABC，∴BE⊥平面AA1C1C，12345设AD与平面AA1C1C所成角为α，12345答案解析4.设a，b是直线，α，β是平面，a⊥α，b⊥β，向量a在a上，向量b在b上，a＝(1,1,1)，b＝(－3,4,0)，则α，β所成二面角中较小的一个角的余弦值为12345解析

设α，β所成二面角中较小的一个角为θ，________.答案解析12345弦值为_____.解析

过C点作CO⊥平面ABDE，垂足为点O，取AB的中点F，连接CF，OF，则∠CFO为二面角C－AB－D的平面角.以O为坐标原点，OA，OB，OC所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，12345123451.向量法求角(1)两条异面直线所成的角θ可以借助这两